Test di recupero - 2005

September 13, 2005

1. È possibile valutare arccos(cos(3π))?

a) Sì, vale π.

b) Sì, vale 2π.

c) Sì, vale 3π.

d) Sì, ma può assumere infiniti valori diversi.

e) No, non è possibile.

2. Si consideri l’insieme A = {a_{1}, a_{2}, … a_{n}} composto da n elementi. Quante sono le possibili funzioni iniettive e suriettive f : A → A?

a) n!

b) 1

c) n

d) \frac{n!}{2}

d) n^{n}

3. A quale altro (o altri) dei seguenti numeri corrisponde il numero log_{5} (\sqrt{(−0, 2)^{2}})?

a) A nessun altro numero, non è possibile valutarlo.

b) 1

c) −1

d) log_{1/5} 5

e) \frac{1}{2} log_{5}(0, 4)

4. Sia data f : [−1, 1] → [0, 1] una funzione. L’equazione |f(x)| = f(x) a) ha esattamente 1 soluzione

b) ha esattamente 2 soluzioni

c) ammette infinite soluzioni

d) ammette soluzione solo se f è suriettiva.

e) ammette soluzione solo se f è iniettiva.

5. Quale (quali) fra i seguenti numeri è (sono) compreso (compresi) fra \sqrt{24} e \sqrt{37}?

a) \frac{16}{3}
b) \frac{13}{2}
c) \frac{11}{2}
d) \frac{15}{2}

6. Sia data f : R → R funzione. Se l’equazione f(x) = x ha una ed una sola soluzione è possibile dire se l’equazione

f(x − 1) = x − 1

ha soluzione? Se si, è possibile dire quante?

a) Non è nemmeno possibile stabilire sa l’equazione ha soluzione oppure no.

b) Si, ha una ed una sola soluzione.

c) È possibile dire che ha soluzione, ma non è possibile stabilirne il numero esatto.

d) Non ha mai soluzione.

e) Ha infinite soluzioni.

7. Siano A e B insiemi, entrambi diversi dall’insieme vuoto. Si supponga che l’equazione P (x) = 0 sia verificata se x ∈ A oppure se x ∉ B. Quale (o quali) fra le seguenti affermazioni è (o sono) vera (vere)?

a) Se x ∈ B, allora P (x) ≠ 0.

b) Se A ∩ B = ∅ e x ∉ A allora P (x) = 0.

c) Se A ∩ B ≠ ∅ e x ∈ A ∩ B allora P (x) = 0. d) Sapendo che dalla proposizione “x ∈ A” si deduce la proposizione

“x ∉ B”, si deduce che A ∩ B = ∅.

e) [x ∈ B ⇒ P (x) = 0] ⇒ A ∩ B ≠ ∅.

8. Siano f_{1} : (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) → R, f_{1}(x) = \frac{1}{x + 1},

f_{2} : R → R, f_{2}(x) = x^{2},

f_{3} : R → R, f_{3}(x) = |x|,

f_{4} : R → R, f_{4}(x) = x + 2.

Quale (quali) tra le seguenti affermazioni è vera (sono vere)?

a) f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{4}(x) = \frac{1}{x^{2} + 4x + 5}.

b) f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{4} = f_{1} ∘ f_{3} ∘ f_{2} ∘ f_{4}.

c) f_{4} ∘ f_{3} ∘ f_{2} ∘ f_{1}(x) = \frac{1}{x^{2} + 4x + 5}.

d) f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{4} ha come dominio R.

e) f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{4} non ha come dominio R.

9. • In casa ci sono polpette, salsicce e verdura. Se Domenico ha fame

mangia le salsicce.

• (A ∨ B) → C oppure (A → B) → ((B → C) → (A → C))

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Risposte

1. a)

2. a)

3. c), d)

4. c)

5. a), c)

6. b)

7. c), d), e)

8. a), b), d) 9. 10. 11. 12. 13. Per le dispense: Sia data f : [0, 1] → [0, 1] funzione biiettiva e strettamente

crescente. Quante soluzioni ha l’equazione f(x) = x? Risposta: per ogni n ∈ N, n ⩾ 2, esiste una funzione monotona crescente tale che l’equazione f(x) = x ha esattamente n soluzioni.