\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\oddsidemargin -0.5cm \textwidth 17cm \topmargin -2.5cm \textheight 27cm

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\def\data{18 Marzo 2008}
\def\evento{SECONDO COMPITINO}

\def\dede#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\def\matrice#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}
\newcommand{\vp}{\varphi} 
\newcommand{\vt}{\vartheta}
\newcommand{\hess}{{\rm Hess}}
\newcommand{\mt}{{\rm mt\,}}
\renewcommand{\sec}{{\rm sec\,}}
\newcommand{\kg}{{\rm kg\,}}
\newenvironment{sv}{\par\noindent{\bf
Svolgimento.\/}}{\hfill$\square$\vskip .3cm}
\newtheorem{ex}{Esercizio} 
\def\matrice#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}



\noindent\hrulefill 
\vskip1mm
\raisebox{-9mm}{\includegraphics[width=21mm,height=21mm]{unipd.eps}}
\hskip2cm 
\begin{tabular}{l} 
\bf LAUREA DI PRIMO LIVELLO IN FISICA\\ 
\bf ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA\\ 
\bf \evento\hskip 0.5cm ---\hskip 0.5cm \data \\ 
\bf PARTE A
\end{tabular}
\vskip1mm
\noindent\hrulefill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip 1cm \par \noindent \begin{tabular}{@{} p{7cm} p{8cm}}
{\bf Esercizio.} Tre punti materiali $A,B,C$ di massa $m$ sono vincolati alla circonferenza di raggio $\ell$. Ogni coppia di punti è collegata da una molla di costante elastica $k$. Si scelgano come coordinate Lagrangiane $(\vt,\vp,\psi)$ ove $\vt\in S^1$ è l'angolo tra l'asse orientato delle $x$ ed il segmento orientato $OA$, $\vp\in S^1$ è l'angolo tra i segmenti orientati $OA$ e $OB$ e $\psi\in S^1$ è l'angolo tra i segmenti orientati $OA$ e $OC$.
\par\noindent {\bf a.} Si scriva l'espressione dell'energia potenziale $V(\vt,\vp,\psi)$, si dimostri che le configurazioni $e_1=(0,0,\pi)$ ed $e_2=(0,\frac {2\pi}{3},\frac {4\pi}{3})$ sono di equilibrio, e se ne studi la stabilità.
\par\noindent {\bf b.} Si scriva la Langrangiana del sistema, la si riduca rispetto alla variabile ciclica, e si ottenga la forma più semplice per la Lagrangiana ridotta usando quanto imparato sulle Lagrangiane equivalenti.
\par\noindent {\bf c.} Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno all'equilibrio $\vp=\psi=0$ del sistema ridotto.&
\begin{center}
\includegraphics[width=7.5cm]{080308}
\end{center}
\end{tabular}
\par\noindent {\bf d.} Qual'è il moto del sistema completo corrispondente all'equilibrio $(0,0)$ del sistema ridotto? Si usi tale moto per dimostrare l'instabilità dell'equilibrio $(0,0,0)$ del sistema completo.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip 1cm\noindent {\bf Esercizio 2.}
Sia data la Lagrangiana 
$$
L = \frac 12 M (\dot r^2 + \dot \vt^2 + \dot s^2) - \frac k2 \Big( (s - r)^2  - \sin\vt\Big) - \frac 32 M g \sin\vt.
$$
\par\noindent {\bf a.} Scrivere la trasformata di Legendre e la Hamiltoniana associata ad $L$.
\par\noindent {\bf b.} Calcolare la parentesi di Poisson tra $H$ e $p_r+p_s$. 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vfill
\noindent\hrulefill\vskip0.1cm\par
{\it \noindent $\bullet$ Consegnare le risposte alle parti A e B su fogli separati.
\par\noindent $\bullet$ Scrivere nome e cognome su ogni foglio consegnato IN MODO LEGGIBILE.
\par\noindent $\bullet$ Leggere con attenzione il testo e rispondere solo alle domande fatte. Non divagare.
\par\noindent $\bullet$ Consegnare solo la bella. Cancellare in modo chiaro tutto ci\`o che non deve essere valutato.
\par\noindent $\bullet$ Indicare il numero di esercizio/domanda che si sta svolgendo e gli esercizi non svolti.}
\par\noindent\hrulefill
\eject




\noindent\hrulefill 
\vskip1mm
\raisebox{-9mm}{\includegraphics[width=21mm,height=21mm]{unipd.eps}}
\hskip2cm 
\begin{tabular}{l} 
\bf LAUREA DI PRIMO LIVELLO IN FISICA\\ 
\bf ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA\\ 
\bf \evento\hskip 0.5cm ---\hskip 0.5cm \data \\ 
\bf PARTE B
\end{tabular}
\vskip1mm
\noindent\hrulefill

\vskip1.5cm
\noindent
{\it Rispondere in modo sintetico ma preciso alle seguenti domande:}

\vskip.3cm\noindent
{\bf Domanda 1.}

\vskip.3cm\noindent
{\bf Domanda 2. } 

\vskip.3cm\noindent
{\bf Domanda 3.} 

\vskip.3cm\noindent
{\bf Domanda 4.} 

\vskip.3cm\noindent
{\bf Domanda 5.} 

\vskip 3cm\noindent



\vfill
\noindent\hrulefill\vskip0.1cm\par
{\it \noindent $\bullet$ Consegnare le risposte alle parti A e B su fogli separati.
\par\noindent $\bullet$ Scrivere nome e cognome su ogni foglio consegnato IN MODO LEGGIBILE.
\par\noindent $\bullet$ Leggere con attenzione il testo e rispondere solo alle domande fatte. Non divagare.
\par\noindent $\bullet$ Consegnare solo la bella. Cancellare in modo chiaro tutto ci\`o che non deve essere valutato.
\par\noindent $\bullet$ Indicare il numero di esercizio/domanda che si sta svolgendo e gli esercizi non svolti.}
\par\noindent\hrulefill
\eject


\begin{center}
{\bf SOLUZIONI AGLI ESERCIZI (PARTE A)}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\bf Esercizio 1}
\end{center}

{\bf Svolgimento.} Le posizioni dei punti $A,B,C$ associate alla scelta consigliata di coordinate Lagrangiana sono
$$
OA= \ell (\cos\vt,\sin\vt), \quad OB= \ell (\cos(\vt+\vp),\sin(\vt+\vp)),
$$
$$
OC= \ell (\cos(\vt+\psi),\sin(\vt+\psi)).
$$

L'energia potenziale associata ad uno stato del sistema è la funzione
\begin{multline*}
V(\vt,\vp,\psi)= V_k^{AB}+V_k^{AC}+V_k^{BC}= \frac k2 \ell^2\Big[(\cos\vt- \cos(\vt+\vp))^2+(\sin\vt- \sin(\vt+\vp))^2+\\
+(\cos\vt- \cos(\vt+\psi))^2+(\sin\vt- \sin(\vt+\psi))^2+(\cos(\vt+\psi) -\cos(\vt+\vp))^2+(\sin(\vt+\psi)- \sin(\vt+\vp))^2 \Big]
\end{multline*}
che usando le proprietà di duplicazione degli angoli, è equivalente alla funzione
$$
V(\vt,\vp,\psi)= - k\ell^2 \left(\cos(\vp) + \cos(\psi)+\cos(\vp-\psi)\right)
$$

Il gradiente di $V$ è il vettore
$$
-k \ell^2 \matrice{0\\-\sin\vp - \sin(\vp-\psi)\\-\sin\psi + \sin(\vp-\psi)}
$$
che, calcolato nei punti $e_1=(0,0,0)$, $e_2=(0,0,\pi)$, $e_3=(0,\frac {2\pi}{3},\frac {4\pi}{3})$ diventa rispettivamente
$$
-k \ell^2 -k \ell^2 \matrice{0\\-\sin0 - \sin0\\-\sin0 + \sin0},\qquad -k \ell^2 \matrice{0\\-\sin0 - \sin(-\pi)\\-\sin(-\pi) + \sin-\pi}, -k \ell^2 \matrice{0\\-\sin\frac {2\pi}{3} - \sin(-\frac {2\pi}{3})\\-\sin\frac {4\pi}{3} + \sin(-\frac {2\pi}{3})},
$$
in tutti e tre i casi il gradiente si annulla. La matrice Hessiana di $V$ è
$$
-k \ell^2 \matrice{0 &0& 0\\0& -\cos\vp - \cos(\vp-\psi)& \cos(\vp-\psi)\\0&  \cos(\vp-\psi) & -\cos\psi - \cos(\vp-\psi)},
$$
che, calcolata in $e_1$ diventa
$$
-k \ell^2 \matrice{0 &0& 0\\0& -2& 1\\0&  1& -2},
$$
ed ha due autovalori positivi ed uno nullo, infatti la funzione è invariante per traslazioni lungo $\vt$, e quindi non puo' avere minimo stretto, quindi non si puo' concludere. Invece calcolata in $e_2=(0,0,\pi)$ la matrice diventa
$$
-k \ell^2 \matrice{0 &0& 0\\0& 0& -1\\0&  -1 & -2},
$$
che ha un autovalore positivo ed uno negativo, quindi l'equilibrio è instabile. Infine, calcolata in $e_3=(0,\frac {2\pi}{3},\frac {4\pi}{3})$ diventa
$$
-k \ell^2 \matrice{0 &0& 0\\0& -\cos\frac {2\pi}{3} - \cos(-\frac {2\pi}{3})& \cos(-\frac {2\pi}{3})\\0&  \cos(-\frac {2\pi}{3}) & -\cos\frac {4\pi}{3} - \cos(-\frac {2\pi}{3})}=k \ell^2\cos\frac {2\pi}{3} \matrice{0 &0& 0\\0& 2& -1\\0& -1 & 2},
$$
ed ha due autovalori negativi, quindi l'equilibrio è instabile. 

Per scrivere la Lagrangiana si deve calcolare l'energia cinetica. Le velocità dei punti $A,B,C$ associate ad un atto di moto sono
$$
\dot{OA}= \ell \dot\vt (-\sin\vt,\cos\vt), \quad \dot{OB}= \ell (\dot\vt+\dot\vp) (-\sin(\vt+\vp),\cos(\vt+\vp)),
$$
$$
\dot{OC}= \ell(\dot\vt+\dot\psi)(-\sin(\vt+\psi),\cos(\vt+\psi)).
$$
Si ottiene quindi che
$$
T= \frac 12 m \ell^2 \Big[ \dot\vt^2 +(\dot\vt+\dot\vp)^2 +(\dot\vt+\dot\psi)^2\Big]=  \frac 12 m \ell^2 \Big[ 3 \dot\vt^2 + \dot\vp^2 +\dot\psi^2 +2 \dot\vt\dot\vp +2 \dot\vt\dot\psi\Big].
$$
La Lagrangiana è $L=T-V$, quindi la variabile $\vt$ è ciclica. Segue che $\partial_{\dot\vt} L = m \ell^2 \Big[ 3 \dot\vt +\dot\vp +\dot\psi\Big]=c$ e quindi che $\dot\vt =\frac 13(\frac c{m \ell^2}-\dot\vp -\dot\psi)$. La Lagrangiana ridotta è quindi
\begin{align*}
L_c=\frac 12 m \ell^2 \Big[ -3 \dot\vt^2 + \dot\vp^2 +\dot\psi^2 \Big] + k\ell^2 \left(\cos(\vp) + \cos(\psi)+\cos(\vp-\psi)\right)|_{\frac 13(\frac c{m \ell^2}-\dot\vp -\dot\psi)}=\\
=\frac 12 m \ell^2 \Big[ -\frac 13(\frac c{m \ell^2}-\dot\vp -\dot\psi)^2 + \dot\vp^2 +\dot\psi^2 \Big] + k\ell^2 \left(\cos(\vp) + \cos(\psi)+\cos(\vp-\psi)\right)\simeq\\
\simeq\frac 12 m \ell^2 (1+\frac 13 \frac {c^2}{m^2 \ell^4})\Big[\dot\vp^2 +\dot\psi^2 \Big] + k\ell^2 \left(\cos(\vp) + \cos(\psi)+\cos(\vp-\psi)\right)
\end{align*}

In questo caso l'analisi svolta al punto {\bf (a)} assicura che l'equilibrio $(\vp_0,\psi_0)=(0,0)$ è stabile. Ma la legge di conservazione permette di ricostruire il moto che si proietta sull'equilibrio. infatti sopra l'equilibrio relativo vale $\dot\vt =\frac 13(\frac c{m \ell^2})$, ovvero la funzione $t\mapsto (\vt_0 + \frac 13(\frac c{m \ell^2})t,0,0)$ è soluzione del sistema Lagrangiano originale. Segue che vicino a piacere alla soluzione di equilibrio $t\mapsto (0,0,0)$ vi sono soluzioni del sistema Lagrangiano (basta far tendere $c$ a zero). Segue l'instabilità anche dell'equilibrio $(0,0,0)$.  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\bf Esercizio 2}
\end{center}

\par\noindent {\bf a.} La trasformazione 


\par\noindent {\bf b.} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\vfill
\end{document}










