Programma del corso di Calcolo Numerico LT in Matematica a.a. 2019/20 docente in aula: Marco Vianello docente in laboratorio: Federico Piazzon dipartimento di matematica 1) Sistema floating-point e propagazione degli errori rappresentazione dei reali in base b, errore di troncamento (con le serie); errore di arrotondamento, rappresentazione floating-point, precisione di macchina; struttura dei reali macchina: cardinalita', estensione, densita', reali-macchina in Matlab; operazioni macchina, operazioni aritmetiche con numeri approssimati, analisi di stabilita' di moltiplicazione, divisione, addizione e sottrazione, esempi; potenziale instabilita' della formula risolutiva per eqz. di II grado, stabilizzazione; condizionamento di funzioni; propagazione degli errori in schemi iterativi: successione di Archimede per pigreco; introduzione allo studio della complessita' degli algoritmi numerici tramite esempi: schema di Hoerner per i polinomi; calcolo rapido di una potenza tramite codifica binaria dell'esponente; calcolo della funzione exp; complessita' fattoriale della formula di Laplace per il determinante, metodo di eliminazione gaussiana e sua complessita' DISPENSE: 1. tutto QS: Cap. 1 2) Soluzione numerica di equazioni non lineari esistenza, unicita' e localizzazione degli zeri; il metodo di bisezione: convergenza, stima dell'errore col residuo pesato; il metodo di Newton: convergenza globale; velocita' di convergenza, def. di ordine di convergenza; convergenza locale (dim. facolt.), stima a posteriori dell'errore, schema di Erone per sqrt; cenni ad altri metodi di linearizzazione (corde, secanti); iterazioni di punto fisso: teorema delle contrazioni (enunciato), convergenza locale, stime dell'errore, ordine di convergenza, il metodo di Newton come iterazione di punto fisso DISPENSE: 2. tutto QS: Cap. 2 fino a 2.3 compreso 3) Interpolazione e approssimazione di dati e funzioni introduzione al problema dell'interpolazione: interpolazione polinomiale, esistenza e unicita' con Vandermonde e Lagrange; formula dell'errore dell'interpolazione polinomiale; il problema della convergenza dell'interpolazione polinomiale, controesempio di Runge; interpolazione di Chebyshev, costante di Lebesgue e stabilita' dell'interpolazione; interpolazione polinomiale a tratti, convergenza uniforme della lineare a tratti, interpolazione spline; approssimazione polinomiale ai minimi quadrati, sistema delle equazioni normali DISPENSE: 3. tutto QS: Cap. 3 escluso 3.1.3 4) Integrazione numerica e derivazione numerica integrazione numerica: formule di quadratura algebriche e composte, formula dei trapezi e delle parabole, importanza delle formule di quadratura a pesi positivi; derivazione numerica: instabilita', rapporti incrementali (formule alle differenze), minimizzazione dell'errore per funzioni approssimate; struttura asintotica dell'errore ed estrapolazione DISPENSE: 4. tutto QS: Cap. 4, par. 4.1, 4.2.2, 4.2.3 5) Elementi di algebra lineare numerica norme di vettori e matrici; condizionamento di un sistema lineare, esempi di mal condizionamento; fattorizzazione LU tramite il metodo di eliminazione gaussiana con pivoting, soluzione di sistemi triangolari, applicazioni del metodo di eliminazione gaussiana: soluzione di sistemi, calcolo di determinanti, inversione di matrici; effetto dell'arrotondamento sull'accuratezza della fattorizzazione e sulla soluzione di sistemi (matrice di Hilbert); sistemi sovradeterminati: minimi quadrati, soluzione del sistema delle equazioni normali tramite la fattorizzazione QR DISPENSE: 5. escluso 5.4 QS: Cap. 5, par. 5.1-5.3 e 5.5 --------------- DISPENSE: Tracce di calcolo numerico http://www.math.unipd.it/~marcov/studenti.html LABORATORIO: si veda la pagina Moodle dedicata al laboratorio del docente F. Piazzon https://elearning.unipd.it/math/course/index.php?categoryid=3 TESTO CONSIGLIATO: [QS] A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico, esercizi e problemi risolti con MATLAB, Springer, una delle ultime ed. Testi di eventuale approfondimento: G. Rodriguez, Algoritmi numerici, Pitagora, 2008 A. Quarteroni et al., Matematica Numerica, Springer, 2002