La mappa standard

La mappa standard è una trasformazione di (S^1) x R ->  (S^1) x R che manda (φ, i) ->  (φ + i,  
          i  +  ε Sin[i  +  φ]). Si può pensare la mappa come una perturbazione della mappa (φ, i) -> (φ + i, 
          i).

Per ε = 0 la mappa imperturbata ha orbite contenute nell' insieme (Subscript[M, c]) = {i = c} , con c costante. Gli insiemi (Subscript[M, c]) con c razionale sono unione di orbiteperiodiche, gli insiemi (Subscript[M, c]) con c irrazionale sono unione di orbite dense. L' orbita (Subscript[M, 0]) è composta di punti fissi.

Quando si aumenta ε e lo si scegli positivo (minore di 4), allora la mappa standard ha due soli punti fissi, uno ellittico ed uno iperbolico. Il punto iperbolico ha varietà stabile ed instabile 1–dimensionale, che hanno punti di intersezione omoclini. Quindi il sistema presenta una rete omoclina ed è caotico.

Ci prefiggiamo di studiare la mappa standard. Suddividiamo in punti l'analisi che faremo, in calce ad ogni punto diamo dei suggerimenti sulle funzioni di Mathematica da usare e su alcune scelte che rendono i risultati "leggibili".

A– determinare gli equilibri, linearizzare agli equilibri ed analizzare lo spettro del sistema linearizzato.

Per determinare gli equilibri conviene usare il comando Reduce, e poi leggere la risposta (oppure fare il conto a mano). Scritta poi la matrice Jacobiana della mappa ai due equilibri, calcolare con Eigenvalues gli autovalori e mostrare in un grafico (usando Plot, Real ed Imaginary) che in (π,0) gli autovalori sono complessi, non-reali, di modulo 1, mentre in (0,0) sono reali, uno positivo ed uno negativo.

B– fissato un ε, disegnare il ritatto in fase rappresentando un po' di orbite significative. Ripetere i disegni per vari ε.

Definire la mappa da iterare F[ε][{φ,i}], usare il comando NestList e la funzione Map per costruire liste di famiglie di traiettorie, usare quindi il comando ListPlot per disegnarle.

C– disegnare la varietà instabile.

Prendere i dati allineati lungo la direzione instabile, ed usare ancora NestList come fatto sopra, ma usando opportunamente la funzione Map così da poter fornire in input la lista dei dati iniziali. Le traiettorie contruite usando i dati iniziali dovrebbero ombreggiare la varietà instabile. 

Conviene scegliere ε>1, prendere molti dati iniziali molto vicini all'origine ed allineati lungo la direzione instabile. Si itera poi la mappa poche volte, così da visualizzare solo le prime anse della rete omoclina.

D– disegnare la varietà stabile.

Per prima cosa si deve scrivere l'inversa, G[ε][{ϑ,j}] della mappa standard, si procede poi come fatto al punto D scegliendo punti allineati stavolta lungo la direzione stabile dell'equilibrio iperbolico.

Per ottenere la varietà instabile dobbiamo invertire la mappa F

E– mostrare i risultati in un solo ritratto.

Basta usare il comando Show, volendo si possono specificare i paremetri di PlotRage per visualizzare al meglio la rete omoclina.

Il pendolo forzato

In questo secondo esercizio, vogliamo sperimentare quanto dimostrato nel teorema di Poincaré - Melnikov. Usando quel teorema abbiamo mostrato in modo teorico che un pendolo forzato —ovvero un sistema Hamiltoniano ad 1 grado di libertà di Hamiltoniana  H(q, p, 
          t) = (1/2) 
            (p^2) -  (ω^2) cos(q)  +  ε f(q, 
              t)— ha un equilibrio iperbolico le cui varietà stabile/instabile si intersecano trasversalmente, generando quindi una rete omoclina.

Senza ripetere la teoria, ricordiamo che se la forzante è periodica allora il sistema si può discretizzare con il metodo delle sezioni di   Poincaré, e fornisce un sistema discreto nello spazio delle fasi  (S^1) x R. Questo sistema discreto ha un punto iperbolico ed una intersezione omoclina.

Scegliamo quindi un pendolo forzato con forzante  2 π–periodica  f(q, 
          t)  =  (ω^2) cos(q) sin(t). Le equazioni differenziali associate a questo problema sono quindi  (q^•) =  p, (p^•) = -(ω^2)(
              1 + ε sin(t)) sin(q) , (t^•) = 1.

Dobbiamo quindi definire la mappa ottenuta integrando il sistema per T = 2 π, e dobbiamo disegnare varietà stabile ed instabile del punto iperbolico (π, 0) di tale mappa. (Per convenienza, poniamo ω = 1.)

A– applicazione del metodo splitting al pendolo forzato.

Il metodo splitting è un modo decisamente fruttuoso per integrare numericamente un campo vettoriale V. Si basa su di una ipotesi sulla forma di V e si di un Teorema. L'ipotesi è che il campo vettoriale V sia somma di due campi vettoriali il cui flusso è noto, ovvero che V=X+Y con X,Y campi vettoriali tali che i loro flussi Φ e Ψ siano noti. Il Teorema dice che la mappa (Ξ^s)=(Φ^((s/2)))∘(Ψ^s)∘(Φ^((s/2))) approssima bene il flusso esatto al tempo s del campo vettoriale V.

Il campo vettoriale che intendiamo prendere in considerazione è V={p,-(1+ε sin(t))sin(q),1}. Questo campo vettoriale è trivialmente somma di 
X={p,0,1} ed Y={0,-(1+ε sin(t))sin(q),0}. Definire una approssimazione della mappa di Poincaré (sugg. calcolare (Ξ^(((2  π)/n))) e definire la mappa di Poincaré Ω iterando questa mappa n volte).

B– disegnare la varietà instabile.

In questo caso non serve determinare gli spazi stabile ed instabile, infatti per piccole perturbazioni essi si spostano leggermente da quelli del pendolo imperturbato, che sono le bisettrici.

C– disegnare la varietà stabile.

In questo caso non occorre neanche invertire la mappa, infatti basta solo invertire i tempi e cambiare bisettrice.

D– mostrare l'intersezione omoclina.