Programma del corso di Calcolo Numerico per la LT in Matematica
a.a. 2015/16 

docente in aula: Marco Vianello
docente in laboratorio: Angeles Martinez 
dipartimento di matematica 


1) Sistema floating-point e propagazione degli errori

rappresentazione dei reali in base b, errore di troncamento (con le 
serie); errore di arrotondamento, rappresentazione floating-point, 
precisione di macchina; struttura dei reali macchina: cardinalita', 
estensione, densita', reali-macchina in Matlab; 

operazioni macchina, operazioni aritmetiche con numeri approssimati, 
analisi di stabilita' di moltiplicazione, divisione, addizione 
e sottrazione, esempi; potenziale instabilita' della formula risolutiva 
per eqz. di II grado, stabilizzazione; 

condizionamento di funzioni; 

propagazione degli errori in schemi iterativi: successione di Archimede 
per pigreco; 

LABORATORIO: introduzione all'ambiente di calcolo Matlab/Octave, 
vari test sulla propagazione degli errori negli algoritmi numerici.


2) Soluzione numerica di equazioni non lineari

esistenza, unicita' e localizzazione degli zeri; il metodo di 
bisezione: convergenza, stima dell'errore col residuo pesato; 

il metodo di Newton: convergenza globale; velocita' di convergenza, 
def. di ordine di convergenza; convergenza locale (dim. facolt.), 
stima a posteriori dell'errore, schema di Erone per sqrt; cenni 
ad altri metodi di linearizzazione (corde, secanti);  

iterazioni di punto fisso (enunciato del teorema delle contrazioni, 
dim. facolt.) e loro ordine di convergenza, il metodo di Newton 
come iterazione di punto fisso;  

LABORATORIO: implementazione e sperimentazione dei metodi di 
bisezione e di Newton.  


3) Interpolazione e approssimazione di dati e funzioni

introduzione al problema dell'interpolazione: interpolazione 
polinomiale, esistenza e unicita' con Vandermonde e Lagrange; 
formula dell'errore dell'interpolazione polinomiale (dim. facolt.); 
il problema della convergenza dell'interpolazione polinomiale, 
controesempio di Runge; interpolazione di Chebyshev, costante di 
Lebesgue e stabilita' dell'interpolazione; 

interpolazione polinomiale a tratti, convergenza uniforme della 
lineare a tratti, interpolazione spline; 

approssimazione polinomiale ai minimi quadrati, sistema delle 
equazioni normali; 

LABORATORIO: interpolazione polinomiale; interpolazione spline; 
approssimazione ai minimi quadrati. 


4) Integrazione numerica e derivazione numerica 

integrazione numerica, formule di quadratura algebriche e composte, 
formula dei trapezi e delle parabole, importanza delle formule di 
quadratura a pesi positivi; 

derivazione numerica, instabilita', formule alle differenze, 
minimizzazione dell'errore in presenza di rumore; 

struttura asintotica dell'errore ed estrapolazione;  

LABORATORIO: quadratura numerica, formula dei trapezi e delle parabole.  


5) Elementi di algebra lineare numerica

norme di vettori e matrici; condizionamento di un sistema lineare, 
esempi di mal condizionamento; 

fattorizzazione LU tramite il metodo di eliminazione gaussiana 
con pivoting, soluzione di sistemi triangolari, applicazioni del metodo 
di eliminazione gaussiana: soluzione di sistemi, calcolo di determinanti, 
inversione di matrici; effetto dell'arrotondamento sull'accuratezza della 
fattorizzazione e sulla soluzione di sistemi (matrice di Hilbert);

sistemi sovradeterminati: minimi quadrati, soluzione del sistema delle 
equazioni normali tramite la fattorizzazione QR; 

metodi iterativi: il metodo di Jacobi, struttura generale dei metodi 
ottenuti per splitting della matrice, condizioni di convergenza; 

LABORATORIO: condizionamento dei sistemi lineari e stabilita' del 
metodo di eliminazione. 


Testi consigliati

A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, 
Springer, una delle ultime edizioni. 

G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora, 2008.  

dispense del corso: Tracce di calcolo numerico
http://www.math.unipd.it/~marcov/studenti.html

dispense di laboratorio: 
http://www.dmsa.unipd.it/~acalomar/DIDATTICA/2014-15/lm.html