FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

TEMA

Esercizio 1 Data la funzione

f(x, y) = |y − x^{2}| y^{2}

discutere continuità, derivabilità e differenziabilità di f nel suo dominio.

Esercizio 2 Data la funzione

f_{a}(x, y) = \frac{4}{3}(1 − a)(x^{3} + y^{3}) + 2x^{2} + x + 2y^{2} + y in ℝ^{2}

(a) per ogni a > 0 determinare i punti critici di f;

(b) per ogni a > 0 discutere la natura dei punti critici, ovvero determinare eventuali massimi e minimi relativi della funzione;

(c) per ogni a > 0 determinare inf_{ℝ^{2}} f e sup_{ℝ^{2}} f e precisare se sono rispettivamente minimo e massimo assoluto della funzione.

Esercizio 3 Dato l’insieme D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x − 2)^{2} + y^{2} ⩽ 1, y + (x − 2)^{2} ⩽ 0}, calcolare il seguente integrale

∫∫_{D} (x − 2) dx dy

Esercizio 4 Dato l’insieme

Σ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = R^{2}, 0 ≤ z ≤ −x + R}

(a) fare un disegno qualitativo di Σ e parametrizzarlo;

(b) calcolare l’integrale ∫_{Σ}(3 − z) dσ.

Esercizio 5 Scrivere la serie di Fourier della funzione dispari, 2π-periodica, definita in ]0, π[ da

f(x) = (x − \frac{π}{2} )^{2}

e studiarne la convergenza in ℝ.

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.