Esercizi X settimana

7 dicembre 2011

1. Studiare le convergenze della seguente serie di funzioni;

∑_{n=1}^{∞} ne^{−n(x^{2}+x+1)}.

2. Studiare le convergenze della seguente serie di potenze:

∑_{n=1}^{∞} \frac{nx^{n}}{2 + n^{2} + sin n}.

3. Scrivere la serie di Taylor associata alla funzione

f(x) = \frac{ln(1 + x)}{x}

e calcolare l’integrale

∫_{0}^{1} \frac{ln(1 + x)}{x}dx.

4. Scrivere la serie di Fourier della funzione definita in [0, 1] da f(x) = x^{2}; calcolare quindi tale serie nei punti x = 0 e x = 1 ed utilizzare la formula di Parseval per calcolare la somma della serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} .

Soluzioni

1. Notiamo che, posto

u_{n}(x) = ne^{−n(x^{2}+x+1)},

dato che x^{2} + x + 1 ≥ 3/4, allora

sup_{ℝ} |u_{n}(x)| ≤ ne^{−3n/4} = M_{n};

inoltre, dato che

lim_{n→+∞} ^{n}\sqrt{M_{n}} = e^{−3/4} < 1,

la serie

∑_{n=1}^{∞} M_{n} < +∞

è convergente, e quindi la serie

sum_{n=1}^{∞}u_{n}(x)

è totalmente convergente, quindi puntualmente, puntualmente assoulutamente, uniformemente e uniformemente assolutamente convergente su tutto ℝ.

2. Notiamo che, posto

c_{n} = \frac{n}{2 + n^{2} + sin n}.

allora

lim_{n→+∞} ^{n}\sqrt{c_{n}} = 1,

quindi il raggio di convergenza della serie di potenze è ϱ = 1. Per x = 1, dato che c_{n} ∼ 1/n, la serie non converge; per x = −1, la serie converge grazie al criterio di Leibniz. Infatti c_{n} è infinitesima, positiva e c_{n+1} ≤ c_{n} dato che

\frac{n + 1}{2 + (n + 1)^{2} + sin(n + 1)} ≤ \frac{n}{2 + n^{2} + sin n},

che è equivalente all’espressione

sin n − sin(n + 1) + \frac{sin n}{n} + \frac{2}{n} ≤ n + 1,

sicuramente verificata per n ≥ 3. Quindi l’insieme di convergenza puntuale è dato da [−1, 1), mentre la convergenza assoluta si ha in (−1, 1). La convergenza totale e la convergenza uniforme assoluta si avrà negli intervalli [−a, a] per ogni 0 < a < 1, mentre la convergenza uniforme si ha in [−1, a], per ogni a < 1.

3. Possiamo sfruttare lo sviluppo di Taylor del logaritmo

ln(1 + x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} x^{n+1}, x ∈ (−1, 1]

da cui

\frac{ln(1 + x)}{x} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} x^{n}, x ∈ (−1, 1].

Dato che la convergenza è uniforme in [0, 1], otteniamo che

∫_{0}^{1} \frac{ln(1 + x)}{x}dx = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} ∫_{0}^{1} x^{n}dx = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{12} ;

l’ultima uguaglianza si deduce dal seguente esercizio.

4. Non venendo specificato il periodo della funzione, possiamo svolgere l’esercizio in vari modi; o consideriamo la funzione 1 periodica, cioè T = 1 e ω = 2π, oppure la estendiamo pari o dispari in [−1, 0] e consideriamo T = 2 e ω = π. Procediamo con l’estensione pari della funzioni, in modo da ottenere una funzione continua su tutto ℝ; in questo modo, la convergenza della serie di Fourier è uniforme su tutto ℝ (avremo infatti convergenza totale). Dobbiamo calcolare solo i coefficienti a_{k}, k ≥ 0, della serie; avremo

a_{0} = 2 ∈_{0}^{1} x^{2}dx = \frac{2}{3}

mentre per k ≥ 1

a_{k} = 2 ∫_{0}^{1} x^{2} cos(kπx)dx = \frac{4(−1)^{k}}{π^{2}k^{2}} .

Lo sviluppo in serie di Fourier sarà quindi dato da

f(x) = \frac{1}{3} + \frac{4}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k^{2}} cos(kπx).

Valutando questa espressione per x = 0 otteniamo che

0 = \frac{1}{3} \frac{4}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k^{2}} ,

cioè

∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{12} .

Inoltre, per x = 1 troviamo che

1 = \frac{1}{3} + \frac{4}{π^{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ,

cioè

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Infine, utilizzando la formula di Parseval, otteniamo che

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{4}} = \frac{π^{4}}{72} .