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MATEMATICA 1 - 2004

7a settimana giovedì 25 ci sarà il compitino: alle 14.40 gli elettrotecnici, alle 16. 30 gli energetici

22.11.2004

Proseguiamo con l’arte di calcolare gli integrali. L’integrale della somma è la somma degli integrali.

Calcoliamo

∫_{3}^{10} \frac{x}{6(x − 1)(x − 2)} dx = \frac{1}{6} ∫_{3}^{10} \frac{x}{(x − 1)(x − 2)} dx

Cerchiamo una primitiva dell’integranda, e scriviamo

\begin{matrix}\frac{x}{(x−1)(x−2)} = \frac{A}{x−1} + \frac{B}{x−2} = \frac{A(x−2)+B(x−1)}{(x−1)(x−2)} = \\ = \frac{(A+B)x−2A−B}{(x−1)(x−2)} \end{matrix}

da cui

\begin{cases}A + B = 1 \\ −2A − B = 0 \end{cases}

da cui B = 1 − A e −2A − (1 − A) = 0 ⟹ A = −1, e quindi B = 2. Pertanto le primitive sono − lg |x − 1| e 2 lg |x − 2|. L’integrale complessivo vale dunque

\frac{1}{6}[− lg |x − 1| + 2 lg |x − 2|]_{3}^{10} = \frac{1}{6}[− lg 9 + 2 lg 8 − (− lg 2 + 2 lg 1)] = = \frac{1}{6}[−2 lg 3 + 2 lg 8 + lg 2] = \frac{1}{6}[−2 lg 3 + 2 lg 8] = \frac{1}{6}[−2 lg 3 + 6 lg 2] > 0

\underline{Attenzione}: questo funziona se il numeratore ha grado minore del denominatore e se il denominatore ha radici reali. Inoltre una primitiva la trovo sempre, ma poi l’integrale definito deve essere cercato su intervalli nei quali la funzione è continua.

Se il grado del numeratore fosse 3 dovrei prima effettuare la divisione. Effettuato esempio di una divisione tra polinomi, sia se il grado del numeratore è superiore a quello de denominatore, sia se è uguale. Se la funzione razionale è del tipo P (x)/Q(x), con grado di P = n e grado di Q = m, allora il quoziente ha grado n − m, e il resto ha al più grado m − 1. Nel caso che i due gradi siano uguali, il resto è una costante.

Un altro esempio è dato da

∫ \frac{x}{(1 + x^{2})^{n}} dx.

Distinguiamo due casi: n > 1 ed n = 1. Consideriamo dapprima n > 1. È x = \frac{1}{2}2x e quindi ponendo 1 + x^{2} = t ho 1/2 ∫ t^{−n} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{−n+1}}{n+1} + c = \frac{(1+x^{2})^{−n+1}}{n+1} + c. Consideriamo ora il caso n = 1. Abbiamo sempre x = \frac{1}{2}2x e quindi ponendo 1 + x^{2} = t si ha

∫ \frac{x}{(1 + x^{2})} dx = \frac{1}{2} lg(1 + x^{2}) + c.

Calcoliamo

∫_{ϵ}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx

Una primitiva risulta chiaramente 2\sqrt{x} e quindi l’integrale vale 2\sqrt{1} − 2\sqrt{ϵ}. Facendo tendere ϵ → 0 si ottiene 2.

\underline{Attenzione}: la cosa invece andava all’infinito se avevo \frac{1}{x} al posto di \frac{1}{\sqrt{x}}. \underline{Attenzione}: la cosa invece andava all’infinito se volevo fare l’integrale da 1 a k e poi far tendere k → ∞.

Calcoliamo l’integrale

∫_{0}^{k} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = [arctan x]_{0}^{k}

per k → +∞ si ha π/2.

Abbiamo così calcolato due limiti di integrali, che sono risultati talvolta finiti e talvolta infiniti. Possiamo allora definire l’integrale anche in due casi per i quali non l’avevamo deifinito prima. Infatti per definire l’integrale ci eravamo posti due ipotesi: che la funzione fosse limitata e che l’intervallo fosse limitato. Possiamo ora, almeno nel caso visto sopra, definire l’integrale rinunciando alla prima ipotesi nel modo seguente:

∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = ∗ lim_{ϵ→0} ∫_{ϵ}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx;

nel caso che l’insieme su cui vogliamo definire l’integrale sia una semiretta poniamo

∫_{1}^{+∞} f(t) dt = ∗ lim_{k→+∞} ∫_{1}^{k} f(t) dt

Gli asterischi significano che noi \underline{definiamo} il primo membro, che finora non aveva significato, tramite il secondo, che invece è il limite di una successione di integrali di funzioni per le quali il concetto di integrale era già stato definito.

Questi tipi di integrali si dicono \underline{integrali generalizzati}.

Possiamo notare che nei casi esaminati non esiste finito l’integrale di \frac{1}{x} né da 0 a 1 né da 1 a +∞; per la funzione 1/\sqrt{x} esiste da 0 a 1, ma non sulla semiretta [1, +∞), mentre per 1/x^{2} esiste sulla semiretta (e risulta lim k → +∞[−1/x]_{1}^{k} = 1), mentre non esiste da 0 a 1.

Calcoliamo ∫ sin x cos x dx; poiché il coseno è la derivata del seno risulta \frac{sin^{2} x}{2} + c.

Notiamo che le primitive della tangente sono lg | cos x| + c.

Calcolare per parti

∫ arcsin x = x arcsin x − ∫ x\frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} dx =
= x arcsin x + \sqrt{1 − x^{2}} + c

Calcolare per parti ∫ arctan x dx = x arctan x − \frac{1}{2} lg(1 + x^{2}) + c.

∫ x arctan x dx. Posso fare lo stesso procedimento dopo però ci vuole il trucchetto del +1 e -1 per poter fare l’ultimo integrale (oppure dividere x^{2} per 1 + x^{2}.

Esercizi sulle funzioni: f(x) = x + cos x e x + sin x. Sono entrambe crescenti, ancorché la derivata si annulli infinite volte (ma non è mai negativa).

Si può calcolare facilmente

∫ \frac{x^{n}}{e^{x}} dx = ∫ x^{n}e^{−x} dx

e integrando per parti n volte si abbassa il grado di x^{n} fino a ridurlo a 0.

Studiamo invece la funzione:

f(x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}

Tende a +∞ per x → +∞ e per x → 0^{+}; tende a −∞ per x → 0^{−} e a 0 per x → −∞. È sempre positiva per gli x positivi, sempre negativa per gli x negativi.

f′(x) = \frac{e^{x}x^{3} − e^{x}3x^{2}}{x^{6}} = \frac{x^{2}e^{x}(x − 3)}{x^{6}}

Cè minimo per x = 3: la derivata a destra è positiva, a sinistra è negativa. Se volessimo calcolarne una primitiva potremmo provare ad adottare lo stesso metodo di prima:

\begin{matrix}e^{x}x^{−2}/2 − 1/2 ∫ x^{−2}e^{x} dx = e^{x}x^{−2}/2 − 1/2[e^{x}(−1)x^{−1} + ∫ \frac{1}{x}e^{x} dx] = \\ e^{x}x^{−2}/2 − 1/2[e^{x}(−1)x^{−1}+???] \end{matrix}

Quest’ultima primitiva non la so calcolare (non esiste in termini finiti, cioè non esiste come combinazione di funzioni elementari come i polinomi, le radici, i logaritmi, le esponenziali, le funzioni trigonometriche e le loro inverse). Però posso rispondere alle seguenti domande: Questa funzione primitiva ha massimi e minimi? Ha flessi? La derivata non si annulla mai. La funzione primitiva è crescente per x positivi, decrescente per x negativi. Nel punto 0 non esiste. La derivata va all’infinito per x → +∞.

Tra tutte le primitive di sin x quale è quella che per x = 0 vale 3? Le primitive sono tutte del tipo − cos x + c e quindi c = 4. Quindi − cos x + 4 è una funzione che soddisfa alle seguenti condizioni:

f′(x) = sin x; f(0) = 3

Studio di f(x) = x lg x e di f(x) = x^{x} = e^{x lg x} con particolare riguardo alla derivata prima e ai suoi limiti per x → 0 (attacchi della funzione).

Sviluppi asintotici e calcolo approssimato - Cap. 8 Teor. di Cauchy o degli incrementi finiti (niente dim.: proposta quella sbagliata per far capire che non è una banalissima conseguenza del teor. di Lagrange). Regola di L’Hospital detta sia nel caso 0/0 che nel caso ∞/∞.

Esempio in cui esiste il limite del rapporto tra le funzioni senza che esista però il limite del rapporto tra le derivate:

lim_{x→∞} \frac{2x + cos x}{2x + sin x} = 2

mentre il limite del rapporto tra le derivate

lim_{x→∞} \frac{2 − sin x}{2 + cos x}

chiaramente non esiste.

Riconoscimento, tramite l’applicazione della regola di L’Hospital, delle considerazioni intuitive sulla rapidità di tendenza a zero o all’infinito di esponenziali e di logaritmi \underline{rispetto a potenze della x}

25.11.2004

Seconda prova parziale.

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Non faranno parte del programma d’esame: dim. del teor. 8.1; dim. del teor. 8.2; esercizi 8.3, 8.4, 8.5.