Registro delle attivitā del supporto alla didattica per il corso di Algebra 2 tenuto dal prof. Andrea Lucchini da ottobre 2014 a gennaio 2015. Martino Garonzi --------- Esercizi proposti e svolti il 23/10/2014: 1. Se n,m sono due numeri interi positivi, allora MCD(n,m)*mcm(n,m) = n*m. 2. Se un elemento g di un gruppo G ha ordine finito n e m č un intero positivo allora o(g^m) = n/(n,m) dove (n,m) = MCD(n,m). 3. Se un elemento a di un gruppo G ha ordine finito n e m e' un intero positivo allora < a^m > = < a^(n,m) >. 4. Esercizio 1 tema A del compitino del 12/11/2013. Sia G=< g > ciclico di ordine 90 e H=< g^{12} >, K=< g^{80} >. Determinare |H|, |K|, ordine e un generatore per l'intersezione tra H e K e per < H,K >. Contare gli elementi di G di ordine 15. 5. Scrivere i laterali destri di H in G nei seguenti casi. (a) G=< a > č ciclico di ordine 10 e H = < a^2 >. (b) G=< a > č ciclico di ordine 10 e H = < a^5 >. (c) G=S3 e H={g in G : g(1)=1}. 6. Esibire un gruppo finito abeliano non ciclico (Cn x Cn con n > 1, p. es. il gruppo di Klein C2 x C2). Mostrare che Z(S3)={1} (S3 = il gruppo simmetrico di grado 3, Z(G) = il centro di G). 7. E' vero che i sottogruppi abeliani sono sempre normali? (No, prendere <(12)> dentro S3). Esercizi proposti: 8. Mostrare che un gruppo finito č ciclico se e solo se non č uguale all'unione dei suoi sottogruppi propri. 9. Siano x,y elementi di un gruppo. Mostrare che o(xy)=o(yx). Mostrare che xy e yx sono coniugati. 10. Sia G=< g > ciclico di ordine 80, H=< g^{15} >, K=< g^{56} >. Sia I l'intersezione tra H e K. Trovare |H|, |K|, |I|, |< H,K >|. Per ogni divisore d di |G| contare i sottogruppi di G di ordine d e gli elementi di G di ordine d. 11. Elencare gli elementi di S4 (il gruppo simmetrico di grado 4) e mostrare che Z(S4)={1}. --------- Esercizi proposti e svolti il 30/10/2014: 1. Siano N e M sottogruppi normali di un gruppo G con NM=G e sia I l'intersezione tra N e M. Allora G/I e' isomorfo a G/N x G/M. Se I={1} allora G e' isomorfo a N x M. 2. Determinare C_G(s) dove (a) G=S_n, s=(1...n-1), (b) G=S_8, s=(12345), (c) G=S_4, s=(12)(34). 3. Trovare x in S_5 che coniuga (123)(45) in (152)(34). Trovarne uno in A_5. 4. Mostrare che (123) e (132) non sono coniugati in A_4. 5. Contare i p-Sylow di GL(2,p) dove p e' un primo. Esercizi proposti: 6. Mostrare che (12345) e (13245) non sono coniugati in A_6. 7. Determinare (generatori per) C_G(s) dove s=(123) in ognuno dei seguenti casi: G=S_3, G=A_3, G=S_4, G=A_4, G=S_5, G=A_5. 8. Determinare (generatori per) C_G(s) dove s=(123)(45) e G=S_8. 9. Sia H il sottogruppo di S_8 formato dagli elementi s tali che s({1,2,3}) = {1,2,3}. Mostrare che H e' isomorfo a S_5 x S_3. 10. Contare i p-Sylow del sottogruppo di GL(2,p) delle matrici di righe (a,0) e (b,1) dove a,b in F_p con a diverso da zero. 11. Trovare un p-Sylow di GL(3,p). 12. Contare i p-Sylow di SL(2,p), il gruppo delle matrici invertibili 2 x 2 su F_p di determinante 1 (p e' un primo). --------- Esercizi proposti e svolti il 06/11/2014: 1. (dall'appello del 16 giugno 2014) Sia G = < a > x < b > dove o(a) = 10, o(b) = 6, e sia g = (a^9 , b^10). Trovare o(g), o(g^24) e dire se G e' ciclico. 2. (dall'appello del 25 febbraio 2014) Siano h = (12345678), k = (24)(37)(68) in S_8 e sia G = < h,k >. Mostrare che G = < h > < k > e trovare il centro di G. 3. Sia H = { s in S_8 : s({1,2,3}) = {1,2,3} }. Mostrare che H e' un sottogruppo di S_8 isomorfo a S_5 x S_3. 4. Per ognuno dei seguenti numeri n, mostrare che i gruppi di ordine n non sono semplici. n = 343 = 7^3, n = 2*3*17, n = 56 = 7 * 2^3, n = 90 = 2 * 5 * 3^2. Esercizi proposti: 5. Contare i 3-Sylow di S_7. 6. Mostrare che i gruppi di ordine 132 non sono semplici. 7. Mostrare che i gruppi di ordine 144 non sono semplici (ragionare come visto al tutorato per n=90: se esistono due 3-Sylow di intersezione non banale considerarne il normalizzante). 8. Mostrare che se p e' un primo allora (p-1)! e' congruo a -1 modulo p. (Hint: contare i p-Sylow di S_p). 9. Mostrare che se un gruppo non ciclico G ha un sottogruppo di indice 3 allora non e' semplice (considerare l'azione sui laterali sinistri...). --------- Esercizi proposti e svolti il 13/11/2014: 1. Sia G = D_{14} il gruppo diedrale di grado 14 (e ordine 28). Contare i p-Sylow di G per ogni primo p che divide |G|. 2. Sia G = D_{14} il gruppo diedrale di grado 14 (e ordine 28). Contare i sottogruppi normali di G e determinarli. 3. Mostrare che se un gruppo non abeliano G ha un sottogruppo di indice 3 allora non e' semplice. Esercizi proposti: 4. Mostrare che se un gruppo G ha un sottogruppo di indice 4 allora non e' semplice. 5. Mostrare che se n > 2 allora il centro del gruppo simmetrico S_n e' banale: Z(S_n) = {1}. (Hint: sia g nel centro con g diverso da 1 per assurdo - allora esistono i,j distinti in {1,...,n} con g(i)=j. Considerare a = (ij) e b = (ijk) con k diverso da i e da j ed esaminare le conseguenze del fatto che g commuta con a e con b). 6. Sia N un sottogruppo normale del gruppo finito G e sia P un p-Sylow di G. Sia Q l'intersezione tra N e P. Mostrare che Q e' un p-Sylow di N. Questo rimane valido se N non e' normale? (Hint: Mostrare che p non divide l'indice |N:Q| scrivendo |N:Q| = |P/Q|*|N|/|P|. Per la seconda domanda considerare G=S_4). 7. Contare i p-Sylow del gruppo diedrale D_{15} di grado 15 (e ordine 30) per ogni primo p che divide 30. ----------- Esercizi proposti e svolti il 27/11/2014. 1. Mostrare che gli elementi di Z[i] di norma pari formano un ideale massimale e trovarne un generatore. 2. Fattorizzare 10 e 73+14i in irriducibili in Z[i]. 3. Siano a,b elementi di un anello commutativo unitario A. Mostrare che (a,b) = {ax+by : x,y in A}. 4. Fattorizzare X^4+1 su C, R, Q, Z, F_13. 5. Contare gli ideali di R[X]/(X^4-1). Esercizi proposti: 6. Discutere la riducibilita' su Q dei seguenti polinomi: 3X^5+18X^2+24X+6, 7X^3+12X^2+3X+45, 2X^{10}+25X^3+10X^2-30. 7. Contare gli ideali di R[X]/(X^6-1). Quanti sono quelli massimali? 8. Sia f(X) un polinomio a coefficienti in Z tale che f(a) e' un numero primo per ogni a in Z. Mostrare che f(X) e' un polinomio costante. 9. Fattorizzare 3+6i e 3+i in irriducibili in Z[i]. Qual e' il loro massimo comun divisore? (Ricordo che il MCD e' unico a meno di associati, cioe' a meno di moltiplicare per un invertibile). ----------- Esercizi proposti e svolti il 04/12/2014. 1. Sia I l'ideale (X^5+2X^3+X^2+1, X^2+X-2) di Q[X]. Trovarne un generatore. 2. Trovare l'inverso di 2013 modulo 367. Trovare l'inverso di 367 modulo 2013. 3. Sia a in C uno zero di X^3-5X-1. Mostrare che Q[a] (l'anello dei polinomi valutati in a) e' un campo, cioe' Q[a]=Q(a). Trovare l'inverso dei seguenti elementi in Q[a]: a, a+1, a^2+a+1, 2+a. 4. Trovare il polinomio minimo di u = sqrt(2) + sqrt(3) su Q (dove sqrt(x) indica la radice quadrata di x). Mostrare che Q(u) = Q(sqrt(2),sqrt(3)). Esercizi proposti: 5. Sia a = la radice cubica di 2 in R. Trovare l'inverso di a^2+2a+4 in Q[a]. 6. Trovare il polinomio minimo dei seguenti elementi su Q: sqrt(3)+sqrt(5), sqrt(7)+i. 7. Mostrare che sen(pi/n) e' algebrico su Q (qui n e' un intero positivo e pi indica pi greco). ----------- Esercizi proposti e svolti il 11/12/2014. 1. Mostrare che sen(pi/n) e' algebrico su Q (qui n e' un intero positivo e pi indica pi greco). 2. (Esercizio 4 dell'appello del 5 febbraio 2014). Siano f_1(X) = X^3-2, f_2(X) = X^4-3 in Q[X]. Siano E1, E2 i rispettivi campi di spezzamento. Sia E un campo di spezzamento di f_1(X)*f_2(X). Mostrare che f_1, f_2 sono irriducibili in Q[X] e determinare i gradi su Q di E1, E2, E e dell'intersezione tra E1 ed E2. 3. (Esercizio 5 dell'appello del 5 febbraio 2014). Sia f(X) = X^3+6X^2+X+1 in F[X] dove F = Z/7Z e' il campo con 7 elementi. Sia A = F[X]/(f(X)). Fattorizzare f(X) in F[X], determinare l'ordine (il numero di elementi) di un suo campo di spezzamento E su F. Dire quanti sono gli ideali massimali di A e quanti sono gli elementi invertibili di A. Esercizi proposti: 4. Trovare il grado di un campo di spezzamento dei polinomi f(X) = X^3+2, g(X) = X^6+1 sui campi Q, Z/2Z, Z/3Z, Z/5Z e per ognuno di questi campi F contare gli ideali massimali e gli elementi invertibili di F[X]/(f(X)) e di F[X]/(g(X)). ----------- Esercizi proposti e svolti il 18/12/2014. 1. Trovare un generatore del gruppo moltiplicativo ciclico F_p* = F_p-{0} per ogni primo p < 20. 2. Trovare un generatore del gruppo moltiplicativo ciclico F* = F-{0} dove F = F_2[X]/(X^4+X+1). 3. Trovare un generatore del gruppo moltiplicativo ciclico F* = F-{0} dove F = F_5[X]/(X^2+2). 4. Sia u = e^{i 2pi/9} radice primitiva nona di 1. Trovarne il polinomio minimo su Q e il grado. (Qui pi indica pigreco). 5. (Appello del 15/09/2014 esercizio 4). Trovare il grado di cos(2pi/n) su Q. (Qui pi indica pigreco). 6. Trovare il grado di sen(pi/10) su Q. (Qui pi indica pigreco). 7. Mostrare che ci sono infiniti numeri primi della forma 3k+1 con k intero positivo (tali primi sono per esempio 7, 13, 19, ...). Esercizi proposti: 8. Costruire un campo F di 27 elementi e trovare un generatore del gruppo moltiplicativo ciclico F* = F-{0}. 9. Sia n > 1 un intero. Sia P(X) il polinomio ciclotomico n-esimo. Mostrare che P(0)=1. 10. Trovare il polinomio minimo di sen(pi/10) su Q (abbiamo visto che ha grado 2 - ve lo porto dopo le vacanze). 11. Trovare il grado di sen(pi/7) su Q. 12. Mostrare che ci sono infiniti numeri primi della forma 4k+1 con k intero positivo (tali primi sono per esempio 5, 13, 17, ...). (Procedere sulla linea dell'esercizio svolto sopra). Come immaginate l'argomento si puo' generalizzare per mostrare che fissato un intero positivo n, ci sono infiniti primi della forma nk+1. ----------- Esercizi proposti e svolti il 08/01/2015. 1. Trovare il polinomio minimo di sen(pi/10) su Q. 2. Trovare il grado di un campo di spezzamento di X^4+2 su Q. 3. Sia u = v-v^2 dove v = la radice quarta (reale, positiva) di 2. Trovare il grado di un campo di spezzamento del polinomio minimo di u su Q. 4. Sia n > 1 un intero e sia P(X) il polinomio ciclotomico n-esimo. Mostrare che P(0)=1. 5. Trovare la somma delle radici primitive ventunesime di 1. 6. Sia p un primo e sia n = p^2. Trovare la somma delle radici primitive n-esime di 1. Esercizi proposti: 7. Sia v la radice quadrata positiva di 2 in R. Sia u=v*(1+i). Trovare il grado del campo di spezzamento del polinomio minimo di u su Q. 8. Sia u = sqrt(2+sqrt(5)) dove sqrt indica la radice quadrata positiva. Trovare il grado del campo di spezzamento del polinomio minimo di u su Q. 9. Sia Q_n(X) il polinomio ciclotomico n-esimo. Sia p un primo. Mostrare che Q_{p^3}(X)=Q_p(X^{p^2}). 10. Sia p un primo, e sia S l'insieme delle radici p-esime di 1 in C. Mostrare che un sottoinsieme A di S e' linearmente dipendente su Q se e solo se A=S. ----------- Esercizi proposti e svolti il 15/01/2015. 1. Sia A un anello commutativo unitario e sia S un sottoinsieme di A che non contiene 0. Sia X la famiglia degli ideali di A disgiunti da S. Mostrare che X ha elementi massimali rispetto all'inclusione. 2. Sia I l'ideale di Z[i] generato da z = 21-9i. Determinare il numero degli elementi, il numero degli elementi invertibili e il numero di ideali massimali di Z[i]/I. 3. Trovate qui lo svolgimento dell'esercizio che non ho fatto in tempo a svolgere: www.math.unipd.it/~mgaronzi/polinomi_q.pdf Esercizi proposti: 4. Fattorizzare X^{27}-X in F_3[X]. 5. Mostrare che i campi finiti non sono algebricamente chiusi. 6. Usando il fatto che un campo finito F di ordine p^n ha un elemento di ordine p^n-1 (un generatore del gruppo ciclico F*) mostrare che GL(n,p), il gruppo delle matrici invertibili n x n a coefficienti in F_p, ha un elemento di ordine p^n-1. Trovare un elemento di GL(3,3) di ordine 26. 7. Usando il fatto che ogni insieme infinito X e' equipotente all'insieme PF(X) dei sottoinsiemi finiti (Parti Finite) di X (visto a lezione) mostrare che ogni insieme ammette una struttura di gruppo (definire una struttura di gruppo su PF(X) e trasportarla a X). -----------