Università degli Studi di Padova – Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, sede di Vicenza

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Vicenza, 26-01-2010

Esercizio 1 Dato l’insieme D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x−2)^{2} +y^{2} ⩽ 1 , y +(x−2)^{2} ⩽ 0}, calcolare il seguente integrale

∫∫_{D} (x − 2) dx dy

Esercizio 2 Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità in ℝ^{2} della funzione

f(x, y) = |y − x^{2}|y^{2} .

Esercizio 3 Determinare eventuali punti di massimo e di minimo assoluto per la funzione f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 1 − 2x − 2xy + 2y (questa altro non è che (y − x + 1)^{2}) in D = {(x, y) ∈ R^{2} : |x| ⩽ |y| + 1 , x^{2} + y^{2} ⩽ 9}.

Esercizio 4 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (yz, xz, xy) calcolare

∫_{S} F · ν dσ

dove S è il triangolo di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 2) e ν è la normale ad S orientata in modo tale da avere la terza componente positiva. Si calcoli poi

∫_{Σ} F · ν dσ

dove Σ è la superficie data dal bordo del tetraedro di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 2), (0, 0, 0).

Esercizio 5 Scrivere la serie di Fourier in soli seni della funzione f(x) = (x − π)^{2} con x ∈ (0, 2π) e studiarne la convergenza in ℝ.

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Commenti:

riguardo il primo la funzione integranda semplifica l’integrale, perché si devono integrare la funzione x − 2 moltiplicata per le due funzioni (x − 2)^{2} e \sqrt{1 − (x − 2)^{2}}

per quanto riguarda il massimo e minimo la funzione è non negativa e si annulla su un segmentino di bordo

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.