FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

TEMA 1

Esercizio 1 Data la funzione

f(x, y) = (log(x + 1) − 1) |y^{2} − 2x| + e^{x}

determinare il dominio di f e discutere continuità, derivabilità e differenziabilità di f nel suo dominio.

Esercizio 2 Si consideri il seguente insieme:

D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{\sqrt{3}}{2}y ≤ |x + 2|, (x + 2)^{2} + (|y| − 1)^{2} ≤ 4\} .

Disegnare D e determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = 3^{(x+|y|)} su D.

Esercizio 3 Dato l’insieme

S = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + 8 ≥ 2(y^{2} + z^{2}), x + \frac{1}{e^{2}} ≤ e^{−\sqrt{y^{2}+z^{2}}}\}

(a) fare un disegno qualitativo e calcolare il volume di S;

(b) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:

F (x, y, z) = (x arctan(xy) − x + \sqrt{2}, 6(y + \sqrt{2}) − y arctan(xy), z − arctan(xy))

Esercizio 4 (α diverso nei diversi temi; scambiare pari e dispari e il valore x con la costante...) Si scriva la serie di Fourier associata alla funzione dispari, 2π-periodica, definita in [0, π] da:

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x}{π} & 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} \\ α & \frac{π}{2} < x ≤ π. \end{matrix}

e se ne determini la somma ∀x ∈ [0, π].

Esercizio 5 Dato l’insieme

Z = {(x, y) : 2y − xe^{y} = 2}

(a) verificare che nell’intorno del punto (0, 1) esso è grafico di una funzione y = y(x);

(b) determinare a, b, c ∈ ℝ tali che y(x) = a + bx + cx^{2} + o(x^{2}) in un intorno di x = 0.

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Esercizio 2 alternativo Es 6 oppure es. 8 dei fogli di Fabio (adesso provo a farli)

Esercizio 3 alternativo (Per i temi diversi possiamo scambiare gli assi e dare valori diversi di R) Dato l’insieme

Σ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = R^{2}, 0 ≤ z ≤ −x + R}

(a) fare un disegno qualitativo di Σ;

(b) parametrizzare Σ;

(c) calcolare l’integrale ∫_{Σ}(3 − z) dσ.

Esercizio 5 alternativo Vogliamo mettere qualcosa di diverso da Dini, visto che c’era gi nel 1 appello?