ODE
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Y'    = F(X,Y)    <-- Equazione differenziale
Y(X0) = Y0        <-- Condizioni iniziali


x0    x1    x2    x3    x4    x5    x6    x7 
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |  ...
y0    y1    y2    y3    y4    y5    y6    y6 


ESEMPIO
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y'   = 2x      <-- f(x,y)
y(0) = 0       <-- y_0 = 0 e x_0 = 0

la cui soluzione esatta e' y(x) = x^2


METODO DI EULERO
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Formula di aggiornamento:
y_n+1 = y_n + h*f(x_n,y_n)

h = 0.1

n = 0
-----
 x_n | y_n  | f(x_n,y_n) | 
---------------------------
 0.0 | 0.0  | 0.0        |
 
da cui trovo
 x_1 = x_0 + h = 0.0+0.1  = 0.1
 y_1 = y_0 + h*f(x_0,y_0) = 0.0+0.1*0.0 = 0.0

n=1
-----
 x_n | y_n  | f(x_n,y_n) | 
---------------------------
 0.1 | 0.0  | 0.2        |
 
da cui trovo
 x_2 = x_1 + h = 0.1+0.1  = 0.2
 y_2 = y_1 + h*f(x_1,y_1) = 0.0+0.1*0.2 = 0.02

...


METODO DI RUNGE-KUTTA DI ORDINE 4
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y_n+1 = y_n + h/6 * (k_1+2k_2+2k_3+k_4)

k_1 = f(x_n,y_n)
k_2 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_1/2)
k_3 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_2/2)
k_4 = f(x_n+h, y_n+h*k_3)

Costruiamo una tabella del tipo (al passo n)
x_n     | y_n         | k_1 = f(x_n,y_n)             
x_n+h/2 | y_n+h*k_1/2 | k_2 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_1/2) 
x_n+h/2 | y_n+h*k_2/2 | k_3 = f(x_n+h/2, y_n+h*k_2/2) 
x_n+h   | y_n+h*k_3   | k_4 = f(x_n, y_n+h*k_4)       

calcolo il nuovo x e y
x_n+1 = x_n+h
y_n+1 = y_n + h/6 * (k_1+2k_2+2k_3+k_4)