\documentclass{beamer}

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\usepackage{amssymb,latexsym,amsfonts}
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%\usepackage{isolatin1}
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\usepackage{amsthm}
\usepackage{enumerate}

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%\usepackage{epsfig}
%\usepackage{color}
%\usepackage{float}
%\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{rotate}
%\usepackage{graphpaper}

\makeatletter
\usepackage[curve,arrow,matrix,graph,frame,line,dvips]{xy}
\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\nome=cmr8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%-------------   Stili per  Teoremi e Proposizioni ------------

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{teo}{\normalfont\scshape Theorem }
\newtheorem{lem}{\normalfont\scshape Lemma}
\newtheorem{defin}{\normalfont\scshape Definition}[section]
\newtheorem{prop}{\normalfont\scshape Proposition}
\newtheorem{cor}{\normalfont\scshape Corollary}
\newtheorem*{ipotesi}{\normalfont\scshape Hypothesis }
\newtheorem*{condit}{\normalfont\bfseries }
\newtheorem*{firstextres}{\normalfont\scshape $1^{st}$ Existence Result}
\newtheorem*{secondextres}{\normalfont\scshape $2^{nd}$ Existence Result}
\newtheorem*{thirdextres}{\normalfont\scshape $3^{rd}$ Existence Result}
\newtheorem*{fourthextres}{\normalfont\scshape $4^{th}$ Existence Result}
\newtheorem*{nonextres}{\normalfont\scshape Non Existence Result}

\newtheorem*{esem}{Example}     %-------- added
\newtheorem*{problema}{Problem}    %-------- added
\newtheorem*{nota}{Note}        %-------- added

\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{esem}{\normalfont\itshape Esempio}[section]
\newtheorem{osserv}{\normalfont\itshape Remark}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{parteprima}{Parte Prima}
\newtheorem*{parteseconda}{Parte Seconda}

\DeclareMathOperator*{\Max}{max}
\DeclareMathOperator*{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator*{\id}{id} \DeclareMathOperator*{\supp}{supp}

% -------------  Simboli  Vari -----------------------------------------------

\newcommand{\mi}{\mu}

\newcommand{\eigv}[1]{\mathtt{\hat{#1}}}
\newcommand{\eig}{\mathtt{\hat{w}}}
\newcommand{\num}[1]{\mathtt{#1}}
\newcommand{\bd}[1]{\boldsymbol{#1}}

% -------------  Parentesi e valori assoluti ---------------------------------

\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\tonde}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\quadre}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\contrazione}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\tns}[3]{{#1}^{\scriptscriptstyle #2}_{\scriptscriptstyle #3}}
\newcommand{\circled}[1]{#1\mspace{-13mu}\bigcirc}

% ------------  Insiemi  -----------------------------------

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\renewcommand{\H}{\mathcal{H}}
\renewcommand{\cot}{T^\star }
\newcommand{\cotQ}{T^\star Q}

\newcommand{\Cinf}{C^\infty}

% --------------     Operatori --------------------------------

\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Mnull}{\mathbb{O}}
\newcommand{\Mid}{\mathbb{I}}

\newcommand{\taleche}{\Big|\;}
\newcommand{\eval}[1]{\Big|_{#1}}

\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\meas}{\operatorname{meas}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}

\newcommand{\Pm}{\mathbb{P}_m}
\newcommand{\Qm}{\mathbb{Q}_m}

\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\wi}{\widehat}
\newcommand{\Ndash}{\nobreakdash--\hspace{0pt}}

% ----------  Frecce    --------------------------------
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\into}{\longmapsto}
%\makeatletter
%\newcommand{\HookTo}{@{^{(}->}}
%\makeatother

% ---------- Variabili di uso frequente  -----------------------------

\renewcommand{\b}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\bolg}{\boldsymbol{\gamma}}
\newcommand{\bolgp}{\boldsymbol{\dot{\gamma}}}
\newcommand{\gammap}{\dot{\gamma}}
\newcommand{\q}{\b{q}}
\newcommand{\qp}{\b{\dot{q}}}
\newcommand{\p}{\b{p}}
\newcommand{\pp}{\b{\dot{p}}}
\renewcommand{\u}{\b{u}}
\renewcommand{\r}{\b{r}}
\newcommand{\phivar}{\phi}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\PPPhi}{\overline{\overline{\Phi}}}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}

%-----------  Operatori Binari -------------------------

\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% ----------- Differential operators ----------------------


\newcommand{\deinde}[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}
\newcommand{\detot}[2]{\frac{ d #1}{ d #2}}
\newcommand{\deindesecuno}[2]{\frac{\partial^2#1}{\partial{#2}^2}}
\newcommand{\deindesecdue}[3]{\frac{\partial^2#1}{\partial{#2}\partial{#3}}}
\newcommand{\defne}{\overset{\scriptscriptstyle \operatorname{def}}{\equiv}}
\newcommand{\grad}{\nabla}

% ----------- Altre scorciatoie ---------------------------

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\newcommand{\duevec}[2]{\tonde{
    \begin{array}{c}
      #1 \\ #2
\end{array}}}


%--------------------------------------DOCUMENTO !!!!!!!!!!!!!!!!   -----

\title{Funzioni Generatrici e Riduzioni a Finiti Parametri}
\author{Alberto Lovison}
\date{\today}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section[Outline]{}
\frame{\tableofcontents}

\section{Introduzione: Funzioni generatrici}
%\subsection{ --- Motivazione}
\frame
{
  \frametitle{Eikonal equation}
        \only<1>{ Problema di Cauchy H--J\\
	  \begin{columns}
	    \begin{column}[T]{5cm}   
	      %\rule{50mm}{50mm}
	      \begin{picture}(200,200)(0,0)
		\put(0,40){\includegraphics[height=50mm]{EikStart}}
		%---------
		\put(20,170){$\Sigma$}
		\put(80,130){$\phi(\bar x)?$}
	      \end{picture}
	    \end{column}
	    \begin{column}[T]{5cm}
	      $$ \begin{cases}\abs{\nabla\phi(x)}=n^2(x), \\
  		\phi\eval{\Sigma} =0.
  	      \end{cases} $$
	    \end{column}
	\end{columns}}
	\only<2>{Metodo delle \alert{bicaratteristiche}:\\
	  
	  \begin{columns}
	    \begin{column}[T]{5cm}   
	      \begin{picture}(200,200)(0,0)
		\put(0,40){\includegraphics[height=50mm]{EikUnRaggio}}
		%---------
		\put(20,170){$\Sigma$}
		\put(80,130){$\phi(\bar x)$}
		\put(10,150){$\xi_0$}
	      \end{picture}
	    \end{column}
	    \begin{column}[T]{5cm}
	      risolvere le equazioni canoniche
	      $$ \begin{cases}
		\dot x = p,\\
		\dot p = n(x)\nabla n(x). 
	      \end{cases} \quad \duevec{x(t)}{p(t)}$$
	      integrare la optical length lungo un raggio. \\
	      $$ \phi(\bar x) = \phi(\xi_0) + \int_{0}^\tau n^2(x(t))dt. $$
  	    \end{column}
	\end{columns}
	}
	\only<3>{\includegraphics[50mm]{sinusoidUnRaggio}}
	\only<4>{\includegraphics[50mm]{sinusoidTreRaggi}}
	\only<5>{\includegraphics[50mm]{sinusoidMoltiRaggi}}
	%\only<6>{\includegraphics[50mm]{sinusoidUnRaggio}}
        }

  \frame{\frametitle{Problemi}
    \only<1>{ 1--Multivocit\`a:\\
      \begin{columns}
	    \begin{column}[T]{5cm}   
	      %\rule{50mm}{50mm}
	      \begin{picture}(200,200)(0,0)
		\put(0,40){\includegraphics[height=50mm]{EikTreRaggi}}
		%---------
		\put(20,170){$\Sigma$}
		\put(80,130){$\phi(\bar x)?$}
		\put(10,150){$\xi_1$}
		\put(10,100){$\xi_2$}
		\put(10,50){$\xi_3$}
	      \end{picture}
	    \end{column}
	    \begin{column}[T]{5cm}
	      $$\xymatrix{ & \phi_1(\bar x)\\
		\phi(\bar x)= \ar[ru]{-}  \ar[r]{-} \ar[rd]{-}  & \phi_2(\bar x)\\
		& \phi_3(\bar x)}
		%& \phi_4(x)} 
		$$
	    \end{column}
	\end{columns}}
    \only<2>{2--Caustica: \\
      \begin{columns}
	    \begin{column}[T]{5cm}
	      \begin{picture}(200,200)(0,0)
		\put(0,40){\includegraphics[height=50mm]{EikCaustics}}
		%---------
		\put(10,170){$\Sigma$}
		\put(65,100){$\mathcal{C}$}
		%\graphpaper(0,0)(500,500)
	      \end{picture}
	    \end{column}
	    \begin{column}[T]{5cm} 
	      Lungo la caustica la variet\`a 
	      candidata non \`e grafico di 
	      alcunch\'e, Dini fallisce. %  altra figura?  singolarita di proiez  ************
	    \end{column}
	\end{columns}}}
    
    \frame{ \frametitle{Proposta: Funzioni Generatrici}
      aggiungiamo dei parametri ausiliari 
      $$ \phi(x)\  \overset{\sim}{\longrightarrow} \ 
      \phi(x; \textcolor{red}{u}) \ \ \textcolor{red}{u} \in \R^k $$\pause
      I valori ammissibili per $\phi(x)$ sono i \alert{valori $u$-critici} 
      con $x$ fissato:\\
      $$ \phi_j(x) = \phi(x,u_j)\ \text{tale che} \  \deinde{\phi}{u}(x,u_j)=0.$$
      %$\Rightarrow$ 
      \begin{enumerate}
      \item formulazione unificata
      \item caustica ``desingolarizzata''
      \end{enumerate}}

  \frame{\frametitle{Globalizzazione} 
    \textbf{Domanda:} Esiste sempre una funzione generatrice globale?
    Se esiste, quanti parametri sono necessari?\\ \pause
    \vspace{5mm} 
    \textbf{Risposta:} Il funzionale \alert{lunghezza ottica} \`e globale, ma \`e definito su 
    uno spazio di curve:
    $$ \boxed{J(x,\xi;\gamma(\cdot)) = \int_\gamma n^2(t) dt,} \qquad 
    \xi\in\Sigma, \ \gamma(0)=\xi,\ \gamma(\tau)=x, $$
    %  ***********      figura curve da Sigma a x?     
    \textbf{N.B.} abbiamo \textcolor{magenta}{$\infty$} parametri!.
  }

  \frame{\frametitle{Come procedere?}
  \`E possibile \alert{ridurre} il numero dei parametri \\ 
  e allo stesso tempo conservare \\ il carattere \alert{globale}?}  


\section{Integrali Oscillanti}
\subsection{Preliminari}
   \frame{\frametitle{ Ottica ondulatoria}
     \textbf{Integrale Oscillante}
     %
     \only<1,5->{$$I(x;\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\phi(x,u)) g(x,u) du, $$}
     \only<2>{$$I(x;\textcolor{red}{\kappa}) = \int_\Omega \exp(i\textcolor{red}{\kappa}\phi(x,u)) g(x,u) du, $$}
     \only<3>{$$I(x;\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\textcolor{red}{\phi}(x,u)) g(x,u) du, $$}
     \only<4>{$$I(x;\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\phi(x,u)) \textcolor{red}{g}(x,u) du, $$}
     %
     \begin{itemize}
       \item<2-> $\kappa \to\infty$ grande parametro (numero d'onda)
       \item<3-> $\phi(x,u)$ funzione fase 
       \item<4-> $g(x,u)$ funzione ampiezza 
      \end{itemize}
     \uncover<5->{
     Se $I(x;\kappa)$ risolve \alert{Helmholtz}: $\Delta_x I + k^2 n^2(x) I =0$  \\
     %\uncover<6->{
     allora $\phi(x;u)$  ``genera'' una soluzione per \alert{Eikonal} 
     $\abs{\nabla\phi}=n^2$. \\ %\uncover<7->{
     $\phi$ \`e una funzione generatrice!}}


   \frame{\frametitle{Asymptotics} 
   la centralit\`a del ruolo dei punti $u$-critici risiede nel \\
   \alert{Principio della Fase Stazionaria}\\
   \begin{columns}
     \begin{column}[T]{42mm}
       \begin{enumerate}
         \item<2-> assenza di punti critici \\
	   $x$ \`e in \textcolor{magenta}{ombra}      
         \item<3-> punti critici Morse \\
           \textcolor{magenta}{raggi  }
         \item<4-> punti critici degeneri \\
	\textcolor{magenta}{caustiche}
       \end{enumerate}
     \end{column}
     \begin{column}[T]{65mm} 
       \begin{itemize}
         \item<2->  $ \deinde{\phi}{u}(x;u)\neq 0 \ \ \forall u $ 
	   \rule{0mm}{2mm} \\
	   $I(\kappa)\to 0$ \rule{0mm}{2mm} \ 
	   Illuminazione \textcolor{magenta}{svanisce}
         \item<3-> 
	   $ \deinde{\phi}{u}(x;\bar u) = 0 \ \ 
	   \det\tonde{\deindesecuno{\phi}{u}(x;\bar u)}\neq 0 $ 
	   \rule{0mm}{2mm} \\ 
	   $I(x;\kappa) \simeq \tilde{a}(x,\bar u) 
	   \exp(i\kappa\phi(x;\bar u)) $\rule{0mm}{2mm} \ \ 
	   Illum. \textcolor{magenta}{indipendente} da $\kappa$
         \item<4-> 
	$ \deinde{\phi}{u}(x;u) = 0 \ \ 
	   \det\tonde{\deindesecuno{\phi}{u}(x;u)}= 0 $\rule{0mm}{2mm} \\
	$I(x;\kappa) \simeq \kappa^s$ Illum. \textcolor{magenta}{diverge} con $\kappa$\\
       \end{itemize}
     \end{column}
     \end{columns}
}
\subsection{Assenza di Punti Critici}

   \frame{\frametitle{Primo risultato: Assenza di Punti Critici}
     $$I(\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\phi(u)) g(u) du, $$
     Risultato classico: decadimento polinomiale 
     $$\abs{I(\kappa)} \leq A_N \kappa^{-N} \qquad \forall N\in\N,$$ \vspace{-7mm}
     \begin{itemize}
       \item se $g$ e $\phi$ fossero analitiche, avrei $A_N\simeq N!$ 
       \item se $g$ \`e a supporto compatto non abbiamo stime su $A_N$ 
     \end{itemize}
     \uncover<2->{Introduciamo le funzioni di Gevrey:
     $$ g\in G^\sigma : \qquad \abs{g^{(\alpha)}}\leq C^{\alpha+1} (\alpha!)^\sigma$$
     $$ \mathcal{A} = G^1 \subseteq G^\sigma \subseteq G^\infty = C^\infty $$
     Se $\sigma>1$, $g$ pu\`o anche essere a supporto compatto, 
     inoltre si pu\`o fare la partizione dell`unit\`a.
     }  } 

   \frame{\frametitle{Primo risultato: Assenza di Punti Critici}
     $$I(\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\phi(u)) g(u) du, $$
     $$\abs{I(\kappa)} \leq A_N \kappa^{-N} \qquad \forall N\in\N,$$
     essendo $A_N\propto g^{(\alpha)}$, \\ 
     posso scegliere $N$ \alert{ottimale} al tendere di $\kappa$ all'$\infty$.\\
     (Troncamento ottimale di Poincar\'e).\\ \pause
     Applicando la formula di Stirling:
     $$\abs{I(\kappa)} \leq A \exp(-\kappa^{\frac{1}{\sigma}}),$$
     Decadimento \alert{esponenziale}.}
     
 \subsection{Punti critici Morse}

   \frame{\frametitle{Secondo Risultato: Punti critici di Morse}
     $$I(\kappa) = \int_\Omega \exp(i\kappa\phi(u)) g(u) du, $$
     Unico punto critico $\bar u$ non degenere (Morse). 
          $$ \deinde{\phi}{u}(x;\bar u) = 0 \ \ \det\tonde{\deindesecuno{\phi}{u}(x;\bar u)}\neq 0 $$   %\pause
     Risultato classico: Fase Stazionaria
     $$I(\kappa) \asymp \tilde{a}(\bar u) \exp(i\kappa\phi(\bar u)) $$ 
     \pause
     Risultato nuovo: \alert{perdita di regolarit\`a} Gevrey
     $$ g(u) \in G^\sigma \ \ \Rightarrow \ \ I(\kappa) \in G^{2\sigma -1}$$
     \textbf{N.B.} Se $\sigma=1$, allora $2\sigma-1=\sigma$, 
     nessuna perdita\\ 
     Se $\sigma>1$, allora $2\sigma-1=\sigma+\sigma-1>\sigma$, 
     perdita di $\sigma-1$
}


\section{Riduzioni in Teoria dei Campi}
\subsection{Preliminari}

   \frame{\frametitle{Un problema di Dirichlet semilineare}
     Consideriamo 
     $$ \begin{cases}
       -Lu = F(u) & in \ \Omega \\
       u\eval{\partial \Omega}
     \end{cases}$$ 
     \uncover<2->{ dove 
     \begin{itemize}
       \item $u\in H^1_0(\Omega)$
       \item $L$ ellittico
       \item $F$ nonlineare
     \end{itemize}}
     \uncover<3->{
       Autospettro di $L$ \\
       $$0<\lambda_1\leq \lambda_2\leq \dots$$
       $$ -L \hat u_j = \lambda_j \hat u_j $$
     }
   }

   \frame{\frametitle{Operatore inverso di $-L$}
     $$ g v \ :=\ \sum_{j=1}^\infty \frac{v_j}{\lambda_j}\hat u_j $$
     si verifica facilmente che
     $$ -L g v \ = \  g(-L) v\ =\ v$$ \pause
     cambio variabile nella  PDE non lineare 
     $$ -L u = F(u) $$
     $$ -L g v = F(g v) $$
     $$ v = F(g v)$$
   }

   \frame{\frametitle{Proiezione sugli Autospazi}
     Proiettiamo $ v = F(g v)$ sui singoli $\contrazione{\hat u_j}$ 
     \begin{columns}
       \begin{column}[T]{5cm}
	 $$\left. 
	 \begin{array}{rl}
	   v_1 =& \contrazione{F(g v),v_1}\\
	   v_2 =& \contrazione{F(g v),v_2}\\
	   \vdots \ & \  \vdots \\
	   v_m =& \contrazione{F(g v),v_m} 
	 \end{array}\right\}$$
	 $$ \left.
	 \begin{array}{rl} 
	   v_{m+1} = &\contrazione{F(g v),v_{m+1}}\\
	   \vdots \ & \  \vdots 
	 \end{array}\right\}$$
       \end{column} \pause
       \begin{column}[T]{5cm}\vspace{5mm}
	 $$ \mu  = \Pm F(g (\mu+\eta))$$
	 equazione \alert{``finita''} ($\mu\in\R^m$)\\
	 \vspace{5mm}
	 $$ \eta = \Qm F(g(\mu+\eta))$$
	 equazione \alert{infinita} ($\eta\in\R^\infty$)
       \end{column}
     \end{columns}
   }
\subsection{Tecnica di riduzione}

   \frame{\frametitle{Contrazione}
     Analizziamo l'equazione infinita \\
     la mappa: 
     $$ \eta \mapsto \Qm F(g(\mu +\eta)) \qquad \mu \ \text{fissato} 
     \qquad \textcolor{red}{(\star)}$$
     \begin{itemize}
       \item \alert{Assumiamo} $F$ Lipschitziana
       \item Consideriamo $m$ sufficientemente grande
     \end{itemize}\pause 
     $\Rightarrow$ \ \textcolor{red}{($\star$)} \`e contrattiva:
     \begin{itemize}
       \item esiste un \alert{unico} punto fisso
       \item esiste una unica soluzione $\eta=\tilde\eta(\mu)$ 
	 della equazione infinita 
     \end{itemize}
   }

   \frame{\frametitle{Sostituzione nella equazione finita}
     Sostituendo il punto fisso nella equazione di ``biforcazione'' 
     si trova una equazione effettivamente finito dimensionale 
     $$ \mu = \Pm F(g(\mu+\tilde\eta(\mu))), \qquad \mu\in\R^m$$
     \pause
     La PDE originale diventa (globalmente) equivalente a
     un sistema non lineare in $m$ variabili
     $$\boxed{
        \begin{array}{c}   \text{problema\ \  PDE}
      \\ -L u=F[u]\\ \rule{0mm}{8mm} u\in H^1_0 \end{array}
        } \ \Longleftrightarrow \
        \boxed{\begin{array}{c} \text{sistema algebrico} \\
        \mathcal{F}(\mu_1,\dots,\mu_N)=0 \\ \rule{0mm}{8mm} \mu\in\R^N \end{array}}
    $$}
   

   \frame{\frametitle{Formulazione Variazionale}
     Se $F'(u)$ \`e $L^2$--simmetrico,\\ 
     per il teorema di Volterra--Vainberg \\ 
     si pu\`o scrivere un 
     principio variazionale
     $$ J(u) := \int_{t=0}^{t=1} \tonde{(-L-F)\circ (tu),u} dt$$
     equivalente al problema di Dirichlet originale \\
     \pause
     Applichiamo la riduzione anche al principio variazionale:
     $$ W(\mu) := J(\tilde u(\mu))= J(g(\mu+\tilde\eta(\mu)))$$
     basta cercare i punti critici di una funzione di $m$ variabili.
   }
\subsection{Esistenza di soluzioni}
   \frame{\frametitle{Risultato di Esistenza}
     Consideriamo il caso (un po' pi\`u generale) 
     $$ -Lu= \lambda u + F(u), \qquad \lambda \neq \lambda_j$$
     con $F$ operatore di Nemitski 
     $$ F[u](x) = f( u(x)), \qquad f:\R\to\R$$
     tale che $ f, \int f(u)du, f' $ sono limitate \\
     (e.g. $f$ a supporto compatto, oppure $f(x)=\sin(x)$)\\
     si verifica che il funzionale ridotto $W(\mu)$ \`e \alert{quasi--quadratico}
     $$ \abs{W-Q}_{C^1} = \abs{W-Q}+\abs{W'-Q'} \leq C$$
     esiste  sempre almeno un punto critico per $W$, cio\`e una soluzione 
     del problema di Dirichlet.     
   }

   \frame{\frametitle{Quasi Quadratiche} 
     Teoria di Lusternik--Schnirelmann e delle FGQI
     \only<1>{\includegraphics[width=50mm]{Quad}  \includegraphics[width=50mm]{PertQuad}}
     \only<2>{\includegraphics[width=50mm]{LevelQuad}  \includegraphics[width=50mm]{LevelPertQuad}}
   }

\section{Analisi Numerica}

\subsection{Implementazione della riduzione}

\frame{\frametitle{Implementazione della riduzione con elementi finiti}
  caso generale $-Lu= F(u)\quad u\in\Omega\subseteq\R^k$ \\
  caso particolare:
  \begin{itemize}
    \item $\Omega=[0,1]\subseteq \R$
    \item $L=\Delta$ Laplaciano, cio\`e $\frac{d^2}{dx^2}$
    \item $F(u) = 30 (1-e^{-u^2/2})$
  \end{itemize}
  \pause
  Operiamo una discretizzazione con $n=640$ nodi, cosicch\'e
  $$ H^1_0 \overset{\sim}{\longrightarrow} \R^{640}$$
  Una stima della costante contrattiva sulla coda suggerisce 
  $$ m=2 \qquad M \cong 0.205$$
}

\frame{\frametitle{Test di convergenza sulle code}
  Consideriamo $\mu=(0,10)$ fissato e prendiamo $\eta$ random
  \begin{columns}
    %\begin{column}[T]{5mm}
    %  \uncover<2->{\rotatebox{90}{$0^{th)$ step}}\\
    %  \uncover<3->{\rotatebox{90}{$1^{th)$ step}}\\
    %  \uncover<4->{\rotatebox{90}{$2^{th)$ step}}
    %\end{column}
    \begin{column}[T]{5mm}
      \uncover<2->{\rotatebox{90}{$0^{th}$ step \rule{3mm}{0mm}}  
	\\}
      \uncover<3->{\rotatebox{90}{$1^{st}$ step \rule{5mm}{0mm}}
	\\}
      \uncover<4->{\rotatebox{90}{$2^{nd}$ step \rule{5mm}{0mm}}}
    \end{column}
    \begin{column}[T]{33mm}
      \uncover<2->{\includegraphics[width=30mm]{convcoda1}}\\
      \uncover<3->{\includegraphics[width=30mm]{convcoda2}}\\
      \uncover<4->{\includegraphics[width=30mm]{convcoda3}}
    \end{column}
    \begin{column}[T]{33mm}
      \uncover<2->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltro1}}\\
      \uncover<3->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltro2}}\\
      \uncover<4->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltro3}}
    \end{column}
    \begin{column}[T]{33mm}
      \uncover<2->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltroancora1}}\\
      \uncover<3->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltroancora2}}\\
      \uncover<4->{\includegraphics[width=30mm]{convcodaaltroancora3}}
    \end{column}
  \end{columns}
 }


\subsection{Ricerca di soluzioni}

\frame{\frametitle{Peano--Picard e Newton--Raphson}
  {\tiny
 \begin{tabular}{|c|c|}\hline
     $\hat\mi=(159.582,0)$ &$\hat\mi=(626.852,0)$\\
   $NR_1$ &  $NR_2$ and $PP_2$ \\
  \includegraphics[width=40mm]{newtonuno} &  
  \includegraphics[width=40mm]{newtondue} \\
  \hline
  \end{tabular}
} \\ \pause
  \textbf{Nota:} Newton--Raphson \`e migliore!\\
  \`e pi\`u rapida \\
  trova una soluzione in pi\`u\\ \pause
  ma ha bisogno della derivata del punto fisso:
  $ \textcolor{red}{\boxed{\deinde{\tilde\eta}{\mu}}}$ 
  che \`e garantita dalla 
  tecnica di riduzione.
}

\end{document}




