1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = |x + arctg \frac{x + 1}{x}|

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) − 1} .

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{sin(x + x^{2}) − sin x − x^{2}}{1 − \frac{x^{2}}{2} − cos x} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{log (e − \frac{1}{n})}{α})^{n} ,

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫_{−1}^{1} \frac{x^{2}}{(|x| − 3)(x + 3)} dx .