Calcolo Numerico, LT in Ingegneria dell'Energia canale A, a.a. 2020/21 Programma delle lezioni di teoria Prima parte: Marco Vianello (Dip.to di Matematica) 1) Sistema floating-point e propagazione degli errori rappresentazione dei reali in base b, errore di troncamento (con le serie); errore di arrotondamento, rappresentazione floating-point, precisione di macchina; struttura dei reali macchina: cardinalita', estensione, densita', modello dei reali-macchina in precisione doppia (64 bit); operazioni macchina, operazioni aritmetiche con numeri approssimati, analisi di stabilita' di moltiplicazione, divisione, addizione e sottrazione, esempi; potenziale instabilita' della formula risolutiva per eqz. di II grado, stabilizzazione; condizionamento di funzioni; propagazione degli errori in schemi iterativi: successione di Archimede per pigreco; introduzione allo studio del costo computazionale degli algoritmi numerici tramite esempi: schema di Hoerner per i polinomi; calcolo rapido di una potenza tramite codifica binaria dell'esponente; calcolo della funzione exp Cap.1, lezioni estese 1-7 su MOODLE Dispense sintetiche: Cap. 1 2) Soluzione numerica di equazioni non lineari esistenza, unicita' e localizzazione degli zeri; il metodo di bisezione: convergenza, stima dell'errore col residuo pesato; il metodo di Newton: convergenza globale; velocita' di convergenza, def. di ordine di convergenza; convergenza locale (dim. facolt.), stima a posteriori dell'errore, schema di Erone per sqrt; cenni ad altri metodi di linearizzazione (corde, secanti); iterazioni di punto fisso: teorema delle contrazioni (enunciato), convergenza locale, stime dell'errore, ordine di convergenza, il metodo di Newton come iterazione di punto fisso Cap. 2, lezioni estese 8-11 su MOODLE Dispense sintetiche: Cap. 2 3) Interpolazione e approssimazione di dati e funzioni introduzione al problema dell'interpolazione: interpolazione polinomiale, esistenza e unicita' con Vandermonde e Lagrange; formula dell'errore dell'interpolazione polinomiale; il problema della convergenza dell'interpolazione polinomiale, controesempio di Runge; interpolazione di Chebyshev, costante di Lebesgue e stabilita' dell'interpolazione; interpolazione polinomiale a tratti, convergenza uniforme della lineare a tratti, interpolazione spline; approssimazione polinomiale ai minimi quadrati, sistema delle equazioni normali Cap. 3, lezioni estese 12-15 su MOODLE Dispense sintetiche: Cap. 3 ------------------- seconda parte: Wolfgang Erb (Dip.to di Matematica) 4) Derivazione ed integrazione numerica Lezione 17: Introduzione al problema della derivazione numerica: - malcondizionamento della derivazione numerica - approssimazione della derivata tramite differenze in avanti e differenze simmetriche - errore di approssimazione tra derivata e rapporto incrementale - la propagazione dell'errore relativo ai dati - scelta ottimale della spaziatura h Lezione 18: Introduzione al problema dell'integrazione numerica 1: - bencondizionamento dell'integrazione numerica - approssimazione dell'integrale tramite formule di quadratura - proprieta' fondamentali delle formule di quadratura - formule di quadratura interpolatorie - esempi di formule interpolatorie, regola del rettangolo e del punto medio - formule di Newton-Cotes chiuse, regola del trapezio e regola di Cavalieri-Simpson - grado di precisione di una formula di quadratura Lezione 19: Introduzione al problema dell'integrazione numerica 2: - errore di quadratura per formule interpolatorie - errore di quadratura basato sul grado di precisione - formule composte di quadratura, formule composte del punto medio, del trapezio e di Cavalieri-Simpson - proprieta' generali di formule composte - errore globale e convergenza delle formule composte - alcuni confronti numerici per le formule composte 5) Algebra lineare numerica Lezione 20: Algebra lineare numerica 1: condizionamento di sistemi lineari - norma vettoriale in spazio vettoriale - norma p nello spazio R^n - norma di matrice indotta - condizionamento di sistemi lineari - propagazione di errori nella risoluzione di sistemi lineari Lezione 21: Algebra lineare numerica 2: metodo di eliminazione di Gauss (MEG) - Metodo di eliminazione di Gauss - Sistimi triangolari, - Sostituzione in avanti e all'indietro - Fattorizzazione LU senza pivoting per matrici piene - Fattorizzazione LU con pivoting, matrici di permutazione Lezione 22: Algebra lineare numerica 3: implementazione e applicazioni della fattorizzazione LU - Predominanza diagonale di matrici - Pseudocodice della fattorizzazione LU - Complessita' computazionale della fattorizzazione LU e del MEG - Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche - Calcolo della determinante tramite LU - Calcolo dell'inversa di una matrice tramite LU - Introduzione a metodi iterativi Lezione 23: Algebra lineare numerica 4: metodi iterativi - Splitting di una matrice per generare metodi iterativi - Metodo di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR - Relazione di metodi iterativi e metodi di punto fisso - Convergenza globale di metodi iterativi - Test di arresto per metodi iterativi - Introduzione a sistemi sovradeterminati e problemi ai minimi quadrati Lezione 24: Algebra lineare numerica 5: sistemi sovradeterminati - soluzione di sistemi sovradeterminati tramite le equazioni normali - sistemi sovradeterminati e regressione lineare - risoluzione di sistemi sovradeterminati tramite la fattorizzazione Cholesky - sistemi sovradeterminati e fattorizzazione QR - Calcolo della fattorizzazione QR - sistemi sovradeterminate e decomposizione SVD - alcune applicazioni --------------- MOODLE CORSO (LEZIONI ESTESE e VIDEO LEZIONI) https://elearning.unipd.it/dii/course/view.php?id=2116 DISPENSE SINTETICHE: Tracce di calcolo numerico https://www.math.unipd.it/~marcov/studenti.html