Esercizi VIII settimana

24 novembre 2011

1. Trovare e classificare i punti stazionari delle seguenti funzioni:

f(x, y) = x^{2} − xy^{5}, g(x, y, z) = y^{2} + z^{2} − 2x^{2} + 2xy − 2xz − 4x.

2. Determinare i punti di massima e minima distanza dall’origine dell’insieme

E = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x|^{\frac{3}{2}} + |y|^{\frac{3}{2}} = 1\}.

3. Sia A ∈ ℝ^{n×n} una matrice simmetrica definita positiva; si determino quindi i semiassi

dell’ellissoide

E = {x ∈ ℝ^{n} : Ax · x = 1}.

4. Determinare massimo e minimo della funzione

\frac{z − y}{x^{2} + x + 1}

sull’insieme

E = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : y^{2} + z^{2} ≤ \frac{1}{x^{2} + x + 1}\} .

Soluzioni

1. Il gradiente di f è dato da

∇f(x, y) = (2x − y^{5}, −5xy^{4})

che si annulla esclusivamente in (0, 0). In tale punto la matrice Hessiana è data da

Hf(0, 0) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

che è quindi semi–definita positiva. Non possiamo quindi capire da questo la natura di (0, 0) come punto stazionario. Siccome f(0, 0) = 0, studiamo il segno di f; vediamo subito che f(x, y) ≥ 0 in due regioni, x ≥ 0 e x ≥ y^{5} e in x ≤ 0, x ≤ y^{5}. Quindi, vicino al punto (0, 0), ci sono sia punti in cui la funzione è positiva, sia punti in cui la funzione è negativa. Se ne deduce che (0, 0) è un punto di sella.

Per quanto riguarda la funzione g, abbiamo che

∇g(x, y, z) = (−4x + 2y − 2z − 4, 2y + 2x, 2z − 2x)

che si annulla esclusivamente in (−1/2, 1/2, −1/2). La matrice Hessiana di g è data da

Hg(x, y, z) = ( \begin{matrix}−4 & 2 & −2 \\ 2 & 2 & 0 \\ −2 & 0 & 2 \end{matrix} );

quindi la matrice Hessiana è costante e la successione dei determinanti dei minori principali è −4, −12 e −32, da cui si deduce che la matrice Hessiana è indefinita. Quindi il punto (−1/2, 1/2, −1/2) è un punto di sella.

2. L’insieme E è l’asteroide incontrato quando abbiamo studiato le curve; tale insieme è simmetrico sia rispetto all’asse x che rispetto all’asse y. Possiamo quindi restringere il nostro studio al caso x ≥ 0 e y ≥ 0. In tal caso, la funzione da massimizzare e minimizzare è la funzione distanza, o equivalentemente la funzione f(x, y) = x^{2} + y^{2} quadrato della distanza. Utilizziamo i moltiplicatori di Lagrange;

L(x, y, λ) = x^{2} + y^{2} − λ(x^{3/2} + y^{3/2} − 1)

Imponendo il sistema ∇_{(x,y,λ)}L(x, y, λ) = 0 troviamo

\{ \begin{matrix}2x = \frac{3}{2}λ\sqrt{x} \\ 2y = \frac{3}{2}λ\sqrt{y} \\ x^{3/2} + y^{3/2} = 1. \end{matrix}

Tale sistema ha le soluzioni (1, 0) e (0, 1) con λ = 4/3 e (1/ ^{3}\sqrt{4}, 1/ ^{3}\sqrt{4}) con λ = 2 ^{3}\sqrt{4}/3. Nei primi due punti avremo la massima distanza che è quindi data da 1, mentre nell’ultimo punto avremo la minima distanza che quindi è data da 1/ ^{6}\sqrt{2}.

3. I semiassi di E sono determinati come i punti di massima e minima di stanza di E dall’origine; introduciamo quindi la Lagrangiana

L(x, λ) = ∥x∥^{2} − λ(Ax · x − 1)

con x ∈ ℝ^{n} e λ ∈ ℝ. Se calcoliamo il gradiente di L, troviamo il sistema

\{ \begin{matrix}2x − 2λAx = 0 \\ Ax · x = 1. \end{matrix}

I semiassi si troveranno quindi in corrispondenza degli autovettori di A e il reciproco degli autovalori di A rappresentano i valori dei semiassi. In particolare, il semiasse maggiore sarà dato da 1/λ_{min}, λ_{min} il più piccolo autovalore di A, mentre il semiasse minore sarà dato da 1/λ_{max}, λ_{max} il più piccolo autovalore di A.

4. Si nota che l’insieme E è illimitato nella variabile x mentre è limitato nella coppia (y, z); inoltre, la funzione f ha la proprietà che

lim_{|x|→+∞} f(x, y, z) = 0,

f è positiva per z > y e negativa per z < y. L’insieme E interseca sia l’insieme {z > y} che {z < y}, quindi per la versione modificata del Teorema di Weierstrass, se ne deduce che f ammette sia massimo che minimo su E. Per determinarli, iniziamo con i punti stazionari liberi;

∇f(x, y, z) = (−\frac{(z − y)(2x + 1)}{(x^{2} + x + 1)^{2}}, −\frac{1}{x^{2} + x + 1}, \frac{1}{x^{2} + x + 1}) .

Tale gradiente non si annulla mai, quindi non ci sono punti stazionari liberi; resta da studiare il bordo di E che è la superficie

Σ = \{x ∈ ℝ, y^{2} + z^{2} = \frac{1}{x^{2} + x + 1}\};

dato che Σ è una superficie ruotata attorno all’asse x, possiamo usare la parametrizzazione

r(t, s) = (t, \frac{cos s}{t^{2} + t + 1}, \frac{sin s}{t^{2} + t + 1})

in modo da ottenere la funzione

g(t, s) = f(r(t, s)) = \frac{sin s − cos s}{(t^{2} + t + 1)^{2}} .

Il gradiente di tale funzione è dato da

∇g(t, s) = (\frac{2(2t + 1)(sin s − cos s)}{(t^{2} + t + 1)^{3}}, \frac{cos s + sin s}{(t^{2} + t + 1)^{2}} );

tale gradiente si annulla nei punti (t, s) = (−1/2, 3π/4) e (t, s) = (−1/2, 7π/4), che corrispondono ai punti (−1/2, −2\sqrt{2}/3, 2\sqrt{2}/3) e (−1/2, 2\sqrt{2}/3, −2\sqrt{2}/3) che saranno i punti di massimo e minimo; il primo è un punto di massimo dove la funzione vale 16\sqrt{2}/9 e il secondo è un punto di minimo dove la funzione vale −16\sqrt{2}/9.