Francesco Fassò, Andrea Giacobbe

Università degli studi di Padova

Note del corso di
Laboratorio Computazionale
A.A. 2009—2010

Bacini multipli e laghi di Wada

P.1 Bacini multipli di attrazione

Un metodo molto famoso per trovare zeri di funzioni è il metodo di Newton. Questo metodo si basa sulla costruzione di una successione che converge ad uno zero della funzione.

Si tratta di un algoritmo di ricerca degli zeri di una funzione (complessa) f[z], e si basa sull'approssimazione lineare della funzione.

È così efficace, che è tuttora il motore degli algoritmi per la ricerca numerica degli zeri.

P.1 Bacini multipli di attrazione

Supponiamo data una funzione f[z] e facciamo una ipotesi iniziale su dove si trovi lo zero che ci interessa si trovi in (Subscript[z, 0]).

Sappiamo che vale f[z]=f[(Subscript[z, 0])]+f'[(Subscript[z, 0])] (z-(Subscript[z, 0])) + O((((z-(Subscript[z, o])))^2)).

Approssimiamo f[z] con (Subscript[g, (Subscript[z, 0])])[z]=f[(Subscript[z, 0])]+f'[(Subscript[z, 0])] (z-(Subscript[z, 0])).

Una approssimazione "migliore" dello zero di f[z] sarà quindi l'unico zero di (Subscript[g, (Subscript[z, 0])]) nel piano complesso, ovvero il punto (Subscript[z, 1])=(Subscript[z, 0])-((f[(Subscript[z, 0])])/(f'[(Subscript[z, 0])]))

P.1 Bacini multipli di attrazione

Si ottiene così una successione di punti (Subscript[z, 0]),(Subscript[z, 1]),... che dovrebbe convergere verso uno zero di f[z]

Ma... a quale zero converge la successione? Come dipende il limite dall'ipotesi iniziale?

Progetto 1: si definisca una funzione che, data una funzione complessa f, un dominio rettangolare del piano complesso R⊂ℂ ed un parametro di finezza, disegni in colori diversi i bacini di attrazione dei vari zeri di f. Si applichi la funzione ai polinomi ciclotomici ed alle funzioni che producono disegni interessanti o belli.

P.1 Bacini multipli di attrazione

Aveta una lista di zeri (Subscript[Z, 1]),...,(Subscript[Z, n]). Scegliete un numero ragionevole di iterazioni N ed una tolleranza ε. Se prima di quel numero di iterazioni siete a meno di ε dallo zero (Subscript[Z, i]), allora date un valore di colore dipendente da i. Fate poi il disegno

P.2 Laghi di Wada

Pensate di avere tre insiemi A,B,C del piano connessi (dei laghi), e di volerli deformare in modo tale che ogni punto

Supponete di volerli "intorcinare" in modo tale che ogni punto del bordo di uno di questi insiemi sia anche nel bordo degli altri 2

Si tratta di una deformazione molto difficile da immaginare, eppure...

P.2 Laghi di Wada

Nel 1917, dando il credito della scoperta al suo insegnate Takeo Wada, il topologo giapponese Kunizō Yoneyama descrisse la seguente costruzione

Considerate  in una isola  quadrata in cui sono presenti 3 laghi, indichiamoli con le lettere A,B,C

Il primo giorno, partendo dal lago A si costruisce un canale senza cicli che passi a distanza (1/2) (km?) da ogni punto dell'isola

Il secondo giorno, partendo dal lago B si costruisce un canale senza cicli che passi a distanza (1/(2^2)) da ogni punto dell'isola

P.2 Laghi di Wada

Il terzo giorno, partendo dal lago C si costruisce un canale senza cicli che passi a distanza (1/(2^3)) da ogni punto dell'isola

Il quarto giorno, si estende la canalizzazione di A così che questa passi a distanza (1/(2^4)) da ogni punto dell'isola

Tutti questi passaggi sono possibili, a patto che i canali costruiti non formino lacci che disconnettono l'isola

P.2 Laghi di Wada

Nel disegno che segue, i laghi sono inizialmente posti ad (1/2), (1/4) ed (1/8) del lato sinistro. Il lago rosso viene esteso così da coprire il grande rettangolo rosso. Il lago verde viene esteso così da creare la regione a verde a forma di U. Il lago blue viene esteso così da circumnavigare il canale verde. A questo punto, tocca nuovamente al lago rosso, dal quale diparte il sottile canale rosso. Poi tocca al verde ...

P.2 Laghi di Wada

Questa costruzione topologica è aulica, ovvero è fatta per essere raccontata in classe, ma non ha relazioni con la realtà (con la sola eccezione di chi pianifica la costruzione di strade)

In realtà, questo tipo di oggetti sono più diffusi di quanto si immagina: bisogna solo avere un sistema dimanico con delle orbite periodiche attrattive e delle orbite periodiche di tipo "sella".

P.2 Laghi di Wada

Consideriamo il sistema dinamico del pendolo forzato–smorzato, ovvero

un pendolo di lunghezza ℓ e massa m, soggetto alla forza di gravità, soddisfa all'equazione differenziale

m ℓ (x^(••))=-γ (x^•)- m g Sin[x]

Con l'aggiunta di un termine forzante

m ℓ (x^(••))=-γ (x^•)- m g Sin[x]+f[t]

dove f[t]:ℝ->ℝ è detto termine forzante (o semplicemente forzante).

P.2 Laghi di Wada

Cambiando l'unità di misura dello spazio, del tempo e della massa, si a–dimensionalizza l'equazione e ci si riduce a

(x^(••))=-γ (x^•)-Sin[x]+f[t]

Il campo vettoriale associato a questa equazione differenziale è non–autonomo (ovvero dipende da t)

X=(({{v}, {-γ v - Sin[x]+f[t]}}))

L'unicità delle soluzioni, in questo caso, è vera prendendo in considerazione il campo vettoriale in (Subscript[ℝ, x])×(Subscript[ℝ, v])×(Subscript[ℝ, t]) le cui componenti sono

X=(({{v}, {-γ v - Sin[x]+f[t]}, {1}}))

P.2 Laghi di Wada

Ovviamente, un tale campo vettoriale non può avere soluzioni di equilibrio (non è mai nullo). Ma avrà sicuramente soluzioni periodiche (pensate a cosa succede nel caso non forzato, e poi cosa può fare una forzate piccola).

In particolare, quando il termine forzante è periodico ad esempio f[t]=Cos[t], allora

Proposizione: Le soluzioni periodiche hanno periodo che è multiplo del periodo della forzante

P.2 Laghi di Wada

Progetto 2a: risolvere il sistema con l'integratore NDSolve (se volete, tentate con un integratore di tipo splitting) e mostrare che le soluzioni tendono verso soluzioni periodiche. Rappresentare tali soluzioni periodiche attraverso grafici ed animazioni

Sembra insomma che una buona parte dei dati iniziali convergano verso un'orbita periodica

Volendo determinare verso quale orbita periodica venga attratto un dato punto iniziale, dobbiamo:

P.2 Laghi di Wada

1. scegliere un'orbita periodica, e determinare una palla all'interno della quale tutti i dati iniziali convergono verso tale orbita. Una volta scelta tale palla, le altre palle sono le 2k π traslate di tale palla

2. dato un punto qualsiasi, calcolare la sua orbita fino a che questa non sia caduto all'interno di una di tali palle. Assegnare a quel punto il valore k

3. disegnare i punti del piano in accordo con il valore di k assegnato ad essi

Progetto 2: si disegnino i laghi di Wada. Per calcolare la mappa di Poincaré, si usi o l'integratore NDSolve di Mathematica, od un metodo splitting possibilmente supportato (per velocizzarlo) da un programma esterno.

Francesco Fassò, Andrea Giacobbe

Università degli studi di Padova

Note del corso di
Laboratorio Computazionale
A.A. 2009—2010

Gli attrattori strani

L'attrattore di Lorentz

L' attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento complesso.

Venne scoperto da Edward N.Lorenz, del Massachusetts Institute of Technology, nel 1963.

Semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido, Lorenz ottenne un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine

X[σ_,r_,b_][{x_,y_,z_}]:={σ(y-x), -x z+r x-y,x y-b z}

L'attrattore di Lorentz

Le equazioni descrivano bene il fenomeno di convezione solo per r 1

portando il parametro r dell'equazione completamente fuori dall' appropriato regime fisico si ottengono comportamenti complessi

Lorentz scelse σ=10, r=28 e b=8/3

eq={x,y,z}/.Solve[X[10,28,8/3][{x,y,z}]=={x,y,z},{x,y,z}]//Simplify
Graphics3D[Point[eq],PlotRange->{{-50,50},{-50,50},{-50,50}}]

L'attrattore di Lorentz

Che tipo di equilibri sono?

Eigenvalues[{D[Evaluate[X[10,28,8/3][{x,y,z}]],x],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],y],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],z]}/.{x->0,y->0,z->0}]//N

Eigenvalues[{D[Evaluate[X[10,28,8/3][{x,y,z}]],x],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],y],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],z]}/.Thread[{x,y,z}->{-(Sqrt[86]),-((11 (Sqrt[(43/2)]))/5),(129/5)}]]//N

Eigenvalues[{D[Evaluate[X[10,28,8/3][{x,y,z}]],x],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],y],D[X[10,28,8/3][{x,y,z}],z]}/.Thread[{x,y,z}->{(Sqrt[86]),((11 (Sqrt[(43/2)]))/5),(129/5)}]]//N

L'attrattore di Lorentz

Come sarà fatta la rete di varietà stabili/instabili

Cerchiamo l' attrattore

L'attrattore di Rossler

L'attrattore di Henon

Attrattore di Henon

F[{x_,y_}]={y+1-a x^2,b  x}

Gli equilibri sono in

{x,y}/.Solve[X[{x,y}]=={x,y},{x,y}]//Simplify
Manipulate[Graphics[Map[Point,%],PlotRange->{{-2,2},{-2,2}}],{a,1,2},{b,0,2}]

Cosa fa il resto della dinamica?