Universita' degli Studi di PADOVA

Progetti di Ricerca di Ateneo


Anno: 2010 - prot. CPDA104492




1.0 Macroarea di Afferenza del Responsabile Scientifico del Programma di Ricerca

1 - Matematica, scienze fisiche, dell'informazione e della comunicazione, ingegneria e scienze della Terra


1.1 Area Scientifica del Responsabile Scientifico del Programma di Ricerca

01 - Scienze Matematiche


1.2 Responsabile Scientifico del Programma di Ricerca

NOVATI  Paolo  M 
(Cognome)   (Nome)   (sesso)  
RU  MAT/08  13/12/1971 
(Qualifica)   (Settore Scientifico Disciplinare)   (Data di Nascita)  
NVTPLA71T13E098R  Facoltà di INGEGNERIA  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA 
(Codice di identificazione personale)   (Facoltà)   (Dipartimento/Istituto)  
0498271424  0498271392  novati@math.unipd.it 
(Prefisso e Telefono)   (Numero Fax)   (Indirizzo di Posta Elettronica)  


1.3 Area Scientifica del Programma di Ricerca

Area Scientifica Prevalente Scienze Matematiche  (% di afferenza)   100 
Area Scientifica   (% di afferenza)    
Area Scientifica   (% di afferenza)    
Progetto Interarea NO   


1.4 Titolo del Programma di Ricerca


Lingua Italiana

Trattamento numerico di problemi lineari malcondizionati ed applicazioni.


Lingua Inglese
Numerical treatment of ill-posed linear problems with applications.


1.5 Abstract del Programma di Ricerca


Lingua Italiana

Nel nostro programma di ricerca, intendiamo studiare nuove tecniche per la risoluzione di problemi lineari malcondizionati provenienti dall'analisi di problemi inversi e da applicazioni della teoria dell'approssimazione.
In particolare, siamo interessati a studiare metodi basati sul calcolo di opportune funzioni di matrici (attraverso metodi di tipo Krylov) che derivano dall'utilizzo della regolarizzazione di Tikhonov come precondizionatore.
In questo senso l'idea estende la cosidetta regolarizzazione di Tikhonov iterativa (o iterazione di Landweber).
I metodi iterativi che ne derivano richiederanno la risoluzione di un sistema lineare regolarizzato ad ogni passo.
Verra' anche preso in considerazione l'utilizzo di tecniche di estrapolazione sia nel caso di un unico parametro di regolarizzazione, che nel caso multiparametro.


Lingua Inglese
Our research plan aims to study new techniques for the solution of ill-conditioned linear problems arising from inverse problems and applications of approximation theory.
We are particularly interested in methods based on the computation of suitable matrix functions (by means of Krylov type methods) arising from the use of Tikhonov regularization as preconditioner. The idea thus extends the so-called iterated Tikhonov regularization (or preconditioned Landweber iteration). The arising iterative methods will require the solution of a regularized liner system at each step.
We will also investigate the use of extrapolation techniques both in the case on a single regularization parameter and in the multiparameter case.


1.6 Caratteri di innovatività del progetto e del gruppo


Lingua Italiana

La possibilità di utilizzare metodi numerici per le funzioni di matrice sembra essere un nuovo approccio per la risoluzione di problemi mal condizionati.
Nonostante la relazione tra la regolarizzazione e la soluzione esatta può chiaramente essere scritta in termini di una funzione di matrice, le strategie esistenti basate sul raffinamento iterativo (come ad esempio l'algoritmo del Riley e l'iterazione di Landweber precondizionata) si basano sul calcolo della serie di Taylor con ovvi svantaggi. Pertanto, i recenti sviluppi nel calcolo delle funzioni di matrice potrebbe fornire nuovi strumenti affidabili e opportunità teoriche per il trattamento numerico di problemi mal posti. Inoltre l'uso di questi strumenti, in questo contesto, richiederà di definire la strategia di regolarizzazione (parametro di regolarizzazione ed, eventualmente, la matrice di regolarizzazione) in un modo diverso, perché adesso sarà solo una fase dell'intera procedura.
La novità di questo approccio è stata anche confermata durante la conferenza sui Problemi inversi IPCA, nel giugno del 2010, in cui sono state presentate alcune analisi preliminari e test numerici, utilizzando l'algoritmo Arnoldi-Schur-Parlett.

Il gruppo di ricerca annovera ricercatori italiani e stranieri, che possiedono una consolidata esperienza su tematiche diverse di analisi numerica (interpolazione multivariata, problemi inversi, metodi di estrapolazione, di regolarizzazione, funzioni di matrice) con l'obiettivo comune di studiare metodi affidabili che possono essere utilizzati come strumenti per problemi inversi e particolari problemi della teoria approssimazione. La natura interdisciplinare del gruppo sembra essere una buona occasione per condividere conoscenze, esperienze, e produrre risultati utili.


Lingua Inglese
The possibility of using numerical methods for matrix functions for solving ill-conditioned problems seems to be a novel approach.
While the relation between the regularized and the exact solution can clearly be written in term of a matrix function, the existing approaches based on the iterative refinement (such as e.g. the Riley's algorithm and the preconditioned Landweber iteration) are based on the computation of its Taylor series with obvious disadvantages. Therefore, the recent developments in the computation of matrix functions might provide new reliable tools and theoretical opportunities for the numerical treatment of ill-posed problems. Besides, the use of these tools in this context will require to define the regularization strategy (regularization parameter and, possibly, regularization matrix) in a different way, because now it will be only a phase of the whole procedure.
The novelty of this approach was also stated during the conference on Inverse Problem IPCA, in June 2010, where some preliminary analysis and experiments using the Arnoldi-Schur-Parlett algorithm have been presented.

The research group joins together researchers from Italy and abroad, presenting a well established experience from different subjects of numerical analysis (multivariate interpolation, inverse problems, extrapolation methods, regularization, matrix functions) with the common aim of studying reliable methods that can be used as tools for inverse problems and particular problems from approximation theory. The interdisciplinary nature of the group seems to be a good opportunity to share knowledge and experience, and to produce useful results.


1.7 Settori scientifico-disciplinari interessati dal Programma di Ricerca

MAT/08     


1.8 Parole chiave

1. AREA 01 - Mathematics - Numerical Analysis - Numerical Linear Algebra - ILL-POSEDNESS, REGULARIZATION 
2. AREA 01 - Mathematics - Numerical Analysis - Numerical Linear Algebra - ITERATIVE METHODS FOR LINEAR SYSTEMS 
3. AREA 01 - Mathematics - Approximations And Expansions - INTERPOLATION 
4. AREA 01 - Mathematics - Numerical Analysis - INVERSE PROBLEMS 


1.9 Curriculum scientifico del Responsabile Scientifico del programma di ricerca


Lingua Italiana

Paolo Novati si è laureato con lode in Matematica Applicata presso l'Università di Trieste nel 1996 e ha conseguito il dottorato di ricerca in Matematica Computazionale nel 2000, presso la Scuola di Dottorato in Matematica dell'Università di Padova con la tesi "Metodi polinomiali per il calcolo delle funzioni di grandi matrici non simmetriche" (Relatore: Prof. I. Moret, Università di Trieste e Revisore: Prof. L. Dieci, Georgia State University, USA). Poco dopo, ha ottenuto un'assegno di ricerca post-doc presso il Università degli Studi di Trieste.
Dal dicembre 2001 è diventato ricercatore di Analisi Numerica (SSD MAT/08) presso l'Università dell'Aquila. Nel dicembre 2009 si e' trasferito all'Università di Padova, Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, avviando una collaborazione fattiva con il gruppo locale di Analisi Numerica.

Paolo Novati ha pubblicato 12 lavori (7 ad un solo nome e 5 in collaborazione) in diverse riviste internazionali altamente qualificate (Journal of Computational and Applied Mathematics, Numerical Linear Algebra with Applications, Numerical Functional Analysis and Optimization, Applied Numerical Mathematics, Computing, BIT, International Journal of Computer Mathematics, Journal of Numerical Mathematics) e 3 rapporti tecnici e preprints.
Attualmente, ha una pubblicazione sottomessa come revisione sulla rivista SIAM J. Numer. Anal. mentre un'altra, scritta in collaborazione con due membri di questo programma e riguardante l'oggetto di questo progetto, è in preparazione.

Ha partecipato a numerose conferenze nazionali e internazionali in cui ha presentato i risultati dei suoi lavori scientifici.

I suoi temi di ricerca sono

- I metodi polinomiali per il calcolo delle funzioni di matrici (in particolare Rational Arnoldi methods per funzioni intere di operatori settoriali).

- Metodi numerici per Equazioni differenziali ordinarie di tipo stiff di grandi dimensioni, basati sul calcolo delle funzioni di matrici, cioè integratori esponenziali (proprietà teoriche e implementazione di metodi Lawson-Multistep; integratori esponenziali basati sui metodi di Rosenbrock-Wanner).

- Metodi numerici per equazioni differenziali frazionarie (metodi di tipo Runge-Kutta basati sulla teoria delle equazioni integrali di Volterra di seconda specie con nucleo debolmente singolare; integratori esponenziali basati sul calcolo della funzione di matrice Mittag-Leffler);

- Metodi di Krylov per la regolarizzazione di sistemi lineari mal condizionati. Su questo argomento, un programma di ricerca, presentato di recente e intitolato "tecniche di regolarizzazione basate su metodi di Krylov per il sistemi lineari malcondizionati", e' risultato vincitore di una borse di ricerca per studenti di dottorato in Matematica (3 anni di borsa di dottorato finanziati dalla Fondazione Cassa di Risparmio di Padova e Rovigo, a partire dal 2011).


Lingua Inglese
Paolo Novati got his Laurea Degree in Applied Mathematics at the University of Trieste in 1996 and his Ph.D. in Computational Mathematics in 2000, at the School of Mathematics of the University of Padova with the thesis "Polynomial methods for the computation of functions of large unsymmetric matrices" (Advisor: Prof. I.Moret, University of Trieste and Reviewer: Prof. L.Dieci, Georgia State University, USA). Soon after, he obtained a post-doc position at the University of Trieste.
On December 2001 he became Assistant Professor of Numerical Analysis (SSD MAT/08) at the University of L'Aquila. On December 2009 he moved to the University of Padova, Department of Pure and Applied Mathematics, starting an effective collaboration with the local Numerical Analysis Group.

Paolo Novati published 12 papers (7 alone and 5 in collaboration) in several high qualified international journals (Journal of Computational and Applied Mathematics, Numerical Linear Algebra with Applications, Numerical Functional Analysis and Optimization, Applied Numerical Mathematics, Computing, BIT) and 3 technical reports and preprints.
At the moment, he has submitted a paper for publication to SIAM J. Numer. Anal. while another one, in collaboration with two members of this proposed programme, concerning the subject of this project, is in progress.

He participated to several international and national conferences in which he has presented the results of his scientific work.

His main research topics are

- Polynomial methods for the computation of Functions of Matrices (in particular Rational Arnoldi methods for entire functions of sectorial operators).

- Numerical methods for stiff Ordinary Differential Equations of large dimension, based on the computation of functions of matrices, i.e., exponential integrators (theoretical properties and implementation of Lawson-Multistep methods; exponential integrators based on Rosenbrock-Wanner methods).

- Numerical methods for Fractional Differential Equations: Runge-Kutta type methods based on the theory used for Volterra integral equations of the second kind with weakly singular kernel; exponential integrators based on the computation of the Mittag-Leffler function of matrices;

- Krylov subspace methods for the regularization of ill-conditioned linear systems. On this topic, a research programme recently presented and entitled "Regularization techniques based on Krylov methods for ill-posed linear systems" won a research fellowships for students to attend the Phd School in Mathematics (3-year grant funded by the Fondazione Cassa di Risparmio di Padova e Rovigo, starting in 2011).


1.10 Pubblicazioni scientifiche più significative del Responsabile Scientifico del Programma di Ricerca

nº Pubblicazione
1. NOVATI P., MORET I (2010). On the convergence of Krylov subspace methods for matrix Mittag-Leffler
functions, revised version submitted, SIAM J. Numer. Anal. (Altro)  
2. BREZINSKI C, NOVATI P., REDIVO-ZAGLIA M (2010). A Rational Arnoldi approach for ill-conditioned
linear systems, Preprint, presented at IPCA10, Marseille, France (Altro)  
3. NOVATI P. (2008). Some secant approximations for Rosenbrock W-methods. APPLIED NUMERICAL MATHEMATICS, vol. 58; p. 195-211, ISSN: 0168-9274 (Articolo su rivista) impact factor: .952  
4. NOVATI P. (2008). On the construction of restricted-denominator exponential W-methods. JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS, vol. 212; p. 86-101, ISSN: 0377-0427 (Articolo su rivista) impact factor: 1.048  
5. MORET I, NOVATI P. (2008). A rational Krylov method for solving time-periodic differential equations. APPLIED NUMERICAL MATHEMATICS, vol. 58; p. 212-222, ISSN: 0168-9274 (Articolo su rivista) impact factor: .952  


1.11 Componenti il Gruppo di Ricerca


1.11.0 Personale docente e ricercatore dell'Università di Padova

nº Cognome Nome Dipartimento/Istituto Qualifica Settore Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno		 Stato della risposta
1. NOVATI  Paolo  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Ricercatore  MAT/08  8  8  RESPONSABILE 
2. DE MARCHI  Stefano  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Prof. Associato  MAT/08  4  4  ACCETTATO 
3. REDIVO ZAGLIA  Michela  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Prof. Associato  MAT/08  8  8  ACCETTATO 
4. VIANELLO  Marco  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Prof. Associato  MAT/08  6  6  ACCETTATO 
5. MARCUZZI  Fabio  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Ricercatore  MAT/08  4  4  ACCETTATO 
6. SOMMARIVA  Alvise  DIP. MATEMATICA PURA E APPLICATA  Ricercatore  MAT/08  6  6  ACCETTATO 


1.11.1 Altro Personale dell'Università di Padova (personale tecnico-amministrativo categoria D ed EP, collaboratori di ricerca, collaboratori ed esperti linguistici, dirigenti a tempo determinato)

nº Nome Dipartimento/Istituto Facoltà Qualifica Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno


1.11.2 Personale di Ruolo - dirigente medico e dirigente sanitario - delle Aziende Ospedaliere e Socio Sanitarie convenzionate con l'Università di Padova che operi nelle strutture universitarie e che vi svolga attività di ricerca

nº Cognome Nome Ente Dipartimento/Istituto Qualifica Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno


1.11.3 Personale docente e ricercatore delle altre Università

nº Cognome Nome Università Dipartimento/Istituto Qualifica Settore Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno
1. RODRIGUEZ   Giuseppe   Università degli Studi di CAGLIARI  DIP. MATEMATICA E INFORMATICA  Prof. Associato  MAT/08   4  4 


1.11.4 Titolari di assegni di ricerca dell'Università di Padova

nº Cognome Nome Dipartimento/Istituto Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno


1.11.5 Studenti di Dottorato di Ricerca, borsisti e iscritti alle scuole di specializzazione dell'Università di Padova (L. 398/89 art.4)

nº Cognome Nome Dipartimento/Istituto Qualifica Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno


1.11.6 Personale extrauniversitario

nº Cognome Nome Ente Qualifica Mesi/Persona(*)
Primo anno		 Mesi/Persona(*)
Secondo anno
1. BREZINSKI  CLAUDE  University of Lille 1, Lille, France  Professor Emeritus  4  4 
2. FASSHAUER  GREGORY E.  Illinois Institute of Technology Department of Applied Mathematics, USA  Associate Professor  4  4 


2.1.0 Pubblicazioni scientifiche più significative dei componenti il gruppo di ricerca (docenti dell'ateneo di Padova)

nº Pubblicazioni
1. DE MARCHI STEFANO, ROBERT SCHABACK. (2010). Stability of Kernel-Based Interpolation. ADVANCES IN COMPUTATIONAL MATHEMATICS. vol. 32, pp. 155-161 ISSN: 1019-7168. doi:10.1007/s10444-008-9093-4.
Impact factor 1.148 
2. CALIARI M, DE MARCHI S, VIANELLO M. (2008). Algorithm 886: Padua2D-Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains. ACM TRANSACTIONS ON MATHEMATICAL SOFTWARE. vol. 35, pp. - ISSN: 0098-3500, ISI:000264243800005.
Impact factor 2.197 
3. SLOAN I.H, SOMMARIVA A. (2007). Approximation on the sphere using radial basis functions plus polynomials. ADVANCES IN COMPUTATIONAL MATHEMATICS. pp. 147-177 ISSN: 1019-7168.
Impact factor .864 
4. DE MARCHI STEFANO, ROBERT SCHABACK. (2009). Nonstandard kernels and their Applications. DOLOMITES RESEARCH NOTES ON APPROXIMATION. vol. 2 ISSN: 2035-6803. 33 pages. 
5. MARCUZZI F. (2009). Space and time localization for the estimation of distributed parameters in a finite element model. COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING. vol. 198, pp. 3020-3025 ISSN: 0045-7825. doi:10.1016/j.cma.2009.05.007.
Impact factor 2.129 
6. BREZINSKI C, REDIVO ZAGLIA M. (2010). Extended procedures for extrapolation to the limit. JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS. ISSN: 0377-0427. doi:10.1016/j.cam.2010.06.017.
Impact factor 1.048 
7. BOS L, DE MARCHI S, SOMMARIVA A, VIANELLO M. (2010). Computing multivariate Fekete and Leja points by numerical linear algebra. SIAM JOURNAL ON NUMERICAL ANALYSIS. vol. to appear ISSN: 0036-1429.
Impact factor 1.152 
8. BREZINSKI C, REDIVO ZAGLIA M. (2009). A review of vector convergence acceleration methods, with applications to linear algebra problems. INTERNATIONAL JOURNAL OF QUANTUM CHEMISTRY. vol. 109, pp. 1631-1639 ISSN: 0020-7608. doi:10.1002/qua.21931.
Impact factor 1.317 
9. BREZINSKI C, REDIVO ZAGLIA M. (2008). Rational extrapolation for the PageRank vector. MATHEMATICS OF COMPUTATION. vol. 77, pp. 1585-1598 ISSN: 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-08-02086-3.
Impact factor 1.321 
10. MARCO CALIARI, DE MARCHI STEFANO, MARCO VIANELLO. (2008). Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: computational aspects. JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS. vol. 221, pp. 284-292 ISSN: 0377-0427.
Impact factor 1.048 
11. MARCUZZI F., MARINETTI S. (2008). Efficient reconstruction of corrosion profiles by infrared thermography. JOURNAL OF PHYSICS. CONFERENCE SERIES. vol. 124, pp. 1-11 ISSN: 1742-6596. 
12. MARINETTI S, MARCUZZI F. (2007). Experimental assessment of hidden corrosion profile by FEM processing applied to thermographic data. In: Advanced Infrared Technology and Applications 2007. Advanced Infrared Technology and Applications - AITA 2007. Ottobre 2007. (pp. 311-316). 
13. BOS L, DE MARCHI S, VIANELLO M., XU Y. (2007). "Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the ideal theory approach". NUMERISCHE MATHEMATIK. vol. 108, pp. 43-57 ISSN: 0029-599X.
Impact factor 1.376 
14. SOMMARIVA A., VIANELLO M. (2009). Computing approximate Fekete points by QR factorizations of Vandermonde matrices. COMPUTERS & MATHEMATICS WITH APPLICATIONS. vol. 57, pp. 1324-1336 ISSN: 0898-1221.
Impact factor .997 
15. PUNZI A, SOMMARIVA A., VIANELLO M. (2007). Meshless cubature over the disk by Thin-Plate Splines. JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS. pp. 430-436 ISSN: 0377-0427.
Impact factor .943 


2.1.1 Pubblicazioni scientifiche più significative dei componenti il gruppo di ricerca (altri partecipanti al progetto)
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Claude BREZINSKI
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C. Brezinski, M. Redivo Zaglia.
Extensions of Drummond's process for convergence acceleration.
Appl. Numer. Math., to appear.

C. Brezinski, Y. He, X.-B. Hu, J.-Q. Sun.
Cross rules of some extrapolation algorithms.
Inverse Problems, to appear.

C. Brezinski.
Cross rules and non-Abelian lattice equations for the discrete and confluent non-scalar epsilon-algorithms.
J. Phys. A: Math. Theor., 43 (2010) 205201.

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Greg FASSHAUER
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G. Fasshauer, J.G. Zhang.
Preconditioning of radial basis function interpolation systems via accelerated iterated approximate moving least squares approximation.
Progress on meshless methods, 57-75, Comput. Methods Appl. Sci., 11, Springer, New York, 2009.

G. Fasshauer.
Meshfree Approximation with MATLAB. Lecture III: Dealing with Ill-Conditioned RBF Systems.
Dolomites Research Week on Approximation, September 8–11, 2008

G. Fasshauer.
Meshfree Approximation Methods with MATLAB,
Interdisciplinary Mathematical Sciences - Vol. 6, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2007. xviii+500 pp. ISBN: 978-981-270-634-8; 981-270-634-8

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Giuseppe RODRIGUEZ
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L. Reichel, G. Rodriguez, and S. Seatzu.
Error estimates for large-scale ill-posed problems.
Numer. Algorithms, 51(3):341-361, 2009.

C. Brezinski, G. Rodriguez, and S. Seatzu.
Error estimates for the regularization of least squares problems.
Numer. Algorithms, 51(1):61-76, 2009.

C. Brezinski, G. Rodriguez, and S. Seatzu.
Error estimates for linear systems with applications to regularization.
Numer. Algorithms, 49(1-4):85-104, 2008.


2.2 Curriculum scientifico dei Componenti il Gruppo di Ricerca

Lingua Italiana
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Stefano DE MARCHI
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Stefano De Marchi è professore associato di Analisi Numerica presso l'Università di Padova.
I suoi interessi di ricerca si concentrano sull'approssimazione polinomiale multivariata e approssimazione con Radial Basis Functions (RBF). I temi di ricerca a cui si è dedicato negli ultimi anni sono stati lo studio di punti (quasi)ottimali per l'interpolazione polinomiale (i più importanti sono i cosiddetti punti di Padova) grazie alla collaborazione con il gruppo CAA (Constructive Approx. and Applications) tra le Università di Padova e Verona.
Ha contribuito allo sviluppo di software efficiente per il calcolo del polinomio (iper) interpolante e relative formule di cubatura su domini 2D e 3D.
Il prof. De Marchi ha ricevuto il suo dottorato di ricerca presso l'Università di Padova nel 1994. Divenne ricercatore presso l'Università di Udine nel 1995. Nel 2001 si trasferisce all'Università di Verona dove è diventato professore associato nel 2005.
E' autore di 43 pubblicazioni su rivista, 10 articoli su proceedings di conferenze internazionali, una monografia su spline univariate (in italiano), documenti didattici e materiale divulgativo di matematica e le sue applicazioni.
E' stato relatore invitato nel workshop on Approximation Theory del convegno della Foundation of Computational Mathematics (2005, 2008, 2011), Positive Definite Functions in Statistics and Numerical Analysis (2008) e chairperson in molte conferenze.
E' revisore per Journal of Approximation Theory, Mathematics of Computation, Numerische Mathematik, Advances in Computational Mathematics, Numerical Algorithms and Journal of Computational and Applied Mathematics e molti altri. E' stato guest editor dei numeri speciali di Numerical Algorithms del Workshop on Constructive Approximation and Applications.
Ha visitato le università di Dortmund, Giessen, Goettingen, Oslo, Saragozza, Amburgo, Calgary, Auckland, Lugano. È fondatore e redattore capo del giornale Dolomites Research Notes on Approximations.

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Michela REDIVO ZAGLIA
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Professore associato di Analisi Numerica (SSD MAT/08) dal 1998. Ha svolto il suo servizio presso il Dip. di Matematica dell’Univ. della Calabria dal 1998 al 2002 e successivamente presso il Dip. di Matematica Pura ed Applicata dell’Univ. di Padova, dove, dall’ottobre del 2008 svolge anche le funzioni di vicedirettore. Ha diretto il Centro di Calcolo del Dip. di Elettronica ed Informatica dell’Univ. di Padova dal 1984 al 1998. E’ stata invitata in qualità di professore visitatore in numerose Università europee ed extra-europee effettuando in tali occasioni più di 30 seminari sui suoi risultati scientifici. I suoi lavori sono stati presentati in circa 40 conferenze internazionali.
E’ stato membro di comitati di organizzazione e scientifici di 15 conferenze internazionali e nazionali ed ha collaborato, in qualità di editor, alla predisposizione di 9 proceedings pubblicati come uscite speciali di riviste internazionali. Ha partecipato, anche in qualità di conferenziere invitato, a numerose conferenze internazionali relative alle sue aree di ricerca.
E’ membro del comitato di redazione di tre riviste internazionali di analisi numerica e matematica applicata (Int. J. of Appl. Math. and Eng. Sci., J. of Appl. Math. e Numer. Algorithms). Per quest’ultima rivista ricopre anche, dal 1991, la qualifica di Software Editor. E’ stata inoltre membro di commissioni di dottorato in Italia, Francia, Portogallo e Marocco ed è membro del Collegio della Scuola di Dottorato di Ricerca in Scienze Matematiche (indirizzo di Matematica Computazionale) dell'Univ. di Padova.
Relativamente alla sua attività didattica, ha tenuto e tiene corsi di analisi numerica e di informatica negli ordinamenti relativi alla Laurea, al Master ed al Dottorato di Ricerca.
I suoi principali temi di ricerca riguardano l’analisi numerica. Essi coinvolgono differenti argomenti che sono comunque legati tra loro: metodi di estrapolazione ed accelerazione della convergenza, polinomi ortogonali classici e formali, e risoluzione di sistemi lineari di equazioni (con applicazioni anche alla regolarizzazione di sistemi mal condizionati ed al calcolo del PageRank di Google. Ha ottenuto numerosi risultati nel trattamento del breakdown e del near-breakdown negli algoritmi di Krylov, facendo uso dei FOP (Formal Orthogonal Polynomials). Ha sviluppato numerosi pacchetti di software numerico di algebra lineare e di metodi di estrapolazione.
Come autore o coautore ha pubblicato circa 60 lavori su riviste internazionali e proceedings di conferenze e sette libri (uno dei quali in inglese, pubblicato nel 1991 da North-Holland, e due in francese, pubblicati nel 2004 e nel 2006 da Ellipses, Paris). Un ulteriore libro è in corso di preparazione.


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Marco VIANELLO
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- Nato a Venezia il 26/10/1961.
- Ph.D. in Matematica Computazionale, Università di Padova 1992.
- Borsista senior INdAM 1991-1993.
- Ricercatore (1993-2000) e Associato (2000-) di Analisi Numerica presso la Facoltà di Scienze dell'Università di Padova.

RISULTATI DI RICERCA

Autore di 80 lavori nei campi dell'Analisi Numerica e dell'Analisi Matematica, argomenti:
1. Approssimazione multivariata: polinomi, radial basis functions, cubatura numerica (28 lavori)
2. Approssimazione di funzioni esponenziali di matrice e integratori esponenziali per ODEs/PDEs (8 lavori)
3. Metodi costruttivo-numerici per equazioni integrali (11 lavori)
4. Analisi asintotica qualitativa e quantitativa: eq./sistemi differenziali e alle differenze del secondo ordine, funzioni speciali (25 lavori)
5. Analisi numerica in spazi astratti (8 lavori)

ESPERIENZE DI COLLABORAZIONE E COORDINAMENTO

- Supervisore di 2 tesi di Dottorato (A. Sommariva, M. Caliari) e di 3 borsisti post-doc in Matematica Computazionale.
- Collaborazioni internazionali con L. Bos (Calgary), C. Brezinski (Lille),
J.-P. Calvi (Toulouse), N. Levenberg (Bloomington), Y. Xu (Eugene).
- Coordinatore scientifico di 2 progetti di ricerca (fondi: 60000 euro).
- Membro del CAA: Padova-Verona Research Group on Constructive Approximation and Applications.
- Membro del Collegio docenti del Dottorato in Matematica Computazionale dell'Università di Padova (2005-).

ORGANIZZAZIONE DI CONVEGNI ED ESPERIENZA EDITORIALE

- Membro dei comitati organizzatore e scientifico dei: Dolomites Workshop on Constructive Approximation and Applications (DWCAA06-09), Dolomites Research Week on Approximation (DRWA07-08-10), Canazei (Italy).
- Guest editor dei Proceedings DWCAA06 e DWCAA09, rivista internazionale Numer. Algorithms.

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Fabio MARCUZZI
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- Laurea in Ingegneria Elettronica, ind. Sistemi ed Analisi Dati 1991, Tesi: "Controllo adattativo di azionamenti per macchine utensili".
- Abilitazione alla professione di Ingegnere, 1994
- Corso di Perfezionamento post-laurea in Matematica ed Informatica, Univ. di Padova, A.A. 1995-1996
- Dottorato di Ricerca in Matematica Computazionale (sede amm.va: Univ. di Padova), XII Ciclo, Tesi: "Adaptivity in the Finite Element Method", 1999
- Ricercatore Confermato MAT/08, Univ. di Padova, 20/12/2002.

Attività di Ricerca:

- 1998-1999: collaboratore al progetto Cofin1998 Metodologie avanzate per il calcolo scientifico, unità operativa di Padova (resp. M. Morandi Cecchi)
- 1 Settembre 1998 - 28 Febbraio 1999: Visiting Researcher presso la Stanford University (USA), Dept of Mechanical Engineering, Division of Mechanics and Computations (T.J.R. Hughes).
- 1 Marzo 2000 - 19 Gennaio 2001: Assegnista, Dip. di Matematica Pura ed Applicata, Univ. di Padova, progetto: "Un sistema per il trattamento adattativo e per l'omogeneizzazione numerica di problemi delle scienze applicate" (resp. M. Morandi Cecchi)
- Gennaio 2001 - Dicembre 2002: Collaboratore di Ricerca e Coordinatore della ricerca inter-universitaria, progetto europeo: An Integrated System to Measure Load and Stress on Tracks during Train Transit (ROLLING), CRAFT-CONTRACT G3ST-CT-2000-50046 ROLLING.
- 2004-2005: Progetto Cofin2003 "Modelli numerici per applicazioni avanzate in meccanica dei fluidi ed elettromagnetismo", Coord. scientifico: A. Quarteroni (Politecnico di Milano)
- 2004-2005: Professore invitato all'Univ. di Lille (Francia), Dip. di Matematica, 6-18 Dicembre 2004 e 11-23 Luglio 2005
- dal 2006: resp. scient. di un programma di ricerca per studenti laureati sui problemi inversi in meccanica computazionale, sponsorizzato da aziende private
- 2006: resp. scient. borsa di studio Unindustria Treviso
- 2006-2007: Progetto di Ateneo, Univ. di Padova "Ricostruzione di percorsi P-T-t dalle microstrutture di reazione in rocce metamorfiche: un nuovo approccio attraverso la modellizzazione tridimensionale ad elementi finiti".
- 2006-2009: Responsabile del Lab. per le Applicazioni Numeriche, Dip. di Matematica Pura e Applicata, Univ. di Padova.
- 2008: ha ottenuto il finanziamento di una borsa di dottorato legge ex-170 su un progetto riguardante la simulazione meccatronica.
- 2008: ha fondato uno spin-off universitario.

Ha preparato 24 presentazioni a congressi scientifici nazionali ed internazionali (in buona parte apparse sui proceedings del congresso) e 8 lavori pubblicati su riviste internazionali con referee.

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Alvise SOMMARIVA
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Diplomi: - Dottorato in Matematica Computazionale", 1999, Univ. di Padova. - Laurea in "Matematica", 1993, Univ. di Padova.

Borse: - Assegno di ricerca: "Analisi Numerica of integral and differential models of applied sciences" (1999-2002), Univ. di Padova. - Post-dottorato: "Fast methods for integral equations", Dip. di Matematica Pura ed Applicata, Univ. di Padova (2002-2004). Dal 1 febbraio 2004 al 1 aprile 2004 ha collaborato con Kendall Atkinson all'Univ. of Iowa. - Research Associate: School of Mathematics, UNSW (Australia) (Settembre 2004-Dicembre 2005).

Posizione Attuale: - Ricercatore in Analisi Numerica (MAT 08):
Univ. di Padova (dal 1 Marzo 2006).

Attivita' scientifica: Durante il Dottorato, la sua attivita' di ricerca ha riguardato il trattamento di alcune equazioni integrali nonlineari e sommazione di serie di potenze. Recentemente sta lavorando su punti approssimati di Fekete, interpolazione e cubatura con polinomi, RBF su domini e varieta' come simplessi, rettangoli, n-sfere e poligoni come pure su metodi di Galerkin per equazioni semilineari ellittiche (collaborando con K. Atkinson, L. Bos, J.P. Calvi, N. Levenberg, R. Womersley, I.H. Sloan e membri del gruppo locale di analisi numerica).

Attivita' di referee: Numerische Matematik, IMA Journal Numerical Analysis, Journal of Integral Equations and Applications, ETNA, Computing, Applied Numerical Mathematics, Numerical Algorithms, JCAM.

Pubblicazioni: Autore di piu' di 25 articoli nel campo dell'Analisi Numerica. Per la lista completa si veda http://www.math.unipd.it/~alvise/.

Organizzazione di Congressi: - Organizzatore del 1° e 2° Dolomites Workshop on Constructive Approximation and Applications (DWCAA06-DWCAA09) e delle Dolomites Research Week on Approximation (DRWA07-DRWA08), Alba di Canazei (Trento, Italy).


Lingua Inglese
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Stefano DE MARCHI
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Stefano De Marchi is an associate professor in Numerical Analysis at
the University of Padua, Italy. His research interests focus on multivariate polynomial and Radial Basis Functions(RBF) approximation.
Nearly-optimal points for polynomial interpolation (the most important are the so-called Padua points) and RBF approximation is the topic where he has mostly concentrated his research in the last years, thanks to the fruithful collaboration with the Constructive Approximation and its Applications group between the Universities of Padua and Verona.
He also contributed to the development of efficient software for the computation of polynomial (hyper)interpolants and related cubature formulae on 2d and 3d domains.
Dr. De Marchi received his Ph.D. from the University of Padua in 1994. He became assistant professor at the University of Udine (Italy) in 1995. In 2001, he moved to the University of Verona where he became associated professor in 2005.
He is author of 43 papers on referred journals, 10 papers on referred proceedings, one monography on univariate splines (in Italian), didactic notes and divulgative papers on mathematics and its applications.
He has been invited speaker at Foundation of Computational Mathematics workshop on Approximation Theory (2005, 2008, 2011), Positive Definite Functions in Statistics and Numerical Analysis (2008) and chairperson in many conferences.
He is reviewer for Journal of Approximation Theory, Mathematics of Computation, Numerische Mathematik, Advances in Computational Mathematics, Numerical Algorithms and Journal of Computational and Applied Mathematics and many others. He has been guest editor of the Numerical Algorithms' special issues of the Dolomites Workshop on Constructive Approximation and Applications.
He visited the universities of Dortmund, Giessen, Goettingen, Oslo, Zaragoza, Hamburg, Calgary, Auckland, Lugano. He is founder and editor in chief of the e-journal, Dolomites Research Notes on Approximation.

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Michela REDIVO ZAGLIA
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Associate Professor of Numerical Analysis since 1998: from 1998 to 2002, in the Department of Mathematics of Calabria University; after in the Department of Pure and Applied Mathematics of Padua University. Head of the Computer Center of the Department of Electronics and Computer Sciences of Padua University from 1984 to 1998.
Visiting Professor in several European Universities and also in Africa (Johannesburg and Marrakech) giving there more that 30 seminars on her scientific results. Her scientific works has been presented at about 40 international conferences. Member of the Scientific and Organizing Committee of 15 Conferences and Editor of 9 conference proceedings. She attended, also as invited speaker, to several international conferences related to its areas of research. Member of the editorial board of 3 international journals (Int. J. of Appl. Math. and Eng. Sciences, J. of Appl. Math., Numerical Algorithms). For the last one she is also the software editor since 1991. Member of Ph.D. examination committees in Italy, France, Portugal and Morocco and Member of the board of the Doctoral School in Mathematics (Computational Mathematics) at Padua University since 2005.
From October 2008, she is Vice-Director of the Department of Pure and Applied Mathematics of Padova University.
She gave courses on numerical analysis and computer sciences for Laurea, Master and PhD degrees.
Main interests in numerical analysis: extrapolation methods and convergence acceleration, classical and formal orthogonal polynomials; solution of systems of equations; interpolation and approximation methods and algorithms; regularization (inverse problems); PageRank algorithm (Google's web search); numerical linear algebra; numerical software.
Author or coauthor of about 60 papers in international journals and conference proceedings and seven books (one of which in English, published in 1991 by North-Holland, and two in French). Another book is in preparation.


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Marco VIANELLO
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- Born in Venice on october 26, 1961.
- Ph.D. in Computational Mathematics, University of Padova 1992.
- INdAM research fellowship from november 1991 to october 1993.
- Assistant professor (1993-2000) and associate professor (2000-) of Numerical Analysis at the Faculty of Science of the University of Padova.

RESEARCH RESULTS

Author of 80 papers in the fields of Numerical Analysis and Mathematical Analysis, topics :
1. Multivariate approximation: polynomials, radial basis functions, numerical cubature (28 papers)
2. Approximation of matrix exponentials and exponential integrators for ODEs/PDEs (8 papers)
3. Constructive-numerical methods for integral equations (11 papers)
4. Qualitative and quantitative asymptotics: 2nd order differential and difference eqs./systems, special functions (25 papers)
5. Numerical analysis in abstract spaces (8 papers)

RESEARCH COLLABORATION AND CORDINATION EXPERIENCE

- Supervisor of 2 Ph.D. theses (A. Sommariva, M. Caliari) and of 3 post-doc fellowships in Computational Mathematics.
- International collaborations with L. Bos (Calgary), C. Brezinski (Lille), J.-P. Calvi (Toulouse), N. Levenberg (Bloomington), Y. Xu (Eugene).
- Scientific coordinator of 2 research projects (grants: 60000 euros).
- Member of the CAA: Padova-Verona Research Group on Constructive Approximation and Applications.
- Member of the Council of the Ph.D. program in Computational Mathematics of the University of Padova (2005-).

CONFERENCE ORGANIZATION AND EDITORIAL EXPERIENCE

- Member of the organizing and scientific committees of the: Dolomites Workshop on Constructive Approximation and Applications (DWCAA06-09), Dolomites Research Week on Approximation (DRWA07-08-10), Canazei (Italy)
- Guest editor of the Proceedings of DWCAA06 and DWCAA09, Numer. Algorithms.

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Fabio MARCUZZI
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- Laurea degree in Electronics Engineering at Padova Univ., 1991, Thesis on Adaptive Control of Electromechanical Systems.
- Admitted to the engineering profession, 1994
- Master in Mathematics and Informatics at Padova University, 1996.
- PhD degree in Computational Mathematics Padova University. Thesis on Adaptivity in the Finite Element Method
- Assistant Professor of Numerical Analysis at the Department of Pure and Applied Mathematics, Univ. of Padova, since 20/12/2002.

Academic research activities:

- 1998-1999: participant to the MURST Cofin1998 project Metodologie avanzate per il calcolo scientifico, with the research unit of Padova Univ. (resp. M. Morandi Cecchi)
- 1/9/1998 28/2/1999: Visiting Researcher at Stanford University (USA), Dept of Mechanical Engineering, Division of Mechanics and Computations, (T.J.R. Hughes) .
- 1/3/2000 19/1/2001: "Assegnista" (contract researcher), at the Dept of Pure and Applied Mathematics, Univ. of Padova, for the project: "Un sistema per il trattamento adattativo e per l'omogeneizzazione numerica di problemi delle scienze applicate"(princ. inv.: M. Morandi Cecchi)
- 20/1/2001 - 19/12/2002: "Collaboratore di Ricerca" (contract researcher) and Coordinator of the inter-university research, at the Dept of Pure and Applied Mathematics, Univ. of Padova, for the EU project: An Integrated System to Measure Load and Stress on Tracks during Train Transit (ROLLING), CRAFT-CONTRACT G3ST-CT-2000-50046 ROLLING.
- 2003-2005: participant to the MURST Cofin2003 project "Modelli numerici per applicazioni avanzate in meccanica dei fluidi ed elettromagnetismo"; (resp. A. Quarteroni, Milan Polytechnic)
- Invited Professor at University of Lille (France), Dept of Mathematics, 6-18 December 2004 and 11-23 July 2005
- from 2006: scientific coordinator of a research program for graduate students about inverse problems in computational mechanics, funded by private companies.
- 2006: scientific coordinator of a research grant offered by Unindustria Treviso
- 2006-2007: collaborator to the Project funded by the Univ. of Padova on the "Deciphering P-T-t paths from reaction microstructures in metamorphic rocks: a new approach by means of three-dimensional finite-element modelling".
- 2006-2009 responsible of the Lab. for Numerical Applications at the Dept of Pure and Applied Mathematics, Univ. of Padova.
- 2008: obtained the fundings for a PhD grant on a project of mechatronic simulation.
- 2008: founded a spin-off company of the University of Padua.

He has written 24 presentations to international and national conferences (mostly appeared in the proceedings of the conference) and 8 papers on international journals.

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Alvise SOMMARIVA
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Degrees: - Ph.D. in "Computational Mathematics", 1999, Univ. of Padua, Italy. - B.Sc. in "Mathematics", 1993, Univ. of Padua, Italy.

Positions held: - Research Fellowship: "Numerical analysis of integral and differential models of applied sciences" (1999-2002), Univ. of Padua, Italy. - Post-Doc Fellowship: "Fast methods for integral equations", Dept. of Pure and Applied Mathematics, Univ. of Padua (2002-2004). During such scolarship he has collaborated with K.Atkinson and has been visiting student at the Univ.of Iowa between Feb.1, 2004 and April 1, 2004. - Research Associate: School of Mathematics, UNSW (Australia) (September 2004-December 2005).

Current Position: - Assistant Professor in Numerical Analysis: University of Padua, Italy (from March 2006).

Referee Activity: Numerische Matematik, IMA Numerical Analysis, Journal of Integral Equations and Applications, ETNA, Computing, Applied Numerical Mathematics, Numerical Algorithms, JCAM.

Scientific activity: During the Ph.D., his research activity has been focused on the treatment of nonlinear integral equations and summation methods.

Recently he is working on approximate Fekete points, interpolation and cubature by polynomials and RBF on multivariate domains (and manifolds) as simplices, rectangles, n-spheres and polygons, as well as Galerkin methods for semilinear elliptic equations (with collaborations with K. Atkinson, L. Bos, J.P. Calvi, N. Levenberg, R. Womersley, I.H. Sloan and members of the local group of numerical analysis ).

Publications: Author of more than 25 Numerical Analysis papers. For a list see http://www.math.unipd.it/~alvise/.

Conference Organization: Member of the organizing committees of the 1st and 2nd Dolomites Workshop on Constructive Approximation and Applications (DWCAA06-DWCAA09) and of the Dolomites Research Week on Approximation (DRWA07-DRWA08), Alba di Canazei (Trento, Italy).


2.3 Stato dell'Arte: base di partenza scientifica nazionale ed internazionale

Lingua Italiana
Si riporta una descrizione delle principali basi scientifiche (i riferimenti bigliografici si possono trovare nella sezione 2.4)

Sistemi lineari malcondizionati si ritrovano spesso nel trattamento numerico di problemi inversi, e possono essere ottenuti da discretizzazioni lineari di problemi mal posti, come le equazioni integrali di Fredholm di prima specie. Anche l'interpolazione multivariata rappresenta un problema classico in cui, come attività finale, si ha la necessità di risolvere un sistema fortemente mal condizionato. In molte applicazioni pratiche il termine noto del sistema è contaminato da un errore (discretizzazione, misura, ...), per cui, al fine di ottenere un'approssimazione significativa della soluzione esatta, si sostituisce il sistema lineare originale con uno vicino, meno sensibile alla perturbazione del termine noto (si veda ad esempio PC Hansen [H] e M. Hanke, PC Hansen [HH] per una base scientifica completa).
A causa del gran numero di applicazioni in fisica, medicina, ingegneria, ... il problema è considerato di grande interesse dalla comunità scientifica.
Una tecnica ben nota per la risoluzione di sistemi lineari malcondizionati è la regolarizzazione di Tikhonov [T1,T2]. Quando il parametro di regolarizzazione tende a zero, la soluzione del sistema regolarizzato converge verso la soluzione esatta. Purtroppo, se si prende un piccolo valore per il parametro di regolarizzazione, la soluzione viene calcolata male a causa del mal condizionamento, se si considera un valore grande, la soluzione è ben calcolata, ma è molto diversa dalla soluzione esatta.
Uno dei problemi principali è quindi la scelta del parametro di regolarizzazione.
Alcuni membri di questo programma hanno sviluppato una tecnica di estrapolazione, che consiste nel calcolare la soluzione per diversi valori del parametro di regolarizzazione, e quindi estrapolare a zero. I risultati numerici sono stati interessanti e la tecnica innovativa [BRRS1]. A seguito di tale ricerca in [BRRS2] si sono proposti dei metodi a più parametri (che consentono l'utilizzo simultaneo di diverse matrici di regolarizzazione).
Sono stati utilizzati molti altri differenti approcci. La recente conferenza IPCA10 (problemi inversi, calcolo e applicazioni, http://www-lmpa.univ-littoral.fr/IPCA2010/) tenutasi a Luminy (Francia) ha fissato in un certo senso lo stato dell'arte e le nuove tendenze in questo argomento.
Per quanto riguarda l'analisi dei metodi basati su un processo di raffinamento iterativo (il nostro punto di partenza), un primo tentativo è stato proposto da Riley nel 1955 [R]. La teoria è stata poi rivisitata da altri autori in [G, KC, HH, N]. Più di recente Fasshauer ha in qualche modo riscoperto l'efficacia di queste tecniche nella soluzione di sistemi definiti positivi e fortemente malcondizionati, nel contesto dell'interpolazione con RBF (Radial Basis Functions) [FZ].
Durante l'IPCA10 è stato presentato un primo procedimento iterativo di raffinamento basato sul calcolo diretto delle funzioni di matrice [BNR].
Per una completa trattazione riguardante lo stato dell'arte nel calcolo delle funzioni di matrice si cita il recente libro di N. Higham [Hi] ed i riferimenti in esso contenuti.


Lingua Inglese
A description of the main scientific background follows (the references can be found in Section 2.4)

Ill-conditioned linear systems often occurs in the numerical treatment of inverse problems, and may be obtained by discretizing linear ill-posed problems, such as Fredholm integral equations of the first kind. Multivariate interpolation also represents a classical problem where, as final task, one needs to solve a severely ill-conditioned system. In many practical applications the right-hand side of the system is contaminated by error (discretization, measurement,...), so that in order to obtain a meaningful approximation to the exact solution one replaces the original linear system by a nearby one that is less sensitive to perturbation of the right hand side (see e.g. P.C. Hansen [H] and M. Hanke, P.C. Hansen [HH] for a comprehensive background).
Due to the large number of applications in physics, medicine, engineering,... the problem is considered of great interest by the scientific community.
A well-known technique for solving ill conditioned linear systems is Tikhonov [T1, T2] regularization. When the parameter regularization tends to zero, the solution of the regularized system converges to the exact solution. Unfortunately, if one takes a small value for the parameter of regularization, the solution is bad computed because of ill-conditioning, if one takes a great value, the solution is well calculated, but it is very different from the exact solution.
A major problem is therefore the choice of the regularization parameter.
Some members of this program have developed a technique of extrapolation which consists in computing the solution for different values of regularization parameter, and then extrapolate to zero. The numerical results have been interesting and the technique innovative [BRRS1]. Following that research in [BRRS2] they proposed methods to multiple parameters (which allow simultaneous use of several regularization matrices).
Several other approaches have been used. The recent conference IPCA10 (Inverse Problems, Computation, and Applications, http://www-lmpa.univ-littoral.fr/IPCA2010/) held in Luminy (France) has set in some sense the state of the art and the new trends in this topic.
Regarding the analysis of methods based on an iterative refinement process (our starting point), a first attempt was proposed by Riley in 1955 [R]. The theory has then been revisited by other authors in [G , KC, HH, N]. More recently Fasshauer has somehow rediscovered the effectiveness of these techniques for the solution of positive definite ill-conditioned systems in the context of the interpolation by RBF (Radial Basis Functions) [F, FZ].
At IPCA10 a first iterative refinement process based on the direct computation of matrix functions has been presented [BNR].
We also quote here the recent book by N. Higham [Hi] and the references therein for a complete background concerning the state of the art in the computation of matrix functions.


2.4 Descrizione del Programma di Ricerca

Lingua Italiana
Nel contesto dei problemi lineari malcondizionati, abbiamo intenzione di studiare nuovi metodi iterativi basati sulla ricostruzione della soluzione a partire da una soluzione regolarizzata, come generalmente effettuato nei cosiddetti "processi di raffinamento iterativo" o "regolarizzazione di Tikhonov iterata" [N, R].
L'idea di base è quella di sfruttare la connessione tra la soluzione di un sistema regolarizzato e quella esatta, che può essere espressa in termini di una funzione di matrice. In questo senso il problema è suddiviso in due sottoproblemi (naturalmente non indipendenti), ossia la regolarizzazione di un sistema lineare ed il calcolo di una funzione di matrice.
Alcune analisi preliminari unitamente ad esperimenti numerici effettuati utilizzando l'algoritmo Arnoldi-Schur-Parlett per le funzioni di matrice, che ad ogni passo richiede la soluzione di un sistema regolarizzato, hanno evidenziato una buona accuratezza e robustezza del relativo codice, con e senza rumore nel termine noto [BNR]. Come ci si aspettava comunque, ci sono ancora molte questioni aperte che vorremmo analizzare e che possono essere riassunte come segue:

1. La strategia di regolarizzazione (scelta dei parametri e della matrice di regolarizzazione) dovrebbe tener conto che, diversamente dagli approcci classici, si vuole ricostruire la soluzione esatta. Per questo motivo le tecniche standard quali l'analisi della curva L o la Generalized Cross Validation [H, HH] non possono essere usate, e nuove strategia devono essere introdotte.

2. Per il processo iterativo di Tikhonov in assenza di rumore, una scelta abbastanza buona del parametro di regolarizzazione è suggerita dall'analisi del condizionamento di una funzione di matrice, mentre il caso in presenza di rumore è ancora aperto.

3. L'analisi delle proprietà matematiche dell'applicazione da cui deriva il problema (la regolarità della soluzione, il tipo di rumore, il livello del rumore, ...) potrebbe fornire strategie di regolarizzazione ad hoc, e, possibilmente, precondizionatori ad-hoc per la risoluzione dei sistemi regolarizzati. In questo contesto, alcuni preliminari e promettenti esperimenti per equazioni integrali di Fredholm di prima specie, hanno rivelato che la matrice di regolarizzazione può anche essere definita come l'inversa di oppurtuni operatori integrali di forma molto semplice, al posto delle classiche derivate prima o seconda. Inoltre, nei problemi di evoluzione che coinvolgono parametri distribuiti (ad esempio, dove il modello di base è una PDE evolutiva [M1, M2]), la regolarizzazione del problema della stima dei parametri diventa efficace attraverso una limitazione adattativa dello spazio dei parametri.

4. Qualsiasi metodo di regolarizzazione iterativa di Tikhonov risulta affetto dal fenomeno della semi-convergenza. Questo fenomeno indesiderato puo' venir ridotto o addirittura eliminato, agendo sul parametro di regolarizzazione (ma perdendo al tempo stesso parte della precisione). Questo può essere osservato sperimentalmente, ma una giustificazione teorica è ancora mancante. Inoltre sarebbe opportuno introdurre efficaci criteri di arresto.

5. La scelta del metodo per la risoluzione dei sistemi di regolarizzazione è ovviamente fondamentale per la precisione e la stabilità di tutta la procedura. Essa dovrebbe tener conto dei requisiti di precisione e del costo computazionale. Un'altra fonte di instabilità numerica è ovviamente il calcolo della funzione di matrice. Usando come nel nostro caso l'algoritmo di Arnoldi, la sua implementazione con riortogonalizzazione, o tramite trasformazioni di Householder, deve ancora essere testata. Più in generale, altri metodi possono essere considerati in questa fase.

6. L'utilizzo dei metodi di estrapolazione, che ha dato buoni risultati nella regolarizzazione di Tikhonov [BRRS1, BRRS2], potrebbe essere modificato e/o adattato al nuovo approccio risolutivo.

7. Per quanto riguarda le applicazioni, vorremmo, in particolare, utilizzare i nostri metodi per definire strategie alternative per il trattamento numerico di alcuni problemi inversi in meccanica computazionale [M1, M2], per il calcolo delle interpolanti RBF (Radial Basis Functions) su grandi insiemi di dati sparsi (dove normalmente si cerca un compromesso tra la qualita' dell'approssimazione e il condizionamento [F, FZ]), e per l'estrazione di punti quasi-ottimali per l'interpolazione polinomiale multivariata [SV, CDV].


Bibliografia:

[BRRS1] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, G. Rodriguez, S. Seatzu, Extrapolation techniques for ill-conditioned linear systems, Numer. Math. 81 (1998) 1--29. MR 1657714 (99j:65069)

[BR] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, Studies in Computational Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1991, pp. 464+floppy, ISBN: 9780444888143 (printed version), ISBN: 9780080506227 (ebook version).

[BRRS2] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, G. Rodriguez, S. Seatzu, Multi-parameter regularization techniques for ill-conditioned linear systems., Numer. Math., 94 (2003) 203--228. MR1974554 (2004b:65057)

[BNR] C. Brezinski, P. Novati, M. Redivo-Zaglia, A rational Arnoldi approach for ill-conditioned linear systems, preprint, presented at IPCA10, Marseille, France, 2010.

[CDV] M. Caliari, S. De Marchi, M. Vianello, Algorithm 886: Padua2D-Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains, ACM Trans on Math. Software, vol. 35, 2008, pp. - ISSN: 0098-3500, ISI:000264243800005.

[F] G. Fasshauer, Meshfree Approximation with MATLAB. Lecture III: Dealing with Ill-Conditioned RBF Systems. Dolomites Research Week on Approximation, September 8–11, 2008

[FZ] G. Fasshauer, J.G. Zhang, Preconditioning of radial basis function interpolation systems via accelerated iterated approximate moving least squares approximation. Progress on meshless methods, 57--75, Comput. Methods Appl. Sci., 11, Springer, New York, 2009.

[G] G. Golub, Numerical methods for solving linear least squares problems. Numer. Math. 7, 1965, 206--216.

[HH] M. Hanke, P.C. Hansen, Regularization methods for large-scale problems. Surveys Math. Indust. 3, 1993, no. 4, 253--315.

[H] P.C. Hansen, Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical aspects of linear inversion. SIAM Monographs on Mathematical Modeling and Computation. Philadelphia, PA, 1998.

[Hi] N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, 2008.

[KC] J.T. King, D. Chillingworth, Approximation of generalized inverses by iterated regularization. Numer. Funct. Anal. Optim. 1, 1979, no. 5, 499--513.

[M1] F. Marcuzzi, Space and time localization for the estimation of distributed parameters in a finite element model. Comp. Methods in Appl. Mech. and Engineering, vol. 198, 2009, pp. 3020-3025 ISSN: 0045-7825. doi:10.1016/j.cma.2009.05.007.

[M2] F. Marcuzzi, S. Marinetti, Efficient reconstruction of corrosion profiles by infrared thermography, J. of Physics, Conference series, vol. 124, 2008, pp. 1-11 ISSN: 1742-6596.

[N] A. Neumaier, Solving ill-conditioned and singular linear systems: a tutorial on regularization. SIAM Rev. 40, 1998, no. 3, 636--666

[R] J.D. Riley, Solving systems of linear equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix. Math. Tables Aids Comput. 9, 1955, 96--101.

[SV] A. Sommariva, M. Vianello, Computing approximate Fekete points by QR factorizations of Vandermonde matrices. Comp. & Math with Appl., vol. 57, 2009, pp. 1324-1336 ISSN: 0898-1221.

[T1] A.N. Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Soviet Math. Dokl. 4 (1963) 1036-1038.

[T2] A.N. Tikhonov, Regularization of incorrectly posed problems, Soviet Math. Dokl. 4 (1963) 1624-1627.


Lingua Inglese
In the framework of linear ill-posed problems, we intend to study new iterative methods based on reconstructing the solution from a regularized one, as generally performed by the so called "iterative refinement processes" or "iterated Tikhonov regularization" [N, R].
The basic idea is to exploit the connection between the solution of a regularized system and the exact solution, that can be expressed in terms of a matrix function. In this sense the problem is split in two subproblems (of course not independent), i.e. the regularization of a linear system and the computation of a matrix function.
Some preliminary analysis and experiments using the Arnoldi-Schur-Parlett algorithm for matrix functions, that at each step requires the solution of a regularized system, revealed good accuracy and robustness of the arising code, with and without noise [BNR]. As expected anyway, there are still many open questions we would like to analyze and that can be summarized as follows:

1. The regularization strategy (choice of parameters and regularization matrix) should take into account that differently from the classical approaches we want to reconstruct the exact solution. For this reason the standard techniques such as the L-curve analysis or the Generalized Cross Validation [H, HH] cannot be used, and some new ones must be introduced.

2. For an iterated Tikhonov process in absence of noise, a fairly good choice of the regularization parameter is suggested by the analysis of the conditioning of a matrix function, while the case in presence of noise is still open.

3. The analysis of the mathematical properties of the underlying application (regularity of the solution, noise type, noise level,...) could provide ad-hoc regularization strategies, and, eventually, ad-hoc preconditioners for the solution of the regularized systems. In this setting, some promising preliminary experiments on Fredholm integral equations of the first kind, have revealed that the regularization matrix can even be taken as the inverse of certain simple integral operators instead of the classical first or second order derivative. Again, in evolution problems involving distributed parameters (e.g. where the underlying model is an evolution partial differential equation [M1, M2]), the regularization of the parameter estimation problem becomes effective through an adaptive restriction of the parameter space.

4. Any iterated Tikhonov regularization typically suffers from semi-convergence. This unwanted phenomenon can be reduced or even eliminated acting on the regularization parameter (but loosing at the same time part of the accuracy). This can be observed experimentally but a theoretical justification is still missing. Moreover effective stopping criteria should be introduced.

5. The choice of the method for the solution of the regularized systems is of course fundamental for the accuracy and stability of the whole procedure. It should be made looking at the accuracy requirements and the computational cost. Another source of numerical instability is of course the computation of the matrix function. Using as in our case the Arnoldi algorithm, its implementation with reorthogonalization, or via Householder transformations, has still to be tested. More generally, other methods can be considered in this phase.

6. The use of extrapolation methods [BR], that gave good results in the standard Tikhonov regularization [BRRS1, BRRS2], could be modified and/or adapted to the new approach.

7. Regarding the applications, in particular we would like to use our methods in order to define alternative approaches for the numerical treatment of certain inverse problems in computational mechanics [M1, M2], for the computation of RBF interpolants on large sets of scattered data (where one typically looks for a compromise between the accuracy of the approximation and the conditioning of the problem [F, FZ]), and for the extraction of nearly-optimal points in multivariate polynomial interpolation [SV, CDV].

References:

[BNR] C. Brezinski, P. Novati, M. Redivo-Zaglia, A rational Arnoldi approach for ill-conditioned linear systems, preprint, presented at IPCA10, Marseille, France, 2010.

[BR] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, Studies in Computational Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1991, pp. 464+floppy, ISBN: 9780444888143 (printed version), ISBN: 9780080506227 (ebook version).

[BRRS1] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, G. Rodriguez, S. Seatzu, Extrapolation techniques for ill-conditioned linear systems, Numer. Math. 81 (1998) 1--29. MR 1657714 (99j:65069)

[BRRS2] C. Brezinski, M. Redivo Zaglia, G. Rodriguez, S. Seatzu, Multi-parameter regularization techniques for ill-conditioned linear systems., Numer. Math., 94 (2003) 203--228. MR1974554 (2004b:65057)

[CDV] M. Caliari, S. De Marchi, M. Vianello, Algorithm 886: Padua2D-Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains, ACM Trans on Math. Software, vol. 35, 2008, pp. - ISSN: 0098-3500, ISI:000264243800005.

[F] G. Fasshauer, Meshfree Approximation with MATLAB. Lecture III: Dealing with Ill-Conditioned RBF Systems. Dolomites Research Week on Approximation, September 8–11, 2008

[FZ] G. Fasshauer, J.G. Zhang, Preconditioning of radial basis function interpolation systems via accelerated iterated approximate moving least squares approximation. Progress on meshless methods, 57--75, Comput. Methods Appl. Sci., 11, Springer, New York, 2009.

[G] G. Golub, Numerical methods for solving linear least squares problems. Numer. Math. 7, 1965, 206--216.

[HH] M. Hanke, P.C. Hansen, Regularization methods for large-scale problems. Surveys Math. Indust. 3, 1993, no. 4, 253--315.

[H] P.C. Hansen, Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical aspects of linear inversion. SIAM Monographs on Mathematical Modeling and Computation. Philadelphia, PA, 1998.

[Hi] N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, 2008.

[KC] J.T. King, D. Chillingworth, Approximation of generalized inverses by iterated regularization. Numer. Funct. Anal. Optim. 1, 1979, no. 5, 499--513.

[M1] F. Marcuzzi, Space and time localization for the estimation of distributed parameters in a finite element model. Comp. Methods in Appl. Mech. and Engineering, vol. 198, 2009, pp. 3020-3025 ISSN: 0045-7825. doi:10.1016/j.cma.2009.05.007.

[M2] F. Marcuzzi, S. Marinetti, Efficient reconstruction of corrosion profiles by infrared thermography, J. of Physics, Conference series, vol. 124, 2008, pp. 1-11 ISSN: 1742-6596.

[N] A. Neumaier, Solving ill-conditioned and singular linear systems: a tutorial on regularization. SIAM Rev. 40, 1998, no. 3, 636--666

[R] J.D. Riley, Solving systems of linear equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix. Math. Tables Aids Comput. 9, 1955, 96--101.

[SV] A. Sommariva, M. Vianello, Computing approximate Fekete points by QR factorizations of Vandermonde matrices. Comp. & Math with Appl., vol. 57, 2009, pp. 1324-1336 ISSN: 0898-1221.

[T1] A.N. Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Soviet Math. Dokl. 4 (1963) 1036-1038.

[T2] A.N. Tikhonov, Regularization of incorrectly posed problems, Soviet Math. Dokl. 4 (1963) 1624-1627.


2.5 Obiettivo del Programma di Ricerca ed indicazione dei risultati previsti alla fine del primo anno e a conclusione della ricerca

Lingua Italiana
I sistemi lineari malcondizionati si riscontrano spesso in relazione al trattamento numerico di problemi inversi, in cui di solito si vogliono calcolare le informazioni su alcune proprietà interne utilizzando le misure esterne, come ad esempio nel restauro di immagini e nella tomografia. Inoltre, molti metodi numerici per la soluzione di problemi lineari con operatori compatti o illimitati alla fine portano alla risoluzione di uno o piu' sistemi lineari malcondizionati che devono essere risolti in modo efficiente o addirittura esatto, al fine di salvaguardare l'accuratezza teorica dei metodi.
La difficoltà numerica del problema provoca, con gli attuali metodi numerici, un comportamento indesiderato (come ad esempio la semi-convergenza per i metodi iterativi) o anche nuovi problemi da risolvere (scelta dei parametri di regolarizzazione, criteri di arresto, stima dell'errore ,...).
Partendo dall'idea della regolarizzazione di Tikhonov iterata, il nostro obiettivo in questo contesto è quello di derivare nuovi approcci basati sul calcolo di funzioni di matrici con metodi di tipo Krylov. Tenendo presente l'importanza fondamentale di una valida regolarizzazione e di una efficiente risoluzione del corrispondente sistema lineare per l'intera procedura, il nostro obiettivo è anche quello di progettare correttamente questa fase possibilmente tenendo conto di ciò che dovrebbe essere necessario considerando le proprietà dell'applicazione da cui proviene il problema.
Un altro dei nostri obiettivi consiste nel verificare la possibilità di utilizzare opportune tecniche di estrapolazione [BR].
Vogliamo anche indagare sulla applicabilità di tali metodi relativamente ad alcuni casi in cui è noto che la regolarizzazione standard di Tikhonov e la TSVD sono insoddisfacenti, mettere a confronto i risultati con quelli ottenuti in [M1, M2], e anche introdurli in alcune applicazioni di approssimazione [F, FZ, SV, CDV].

Il gruppo di ricerca di questo programma presenta una buona produttività scientifica, quindi vi sono, a nostro avviso, le potenzialità per sviluppare sia la parte teorica che gli aspetti pratici proposti.
Oltre ai membri indicati, chiediamo una borsa di 8 mesi per un giovane ricercatore, dedicata allo sviluppo e alla fase di test di algoritmi e del relativo software, in Matlab o in un'altro linguaggio di alto livello.
Il dottorando che vincerà la borsa di 3 anni (dal titolo "Regularization techniques based on Krylov methods for ill-posed linear systems"), ottenuta dal responsabile del programma proposto sarà un altro importante elemento di successo del programma stesso.

Una concisa suddivisione temporale, ovviamente indicativa, del programma biennale e' la seguente:

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2011
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Per il primo anno si intende sviluppare in modo completo una teoria sulla costruzione di metodi di raffinamento iterativo basati sul calcolo delle funzioni di matrici, trattando tutte le questioni aperte elencate nella Sezione 2.4 e lavorando con problemi modello classici.
Verra' anche studiata la possibilita' di introdurre tecniche ed algoritmi di estrapolazione per individuare metodi alternativi di ricostruzione della soluzione esatta.
La parte teorico-algoritmica verra' anche codificata per poter effettuare esperimenti numerici a convalida dell'efficacia della metodologia.

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2012
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Per il secondo anno l'idea è di focalizzare l'attenzione su problemi inversi specifici e altri problemi inerenti la teoria dell'approssimazione, eventualmente studiando strategie e/o modifiche ad-hoc dei nostri metodi.
Il software numerico sviluppato precedentemente verra' anche integrato per i casi specifici .

I riferimenti si possono trovare nella sezione 2.4


Lingua Inglese
Ill-posed linear systems often arise in connection with the numerical treatment of inverse problems, where one typically wants to compute information about some interior properties using exterior measurements, as for instance in image restoration and tomography. Besides, many numerical methods for the solution of linear problems with compact or unbounded operators at the end they lead to the solution of one or many ill-conditioned linear systems, assumed to be efficiently or even exactly solved, in order to preserve the theoretical accuracy of the methods. The intrinsic numerical difficulty of the problem introduces undesired numerical behavior for the existing numerical methods (as for instance semi-convergence for iterative methods) or even new problems to be solved (choice of regularization parameters, stopping criteria, error estimation,...).
Starting from the idea of the iterated Tikhonov regularization, our aim in this context is to derive new approaches based on the computation of matrix functions by means of Krylov type methods [BNR]. Keeping in mind the essential importance of a reliable regularization and the efficient solution of the resulting linear systems for the whole procedure, our aim is also to design properly this phase possibly taking into account what is needed looking at the underlying application.
The possibility of using suitable extrapolation techniques [BR] is another of our objectives.
We want also to investigate if these methods are applicable in a couple of situations where it is known that standard Tikhonov and TSVD regularizations are unsatisfactory and we will compare the results with those obtained in [M1, M2] and also in some applications of approximation [F, FZ, SV, CDV]

The research group presents a good scientific productivity in all the topics presented in this program. Hence, in our opinion, the group has the potentialities to develop both the theoretical and the practical aspects.
In addition to the indicated members, we ask for a 8 months grant for a young researcher, devoted to the development and to the testing phase of algorithms and the corresponding code in Matlab or with another suitable high-level language.
The PhD student that will take the 3-year grant (entitled "Regularization techniques based on Krylov methods for ill-posed linear systems") obtained by the responsible of this proposed programme will be another important plus to the success if it.

A brief tentative temporal subdivision of the 2 years research program follows:

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2011
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For the first year we plan to develop a complete theory about the construction of iterative refinement processes based on the computation of matrix functions, dealing with all the open questions listed in Section 2.4 and working with classical model problems.
We will also try to introduce extrapolation techniques and algorithms to derive alternative methods for the reconstruction of the exact solution.
The theoretical and algorithmic part will be coded in order to perform numerical experiments and, hence to confirm the efficiency of the approaches.

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2012
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During the second year we intend to focus the attention on specific inverse problems and other problems coming from the approximation theory, eventually studying ad-hoc strategies and/or modifications of our methods.
We will also expand the numerical software in order to take care of the specific applications.


The references can be found in Section 2.4


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