Indicazioni: aprite il menù Evaluation e clickate sul comando Evaluate Notebook

SetOptions[ContourPlot,{ImageSize->200,ContourStyle->{Black,{Thick,Black}},Frame->False,Axes->True}];
SetOptions[PolarPlot,{ImageSize->200,PlotStyle->{Thick,Black}}];

Sulle coniche in rappresentazione polare

Definizione: siano dati un punto O detto fuoco, e una retta ℓ detta direttrice. Il luogo dei punti P del piano tali che la distanza dal fuoco è proporzionale alla distanza di P dalla direttrice è una conica.

Per formalizzare la definizione resta solo da quantificare il coefficiente di proporzionalità, che indichiamo con e e chiamiamo. eccentricità.

A meno di traslazioni, possiamo assumere che O sia l’origine, a meno di rotazioni, possiamo assumere che ℓ sia parallela all’asse y, a meno di omotetie, possiamo assumere che ℓ passi per il punto di coordinate (1,0).

L’equazione del luogo geometrico sopra definito diventa

	(x^2)+(y^2)==(((e^2)(1-x))^2)

Manipulate[ContourPlot[{x==1,((x^2)+(y^2))==(e^2)(((1-x))^2)},{x,-3,3},{y,-3,3}],{{e,0.5},0,3}]

Osserviamo che i punti del luogo geometrico non possono avvicinarsi a fuoco nè alla direttrice

L’equazione in coordinate polari diventa

	(r^2)==(e^2) (((1-r Cos[ϑ]))^2)

che ha come soluzioni r=(e/(1+e Cos[ϑ])), oppure r=(e/(-1+e Cos[ϑ])).

I due insiemi coincidono. Infatti se nella seconda equazione si cambia ϑ->-ϑ ed r->-r si ottiene la prima equazione. Consideriamo quindi solo la prima equazione r[ϑ]=(e/(1+e Cos[ϑ]))

Manipulate[PolarPlot[(e/(1+e Cos[ϑ])),{ϑ,0,2π},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}}],{{e,0.5},0,3}]

Ovviamente, le coniche orientate in modo diverso si ottengono variando l’origine dell’angolo ϑ, ovvero usando la parametrizzazione polare r[ϑ]=(e/(1+e Cos[ϑ+g]))

Manipulate[PolarPlot[(e/(1+e Cos[ϑ+g])),{ϑ,0,2π},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}}],{{e,0.5},0,3},{g,0,3}]

Tra tutte queste coniche mancano i cerchi, i quali hanno eccentricità e=0 e corrispondono al caso degenere in cui la direttrice tende alla retta impropria mentre si fa tendere e a zero. In realtà noi abbiamo anche quozientato per omotetie, quoziente che rimuoviamo reintroducendo un parametro moltiplicativo. Usiamo qiundi le equazioni polari

	r(ϑ)=(p/(1+e Cos[ϑ])).

e chiamiamo p il parametro della conica

Manipulate[PolarPlot[(p/(1+e Cos[ϑ])),{ϑ,0,2π},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}}],{{e,0.5},0,3},{{p,1},0,3}]