SISTEMA LINEARE
===============

 x1 -2x2 + 3x3 - x4  =  1
    - x2 + 2x3 + x4  = -1
2x1 - x2 +  x3       =  2
     2x2       + x4  =  4 


FORMA MATRICIALE
================
       A         x    =   b
[ 1 -2  3 -1 ] [ x1 ]   [ 1]
[ 0 -1  2  1 ] [ x2 ]   [-1]
[ 2 -1  1  0 ] [ x3 ] = [ 2]
[ 0  2  0  1 ] [ x4 ]   [ 4]


     A         =       D       -        E        -       F
[ 1 -2  3 -1 ]   [ 1  0  0  0 ]   [ 0  0  0  0 ]   [ 0  2 -3  1 ]
[ 0 -1  2  1 ]   [ 0 -1  0  0 ]   [ 0  0  0  0 ]   [ 0  0 -2 -1 ]
[ 2 -1  1  0 ] = [ 0  0  1  0 ] - [-2  1  0  0 ] - [ 0  0  0  0 ]
[ 0  2  0  1 ]   [ 0  0  0  1 ]   [ 0 -2  0  0 ]   [ 0  0  0  0 ]  

METODO ITERATIVO DI JACOBI (risoluzione dei sistemi lineari)
============================================================

                   [ 1  0  0  0 ][  0  2 -3  1 ]
                   [ 0 -1  0  0 ][  0  0 -2 -1 ]
Mj = D^(-1)(E+F) = [ 0  0  1  0 ][ -2  1  0  0 ]
                   [ 0  0  0  1 ][  0 -2  0  1 ]

                   [ 0  2 -3 1 ]
                   [ 0  0  2 1 ]
                 = [-2  1  0 0 ]
                   [ 0 -2  0 0 ]

Autovalori: det(A-lambdaI)=0
----------

Jacobi e' convergente sse raggio_spettrale(Mj)<1

Pj(x) = (-1)^(n) x^(n) + (-1)^(n-1) sigma_1 x^(n-1) + (-1)^(n-2) sigma_2 x^(n-2) + ... 

dove sigma_i e' la somma dei minore principali di ordine i

n = 4
sigma_1 = det(A_1_1) + det(A_2_2) + det(A_3_3) + det(A_4_4)
        = 0 + 0 + 0 + 0
        = 0

sigma_2 = det(A_12_12) + det(A_13_13) + det(A_14_14) + det(A_23_23) + det(A_24_24) + det(A_34_34)

              [0 2]        [ 0 -3]        [0 1]        [0 2]        [ 0 1]
        = det([0 0]) + det([-2  0]) + det([0 0]) + det([1 0]) + det([-2 0])
              [0 0]
        + det([0 0])

        = 0 -6 +0 -2 +2 +0
        = -6

sigma_3 = det(A_123_123) + det(A_124_124) + det(A_234_234) + det(A_134_134)

             [ 0  2 -3]        [0  2 1]        [ 0 2 1]        [ 0 -3 1]
       = det([ 0  0  2]) + det([0  0 1]) + det([ 1 0 0]) + det([-2  0 0])
             [-2  1  0]        [0 -2 0]        [-2 0 0]        [ 0  0 0]

       = -8 +0 +0 +0
       = -8

sigma_4 = det(A_1234_1234)
              [ 0  2 -3 1 ]
              [ 0  0  2 1 ]
        = det([-2  1  0 0 ])
              [ 0 -2  0 0 ]

        = -20

Pj(x) = x^4 -0*x^3 +(-6)*x^2 -(-8)*x +(-20)
      = x^4 -6x^2 +8x -20

Applico Sturm, poi separo radici, poi approssimo le radici, calcolo raggio spettrale.
Autovalori:
-3.2254
 2.4602
 0.3826 + 1.5408i
 0.3826 - 1.5408i

oppure
det(A) = prod autovalori

|det(A)| > 1 => Esiste un autovalore in modulo maggiore di 1 => metodo non converge

UNA ITERAZIONE DEL METODO DI JACOBI
-----------------------------------
 x1 -2x2 + 3x3 - x4  =  1
    - x2 + 2x3 + x4  = -1
2x1 - x2 +  x3       =  2
     2x2       + x4  =  4 

 x1^(k+1) = (1  -(-2x2 + 3x3 - x4)^(k))/(1)
 x2^(k+1) = (-1 -(+ 2x3 + x4)^(k))/(-1)
 x3^(k+1) = (2  -(2x1 - x2)^(k))/(1)
 x4^(k+1) = (4  -(2x2)^(k))/(1)

x^(0)  = [ 0  0  0 0]
x^(1)  = [ 1 -1  2 4]
x^(2)  = [-3  9 -1 6] 
...
TERMINAZIONE
------------
||xnew - xold||_INF<tol
||x^(2)-x(1)||_INF = max([4 10 3 2]) = 10

VERIFICA
--------
||b-A*xsol||

FORMULA GENERALE DI JACOBI
--------------------------

                   ----                ----
                   \                   \
x_i^(k+1) = [b_i - /   A_i_j*x_j^(k) - / A_i_j*x_j^(k) ]/A_i_i
                   ----                ----
                   j<i                 j>i


METODO ITERATIVO DI GAUSS-SEIDEL (risoluzione dei sistemi lineari)
==================================================================

                      [1  0 0 0]^(-1) [0 2 -3  1]
                      [0 -1 0 0]      [0 0 -2 -1]
Mgs = (D-E)^(-1)(F) = [2 -1 1 0]      [0 0  0  0]
                      [0  2 0 1]      [0 0  0  0]

                      [0  2 -3  1]
                      [0  0  2  1]
                    = [0 -4  8 -1]
                      [0  0 -4 -2]


Pgs(x) = x^4 -6x^3 -12x^2
       = x^2(x^2-6x-12)

|-12| > 1 => il metodo non converge
Autovalori sono:
 0.0
 0.0
 7.5826
-1.5826

UNA ITERAZIONE DEL METODO DI GAUSS-SEIDEL
-----------------------------------------
 x1 -2x2 + 3x3 - x4  =  1
    - x2 + 2x3 + x4  = -1
2x1 - x2 +  x3       =  2
     2x2       + x4  =  4 

 x1^(k+1) = (1  -(-2x2 + 3x3 - x4)^(k))/(1)
 x2^(k+1) = (-1 -(+ 2x3 + x4)^(k)-(0)*x1^(k+1))/(-1)
 x3^(k+1) = (2  -(2x1 - x2)^(k+1)-(0)*x4^(k))/(1)
 x4^(k+1) = (4  -(2x2)^(k+1))/(1)

x^(0)  = [0  0  0  0]
x^(1)  = [1  1  1  2]
x^(2)  = [2  5  3 -6]
...
TERMINAZIONE
------------
||xnew - xold||_INF<tol
||x^(2)-x(1)||_INF = max([1 4 2 8]) = 8

VERIFICA
--------
||b-A*xsol||

FORMULA GENERALE DI GAUSS-SEIDEL
--------------------------------
                   ----                  ----
                   \                     \
x_i^(k+1) = [b_i - /   A_i_j*x_j^(k+1) - / A_i_j*x_j^(k) ]/A_i_i
                   ----                  ----
                   j<i                   j>i