Esercizi V settimana

3 novembre 2011

1. Calcolare massa e baricentro della curva parametrizzata da ϱ = Aϑ, ϑ ∈ [0, 2π], la cui densitd̀i massa è descritta dalla funzione f(ϱ, ϑ) = Bϑ.

2. Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) = (y − z, z + x, x + y) lungo la curva parame-

trizzata da

r(t) = (2 cos t, \sqrt{2} sin t, \sqrt{2} sin t), t ∈ [0, 2π].

3. Determinare massa, baricentro e momenti d’inerzia per rotazioni attorno ai tre assi coordinati dell’insieme omogeneo E = {(x − 1)^{2} + y^{2} ≤ 1}.

4. Calcolare il seguente integrale doppio

∫_{E} x^{2}|y|dxdy,

con E = {|x| + |y| ≤ 1}.

Soluzioni

1. Per il calcolo della massa, possiamo utilizzare la formula

m = ∫_{r} f = ∫_{0}^{2π} Bϑ\sqrt{A^{2}ϑ^{2} + A^{2}}dϑ = AB ∫_{0}^{2π} ϑ\sqrt{1 + ϑ^{2}}dϑ
=\frac{AB}{3} ((1 + 4π^{2})^{3/2} − 1).

Per il calcolo del baricentro, il problema diventa il calcolo dei seguenti integrali

\overline{x} = \frac{1}{m}A^{2}B ∫_{0}^{2π} ϑ^{2} cos ϑ\sqrt{1 + ϑ^{2}}dϑ,

e

\overline{y} = \frac{1}{m}A^{2}B ∫_{0}^{2π} ϑ^{2} sin ϑ\sqrt{1 + ϑ^{2}}dϑ;

questi però sono integrali che non si calcolano, se non numericamente.

2. La curva r è una curva chiusa, quindi l’esercizio chiede di calcolare la circuitazione di F lungo la curva, che è data da

∫_{r} F · ds⃗ = ∫_{0}^{2π} F (r(t)) · r′(t)dt
= ∫_{0}^{2π}(0, \sqrt{2} sin t + 2 cos t, 2 cos t + \sqrt{2} sin t) · (−2 sin t, \sqrt{2} cos t, \sqrt{2} cos t)dt
=4π\sqrt{2}.

Se ne deduce quindi che il campo F non è conservativo in quanto la circuitazione non è nulla.

3. L’insieme E è omogeneo, quindi la massa sarà data dall’area di E, m = |E| = π. Per quanto riguarda il baricentro, avremo che

\overline{x} = \frac{1}{π} ∫_{E} xdxdy = 1, \overline{y} = \frac{1}{π} ∫_{E} ydxdy = 0.

Si poteva arrivare a questa conclusione anche senza fare conti, in quanto E è dato dalla palla B_{1} spostata a destra secondo il vettore (1, 0), quindi il baricentro di E sarà dato dal baricentro della palla B_{1}, cioè (0, 0), traslato di (1, 0). Per quanto riguarda i momenti di inerzia, abbiamo che

I_{x} = ∫_{E} y^{2}dxdy = \frac{π}{4} ,

mentre

I_{y} = ∫_{E} x^{2}dxdy = \frac{5π}{4} ;

infine avremo che

I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{3π}{2} .

4. L’insieme E è dato da un quadrato nel piano di lato \sqrt{2} e ruotato di π/4: sfruttando quindi le parità della funzione integranda e le simmetrie di E, possiamo concludere che, se denotiamo con E_{1} = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}, allora

∫_{E} x^{2}|y|dxdy = 4 ∫_{E_{1}} x^{2}ydxdy = \frac{1}{15}.