Prova scritta di Fondamenti di Analisi matematica 2 Corso di laurea in ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica - canale 3 Vicenza, 19.7.2010

Svolgere i seguenti esercizi.

1. Tra tutti i parallelepipedi con le facce parallele ai piani coordinati ed inscritti nell’ellissoide di equazione

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 , a , b , c > 0

determinare, se esiste, quello di volume massimo.

2. Considerata la curva definita da

y^{2} = (1 − x^{2})x^{2} , x > 0 ,

determinare l’area della porzione di piano che tale curva racchiude e calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando idealmente tale curva attorno all’asse x.

3. Data la funzione

f(x, y) = y^{2} − (1 − x^{2})x^{2}

si dica se in un intorno del punto (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4}) l’insieme

Z = {(x, y) ∈ R^{2} | f(x, y) = 0}

è localmente grafico di una funzione x = x(y) e se lo è di una funzione y = y(x). Se possibile, si trovi la retta tangente a Z nel punto (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4}). Cosa si può dire dell’analogo problema in un intorno del punto (0, 0)?

4. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} n (\frac{1}{x})^{n}

e, se possibile, calcolarne la somma. Se si considera

∑_{n=1}^{∞}(x − 1)n (\frac{1}{x})^{n}

l’insieme di convergenza puntuale è lo stesso della serie precedente?

5. Dati a, b ∈ R si consideri il campo

F (x, y) = (axy + b\frac{y}{x^{2} + y^{2}} , x^{2} − b^{2} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} )

definito in F : (0, +∞) × R e a valori in R^{2}. Stabilire se e per quali valori di a e b esiste f : (0, +∞) × R → R tale che ∇F = f ed in tal caso determinare tale o tali f. Si supponga ora che il F sia definito in R^{2} \ {(0, 0)}. Stabilire se e per quali valori di a e b esiste f : R^{2} → R tale che ∇F = f ed in tal caso determinare tale o tali f.

Soluzioni

1. 2. 3. 4.