Esercizi VI settimana

9 novembre 2011

1. Dire se è integrabile in senso generalizzato assoluto la funzione

f(x, y) = ln(x^{2} + y^{2})

sull’insieme E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 4}.

2. Calcolare il seguente integrale triplo:

∫_{E} x^{2}zdxdydz.

con E = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ R^{2}, 0 ≤ z ≤ \sqrt{R^{2} − x^{2} − y^{2}}\}.

3. Calcolare, utilizzando la formula per il volume di un solido di rotazione, il volume del toro, cioè l’insieme il cui bordo è parametrizzato da

r(t, s) = ((R + r cos t) cos s, (R + r cos t) sin s, r sin t), (t, s) ∈ [0, 2π] × [0, 2π].

4. Dire se i seguenti campi

F (x, y, z) = (x − xe^{z}, −z, e^{z}), G(x, y, z) = (3x^{2}y, x^{3}, −\frac{1}{z})

sono conservativi e, in caso, determinarne i potenziali.

Soluzioni

1. Per studiare l’integrabilità di f, consideriamo

|f(x, y)| = \{ \begin{matrix}− ln(x^{2} + y^{2}) & 0 < x^{2} + y^{2} ≤ 1 \\ ln(x^{2} + y^{2}) & 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4. \end{matrix}

La funzione non è limitata in (0, 0), e quindi possiamo considerare la seguente successione di insiemi invadenti;

E_{h} = B̄_{2} \ B_{1/h}, E = {(0, 0)} ∪ ⋃_{h∈ℕ} E_{h}.

Si noti infine che {(0, 0)} è un insieme trascurabile; quindi, passando alle coordiante polari troviamo che

∫_{E_{h}} |f(x, y)|dxdy = ∫_{0}^{2π} dϑ ∫_{1/h}^{2} 2ϱ| ln ϱ|dϱ = −4π ∫_{1/h}^{1} ϱ ln ϱdϱ + 4π ∫_{1}^{2} ϱ ln ϱdϱ
=π (8 ln 2 − 2 + \frac{1}{h^{2}} + \frac{2}{h^{2}} ln h.)

Se ne deduce che

sup_{h} ∫_{E_{h}} |f(x, y)|dxdy < +∞.

Quindi possiamo porre

∫_{E} f(x, y)dxdy = lim_{h→+∞} ∫_{E_{h}} f(x, y)dxdy = 4π(ln 4 − 1).

2. L’insieme è normale rispetto al piano xy, cioè z–semplice, quindi

∫_{E} x^{2}zdxdydz = ∫_{\{x^{2}+y^{2}≤R^{2}\}} dxdy ∫_{0}^{√\overline{R^{2}−x^{2}−y^{2}}} x^{2}zdz
=\frac{1}{2} ∫_{\{x^{2}+y^{2}≤R^{2}\}} x^{2}(R^{2} − x^{2} − y^{2})dxdy

=\frac{1}{2} ∫_{0}^{2π} dϑ ∫_{0}^{R} ϱ^{3} cos ϑ^{2}(R^{2} − ϱ^{2})dϱ
=\frac{πR^{6}}{24} .

3. Se andiamo a studiare nel piano xz l’insieme racchiuso dalla curva r(t) = (R + r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π], otteniamo l’insieme

D = \{(x, z) ∈ ℝ^{2} : −r ≤ z ≤ r, R − \sqrt{r^{2} − z^{2}} ≤ x ≤ R + \sqrt{r^{2} + z^{2}}\}.

Quindi l’insieme ruotato E è ottenuto dalla rotazione di due grafici di funzioni e quindi il suo volume sarà dato da

|E| =Vol(E) = ∫_{E} dxdyyz = π ∫_{−r}^{r} ((R + \sqrt{r^{2} − z^{2}})^{2} − (R − \sqrt{r^{2} − z^{2}})^{2})dz
=π ∫_{−r}^{r} 4R\sqrt{r^{2} − z^{2}}dz = 2π^{2}Rr^{2}.

4. Notiamo che

rotF (x, y, z) = (1, −xe^{z}, 0),

e quindi il campo F non può essere conservativo. Invece, per G abbiamo che

rotG(x, y, z) = (0, 0, 0),

e il dominio di G è dato da

Dom(G) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ≠ 0} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z > 0} ∪ {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z < 0},

cioè il dominio di G è dato dall’unione di due insiemi connessi e semplicemente connessi. Quindi G è conservativo; per determinare il suo potenziale dobbiamo risolvere il sistema;

\{ \begin{matrix}\frac{∂}{∂x}U(x, y, z) = 3x^{2}y \\ \frac{∂}{∂y} U(x, y, z) = x^{3} \\ \frac{∂}{∂z} U(x, y, z) = −\frac{1}{z}. \end{matrix}

Dalla prima equazione otteniamo che

U(x, y, z) = x^{3}y + c(y, z);

sostituendo nella seconda equazione troviamo che

\frac{∂}{∂y} c(y, z) = 0,

e quindi

U(x, y, z) = x^{3}y + c(z);

sostituendo nella terza equazione troviamo infine che

c′(z) = −\frac{1}{z},

da cui c(z) = c − ln |z|. Il potenziale è quindi dato da

U(x, y, z,) = x^{3} − ln |z| + c.