ESERCIZIO 1
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Tab. differenze divise

 x | y     | DD1    | DD2   | DD3  | DD4 | DD5 
----------------------------------------------
-2 | 31.08 | -28.43 | 12.77 | -3.8 | 1.0 | 0.0
-1 |  2.65 |  -2.89 |  1.37 |  0.2 | 1.0 |
 0 | -0.24 |  -0.15 |  1.97 |  4.2 |
 1 | -0.39 |   3.79 | 14.57 |
 2 |  3.4  |  32.93 |
 3 | 36.33 | 

Polinomio di interpolazione
P(x) = 31.08 + (-28.43)*(x+2) + 12.77*(x+2)*(x+1) + ...
       -3.8*(x+2)*(x+1)*x + 1.0*(x+2)*(x+1)*x*(x-1)
     = [1 -1.8 0.37 0.28 -0.24]

Zeri: Applico Sturm
 1.5
-0.5
0.4 + 0.4i
0.4 - 0.4i



ESERCIZIO 2
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Matrice di iterazione di Jacobi:
Mj = D^(-1)*(E+F)

     [ 0      -1      0      0]
   = [10       0      2      0]
     [ 0       0      0      1]
     [-3.3333 -0.3333 0.6667 0]


coeff_Jacobi = [1 0 9.3333 0.6667 -13.3333]

Il metodo di Jacobi non converge.


Matrice di iterazione di Gauss-Seidel:
Mgs = (D-E)^(-1)*(F)

      [0 -1      0      0     ]
    = [0 -10     2      0     ]
      [0  0      0      1     ] 
      [0  6.667 -0.6667 0.6667]

coeff_Gauss_Seidel = [1 9.3333 -6 -6.667 0]

Il metodo di Gauss-Seidel non converge.


ESERCIZIO 3
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h  = 0.1
x0 = 0.0
y0 = 2.0

y' = f(x,y)

f(x,y) = y+x

Si richiedeva di fare 10 passi dello schema di RK4.

Esempio di un passo:

y_n+1 = y_n + h/6 * (k_1+2k_2+2k_3+k_4)

k_1 = f(x_n,y_n)
k_2 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_1/2)
k_3 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_2/2)
k_4 = f(x_n+h, y_n+h*k_3)

Quindi
x_n = x0 = 0.0
y_n = y0 = 2.0

k_1 = f(x_n,y_n)              = 2.0
k_2 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_1/2) = 2.1
k_3 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_2/2) = ...
k_4 = f(x_n+h, y_n+h*k_3)     = ...

x_n+1 = x_n + h
y_n+1 = y_n + h/6 * (k_1+2k_2+2k_3+k_4)

x   | y        | yexact   | ea = |y-yexact| er = |ea|/|yv|  |
-------------------------------------------------------------
0.0 | 2.0000.. | 2.0000.. | 0.0000        | 0.0000/2.0
0.1 | 2.2155.. | 2.2155.. | 0.0000        | ...
0.2 | 2.4642.. | 2.4642.. | 1.0e-6        | ...