Calcolo Numerico

Calcolo Numerico

Prof. M. Redivo Zaglia

Raccolta di esercizi sulle EQUAZIONI NON LINEARI

ATTENZIONE: Tutti i programmi devono essere strutturati con moduli generali relativi ai vari metodi (bisezione, Newton, punto fisso, stima dell'ordine ecc,).
Si deve utilizzare sempre la doppia precisione per variabili e costanti e l'uso di un formato in modo che i files di uscita contengano almeno 16 cifre decimali dopo il punto di radice, per ogni numero reale che rappresenti un certo valore. Per gli errori sono sufficienti 5 cifre decimali dopo il punto di radice, nella forma esponenziale.

Esercizio 1

Si consideri la funzione

$\begin{displaymath}f(x)=x \, (x^2-2) .\end{displaymath}$

Si determinino prima analiticamente e poi graficamente le tre soluzioni $\alpha_1, \alpha_2$ ed $\alpha_3$ di (indicate in senso crescente).
Si identifichino gli intervalli (sufficientemente piccoli) che contengono ognuno una sola delle radici.
Si producano e si stampino con gnuplot le figure relative.
Si applichi sugli intervalli identificati il metodo di bisezione.
Si scrivano quindi su dei file esterni (uno per ogni intervallo precedentemente individuato) due colonne di dati: nella prima si inserisca il numero dell'iterazione (a partire da ), e nella seconda il valore del punto medio dell'intervallo.
Si rappresentino su differenti figure le successioni ottenute con il metodo di bisezione che hanno determinato le soluzioni.
Si rappresentino poi su altri 3 grafici le curve che rappresentano sulle ordinate $-\log_{10} \varepsilon_r$ (per la soluzione nulla si usi l'errore assoluto anzichè quello relativo) e sulle ascisse l'indice delle iterate delle successioni.
Si applichi il metodo di Newton, a partire dal punto iniziale =10.0, sino a raggiungere una tolleranza sulla differenza di due iterate successive di $10^{-8}$ .
Con tale punto iniziale il metodo di punto fisso converge. A quale radice?
Si scrivano su di un file esterno due colonne di dati: nella prima si inserisca il numero dell'iterazione (a partire da ), e nella seconda il valore ottenuto con il metodo di Newton.
Si consideri poi il seguente metodo di punto fisso derivato da tale equazione

$\begin{displaymath}x = \frac{x \, (x^2 + 6)}{3 x^2 + 2} , \end{displaymath}$

e si ritrovino graficamente le tre soluzioni, producendo la figura gdis.ps.
Si determinino analiticamente i passaggi che portano da f(x)=0 a x=g(x).
Considerato tale metodo di punto fisso con punto iniziale scelto in modo che converga alla stessa radice del metodo di Newton, ed il metodo di bisezione relativo all'intervallo che contiene la stessa soluzione, si produca una figura riassuntiva che abbia in ascisse l'indice dell'iterata e in ordinata i valori assunti dalla successione delle iterate per i tre metodi considerati.
Si rappresentino su di un'altra unica figura anche le tre curve (relative a Bisezione, Newton e punto fisso) con ordinate pari al $-\log_{10} \varepsilon_r$ e sulle ascisse l'indice delle iterate delle successioni.
Nel programma che calcola il $-\log_{10} \varepsilon_r$ , si controlli che l'errore assoluto di ogni iterata rispetto alla soluzione esatta sia non nullo, per evitare divisioni per lo zero.
Si applichino gli algoritmi di stima del capitolo 3, sezione 3.15.2, per ritrovare numericamente l'ordine di convergenza di ognuno dei 3 metodi considerati.

Esercizio 2

Si calcoli con il metodo di bisezione la soluzione della seguente equazione, che si trova nell'intervallo . Si ponga la tolleranza uguale a $10^{-11}$ ed $n_{\max}=40$ .

$\begin{displaymath}f(x)=6000-1000\times(1+x) \times \frac{(1+x)^5-1}{x}=0 \end{displaymath}$

Soluzione: Ha un'unica radice che vale circa .
Con il metodo di bisezione, si raggiunge la tolleranza desiderata dopo circa iterazioni con .

Esercizio 3

Si calcolino analiticamente le soluzioni della seguente equazione non lineare

f(x)=(x-2) (x-1) log x = 0

Scelto poi un intervallo sufficientemente piccolo, si calcoli con il metodo di bisezione la radice maggiore.
Soluzione: Ha uno zero $\alpha=1$ di molteplicità 2 ed una radice uguale a 2 che può essere calcolata con il metodo di bisezione.

Esercizio 6-7

Si risolvano gli esercizi proposti agli studenti di Ingegneria Chimica e dei Materiali nell'accertamento parziale del 15 aprile 2003 (LINK al testo ed ai risultati) in modo da ottenere i valori indicati nei file dati.
In particolare si utilizzi l'istruzione FORMAT (anzichè il formato libero) per poter ottenere il numero di cifre significative inserite nei file.
Si ricorda che tutte le definizioni (variabili, costanti e funzioni) devono utilizzare la doppia precisione per i reali.

Esercizio 8

Si calcolino con il metodo di Newton le soluzioni della seguente equazione non lineare
$\begin{displaymath}f(x)=(x-1) \, \log x =0\end{displaymath}$

Soluzione: Ha un unico zero $\alpha=1$ di molteplicità 2 (attenzione che si ha $f'(\alpha)=0$ ). Con il metodo di Newton, dopo circa iterazioni si ottiene $x_{40}=0.99999999999348$ con una tolleranza di $10^{-11}$ .
Poiché la radice è doppia, si calcoli la soluzione con tutti i metodi descritti nella sezione 3.11.3.
Soluzione di Newton per radici multiple: Posto ${\tt toll}=10^{-11}$ , con il metodo di Newton per radici multiple, dopo iterazioni si ottiene .
Si costruisca la successione prodotta dal Delta 2 di Aitken a partire dalla successione prodotta dal metodo di Newton normale (che converge linearmente).
Si costruisca una figura che riporta sulle ascisse il numero di iterazioni e sulle ordinate il valore delle iterate, e si rappresentino su di essa le curve relative a Newton, Newton per radici multiple, Halley e Delta 2 di Aitken.

Esercizio 9

Si calcolino i punti fissi della seguente equazione

$\begin{displaymath}x= \frac{2x^3+4x^2+10}{3x^2+8x} \end{displaymath}$

Soluzione: Ha un unico punto fisso $\alpha$ , compreso nell'intervallo . Posto ${\tt toll}=10^{-11}$ , dopo iterazioni si ottiene .

Esercizio 10

Si consideri la seguente equazione algebrica

$\begin{displaymath}f(x)=x^3- 4.3 x^2 + 0.31 x + 9.867 = 0 \end{displaymath}$
Si identifichino graficamente i tre sottointervalli , ed , sufficientemente piccoli (non più grandi di ) che contengono ognuno una sola delle soluzioni di tale equazione e si producano, su tali sottointervalli, con il software GNUPLOT, tre figure (radice1.ps, radice2.ps e radice3.ps) contenenti i grafici della funzione .
Soluzioni.

Si applichi a ciascun intervallo il metodo di bisezione (usando la doppia precisione), sino a raggiungere una tolleranza sull'ampiezza dell'intervallo di $1.0\times 10^{-11}$ , e ponendo un opportuno valore di $n_{\max}$ .
Si memorizzino su tre files (bisrad1.dat, bisrad2.dat e bisrad3.dat) le tre successioni di iterate (punti medi degli intervalli) ottenute con l'applicazione del metodo, indicando in ascissa gli indici delle iterazioni (a partire dall'indice , ovvero indicando con il punto medio dell'intervallo iniziale) e come ordinata il valore di .
La prima riga di ciascun file deve contenere, nell'ordine, i valori

a b nmax toll

n x(n)

Soluzioni:

bisrad1.dat, bisrad2.dat

bisrad3.dat

Esercizio 11

Si applichi il metodo di Newton all'equazione algebrica dell'esercizio 1, con la stessa tolleranza ed $n_{\max}$ e scegliendo opportunamente il punto iniziale in modo che il metodo converga all'unica radice negativa di tale equazione.
Si memorizzi su di un file (newtrad1.dat) la successione di iterate ottenute con l'applicazione del metodo di Newton, indicando come ascissa gli indici delle iterazioni (a partire dall'indice , ovvero inserendo anche il valore iniziale ) e come ordinata il valore di .
La prima riga di ciascun file deve contenere, nell'ordine, i valori

x(0) nmax toll

e l'ultima riga deve contenere i valori

n x(n)

Soluzione: newtrad1.dat

Utilizzando i due file bisrad1.dat e newtrad1.dat (togliendo le righe iniziali e finali richieste dagli esercizi, in aggiunta alla successione delle approssimate) ed il software GNUPLOT, si produca un'unica figura (bisnew.ps) con le curve delle due successioni convergenti alla soluzione negativa, ottenute con i due metodi (in ascissa gli indici delle iterate e in ordinata il valore di x(n)).

Soluzione: bisnew.ps

Esercizio 12

Si consideri la seguente equazione algebrica
Si identifichi graficamente l'intervallo (non più grande di ) che contiene la radice positiva e si produca con il software GNUPLOT, la figura radice.ps contenenti il grafico della funzione nell'intervallo .
Si applichi il metodo di Newton a tale equazione algebrica, con tolleranza ${\tt toll}=1.0 \times 10^{-8}$ , $n_{\max}=40$ e scegliendo come punto iniziale l'estremo destro dell'intervallo precedentemente individuato. Si memorizzi su di un file (newton.dat) la successione di iterate così ottenute, indicando come ascissa gli indici delle iterazioni (a partire dall'indice , ovvero inserendo anche il valore iniziale ) e come ordinata il valore di . La prima riga del file deve anche contenere i valori

x(0) nmax toll
Si considerino poi i seguenti due metodi di punto fisso () derivati dall'equazione data:

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} x_{n+1} = 0.5 \times (x_n^3-5) & \mbox{~~~~~~~~~~~~~~~} x_{n+1} = (2 x_n +5)^{1/ 3} \end{array}\end{displaymath}$

e si applichino tali metodi con gli stessi dati iniziali utilizzati per Newton. Uno dei metodi converge e l'altro diverge. Individuato quello convergente, si memorizzi su di un file (fisso.dat) la successione di iterate con le stesse modalità indicate per l'applicazione d el Metodo di Newton.
Utilizzando i due file newton.dat e fisso.dat (togliendo le righe iniziali e finali richieste dagli esercizi, in aggiunta alla successione delle approssimate) ed il software GNUPLOT, si produca un'unica figura (newfix.ps) con le curve delle due successioni convergenti alla soluzione, ottenute con i due metodi (in ascissa gli indici delle iterate e in ordinata il valore di x(n)).

Soluzioni:

radice.ps, newton.dat

fisso.dat

(il metodo convergente è quello della seconda equazione di punto fisso) newfix.ps

Esercizio 13

Si consideri la seguente equazione

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2}{x-0.6} - 2.4 = 0$
Si determini graficamente l'intervallo che contiene la radice multipla di tale equazione (non più grande di 1.0) e si produca con il software GNUPLOT, la figura radice.ps contenenti il grafico della funzione nell'intervallo .
Si applichi il metodo di Newton su tale intervallo, con tolleranza ${\tt toll}=1.0 \times 10^{-8}$ , $n_{\max}=40$ e scegliendo come punto iniziale l'estremo destro dell'intervallo . Il programma deve anche utilizzare una routine che implementa l'algoritmo di stima dell'ordine di convergenza (Algoritmo 3.15.2). Si memorizzino su di un file (newton.dat) 3 colonne di dati:

n x(n) p(n)

dove n indica l'indice dell'iterazione (a partire da 0), x(n) rappresenta l'approssimazione e p(n) (da scrivere solo a partire dall'indice 3) rappresenta la stima dell'ordine.
Si applichi poi il metodo di Newton per radici multiple con gli stessi parametri e con le stesse modalità indicate per il metodo di Newton normale e si memorizzi su di un file (newmod.dat) le 3 colonne di dati n, x(n) e p(n).
Utilizzando i due file newton.dat e newmod.dat ed il software GNUPLOT, si produca un'unica figura (conv.ps) con le curve delle due successioni convergenti alla soluzione, ottenute con i due metodi (in ascissa gli indici delle iterate e in ordinata il valore di x(n)).

Soluzioni:

radice.ps, newton.dat

newmod.dat

e conv.ps

Esercizio 14

Si consideri la seguente equazione algebrica
L'unica radice reale si trova nell'intervallo . Si produca con il software GNUPLOT, la figura radice.ps contenenti il grafico della funzione nell'intervallo .
Si applichi il metodo di bisezione su tale intervallo, con tolleranza ${\tt toll}=1.0 \times 10^{-11}$ , $n_{\max}=40$ . Il programma deve anche utilizzare una subroutine che implementa l'algoritmo di stima dell'ordine di convergenza (Algoritmo 3.15.2). Si memorizzino su di un file (bisez.dat) 3 colonne di dati:

n x(n) p(n)

dove n indica l'indice dell'iterazione (a partire da 0, ovvero dal punto medio dell'intervallo iniziale), x(n) rappresenta l'approssimazione e p(n) (da scrivere solo a partire dall'indice 3) rappresenta la stima dell'ordine.
Si applichi poi il metodo di Newton a tale equazione algebrica, con tolleranza ${\tt toll}=1.0 \times 10^{-11}$ , $n_{\max}=40$ e scegliendo come punto iniziale l'estremo destro dell'intervallo . Si memorizzi su di un file (newton.dat) 3 colonne di dati con le stesse modalità di quanto fatto con il metodo di bisezione.
Utilizzando i due file newton.dat e bisez.dat ed il software GNUPLOT, si produca un'unica figura (bisnew.ps) con le curve delle due successioni convergenti alla soluzione, ottenute con i due metodi (in ascissa gli indici delle iterate e in ordinata il valore di x(n)).

Soluzioni:

radice.ps, bisez.dat

newton.dat

e bisnew.ps