• Dopo averne determinato il dominio naturale, studiare la funzione definita dalla seguente espressione analitica:

f(x) = \frac{1}{arctg x}\sqrt{|x^{4} − 9x^{2}|} .

In particolare si studi la continuità e la derivabilità.

• Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = e^{\frac{|x+2|}{x+3}}

trovandone il dominio massimale.

• Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{sin(x + x^{2}) − sin x − x^{2}}{1 − \frac{x^{2}}{2} − cos x} .

• Studiare il seguente limite

lim_{x→0^{+}} \frac{αx − log(1 + x)^{2}}{x^{4} + x^{α}}

al variare di α > 0.

• Calcolare il valore dei seguenti integrali impropri (con la convenzione che il valore è +∞ o −∞ se diverge)

∫_{0}^{∞} arctg (\frac{1}{t}) dt , ∫_{0}^{∞} \frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1} dt , ∫_{0}^{∞} arctg (\frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1}) dt ,

confrontando all’infinito le tre funzioni

f_{1}(t) = arctg \frac{1}{t} , f_{2}(t) = \frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1} , f_{3}(t) = arctg (\frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1}) .

•

∫_{0}^{∞} arctg (\frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1}) dt , ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{4}dx .

• Calcolare

∫ \frac{1}{2x + 2\sqrt{x} + 5} dx

• Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ \frac{1}{\sqrt{2^{x} − 4}} dx

oppure

∫ \frac{1}{y\sqrt{y − 4}} dy

oppure

∫ \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 4}} dx