Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, sede di Vicenza

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Vicenza, 20.09.2010

Esercizio 1 Data la funzione f : ℝ^{2} → ℝ definita da f(x, y) = \sqrt{x^{2} + 2y^{2}} − y

a) se ne trovino e disegnigno gli insiemi di livello,

b) se ne trovino il massimo e minimo assoluti, se esistono, nell’insieme C = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} = 4}.

Esercizio 2 Si calcoli il volume del seguente insieme

C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x − 1)^{2} + (y − 1)^{2} ⩽ 1, 0 ⩽ z ⩽ x} .

Esercizio 3 Data la funzionef : ℝ^{2} → ℝ definita da f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3axy se ne trovino i punti critici e se ne studi la loro natura al variare del parametro a ∈ ℝ.

Esercizio 4 Si calcoli l’area della superficie

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, x^{2} + y^{2} − 2x ⩽ 0} .

Esercizio 5 Data la funzione f : ℝ^{2} → ℝ definita da f(x, y) = y^{2}+x^{4}−2yx^{2} si dica se nel punto (1/2, 1/2)

l’insieme

Z = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | f(x, y) = 0}

è grafico di una funzione x = x(y) e/o di una funzione y = y(x). In caso affermativo si trovi la retta tangente a tale grafico. Lo stesso si faccia per il punto (0, 0).

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.