F. Fasso`.    Universita` di Padova.

Laboratorio Computazionale's Gallery

The course is built upon the idea that through the investigation of a number of sample problems students acquire some `how to' knowledge, develop some programming skills and, foremost, they savour the possibility and the pleasure of doing mathematics with a computer. The chosen problems range from cryptography to Julia sets, from L-systems to fractal landscape generation, from visualization of hyperbolic geometry to chaotic behaviour in population dynamics.  The course uses the programming language Mathematica.

Il corso di Laboratorio Computazionale e` un corso facoltativo della laurea triennale in Matematica. Lo scopo del  corso e` introdurre all’uso di un programma di Calcolo Simbolico ed offrire agli studenti un'occasione di esplorare le potenzialita` del fare matematica con un computer. Il corso inoltre e` un'occasione per fare esperienza pratica di programmazione. Problem solving. In parole piu` semplici, lo scopo del corso potrebbe essere descritto come

divertirsi facendo matematica al computer

Fra le ricadute positive, vi sono: accquisizione di familiarita` con l'uso di linguaggi di programmazione per risolvere problemi. Acquisizione di working knowledge in programmazione funzionale.  Acquisizione elevata di competenze nell'uso del software Mathematica. L'enfasi NON e` pero` su Mathematica. Una delle idee che ha guidato lo sviluppo di questo corso e` che la prossima generazione di matematici lavorera` frequentemente con l'ausilio di mezzi elettronici e programmi di calcolo simbolico. Come amo dire: avrete un computer sul vostro tavolo sul quale corre un programa di calcolo simbolico. E` pertanto indispensabile che gli studenti aprendano ad untilizzare questi strumenti. Piu` precisamente, che apprendano COSA si puo` fare in questo modo: qualunque sia il software che avranno a disposizione (per es. evoluzioni di Mathematica o Maple o MuPad o prodotti che verranno sviluppati in futuri), lo studente dovra` essere in grado di utilizzarlo. Per questo, nel corso viene utilizzato UN programma di calcolo simbolico esistente (Mathematica) nella convizione che, se e quando necessario, lo studente potra` poi con relativa facilita` passare ad un altro programma dello stesso tipo. Concordemente con questa impostazione, l'enfasi del corso NON e` su Mathematica, ma sul suo uso nello studio di concreti problemi, sia analitici che numerici, che provengono da diverse aree della matematica. Ciononostante, attraverso il fare, gli studenti apprendono ad usare Mathematica ad un livello piuttosto sofisticato, e con enfasi su un approccio di programmazione funzionale, che pare particolarmente indicato per la mentalita` dei matematici.

Fra i problemi matematici studiati vi sono: distribuzione di numeri primi, crittografia, insiemi frattali, insiemi di Julia e di Mandelbrot, costruzione di paesaggi frattali, geometria iperbolica nel disco di Poincare', fenomeni caotici in sistemi dinamici discreti e continui, dinamica delle popolazioni, e nuovi problemi aggiunti ogni anno.

Il corso consiste in gran parte nell’apprendimento tramite lavoro al computer individuale o in piccoli gruppi su problemi di matematica illustrati in aula. La collaborazione fra studenti e` incoraggiata.

Numeri primi

Distribuzione dei numeri primi

k=100;
Δ[n_]:=Do[If[PrimePi[n+h]-PrimePi[n]==k,Return[h]],{h,1,2n}];
confronto[n_]:=Plot[PrimePi[x],{x,n,n+Δ[n]},AspectRatio->1,DisplayFunction->Identity,PlotLabel->n,PlotStyle->Hue[.7]];
confronto[n_]:=Plot[PrimePi[x],{x,n,n+Δ[n]},AspectRatio->1,DisplayFunction->Identity,PlotLabel->n,PlotStyle->Hue[.7]];
Show[GraphicsArray[Table[confronto[(10^(3i+j))],{i,0,0},{j,3,4}]],ImageSize->500,PlotLabel->"Confronto di π su vari intervalli"]

Show[GraphicsArray[Table[confronto[(10^(3i+j))],{i,1,1},{j,3,4}]],ImageSize->500,PlotLabel->"Confronto di π su vari intervalli"]

Crittografia

Implementazione di alcuni sistemi crittografici classici e moderni (RSA).

Insiemi frattali

Frattali classici

Curva di Koch

Guarnizione di Sierpinski:

Spugna di Menger

Cacolo della dimensione frattale

Insiemi di Julia e Mandelbrot

Julia set  (Nicolo` Martini, 2004)

Mandelbrot set (N. Martini 2003)

L-sistemi e crescita di alberi

Idea base:

Camilla Simeoni (2005):

Geometrie non euclidee

Nel disco di Poincare' una "retta" (geodetica)  ha infinite parallele:

Tassellazione del disco di Poincare'

Paesaggi frattali

Creazione di paesaggio frattale (G. Dimasi, 2005)

Misura della dimensione di un paesaggio frattale (metodo del counting box) (G. Lazzarini, 2007)

Caos in modelli deterministici  (dinamica di popolazioni etc.)

Pendolo forzato (T. Babetto, 2003)

Dinamica di popolazioni (Girardi, 2004)

... e altro ancora