Convergenza di successioni e serie di funzioni

Consideriamo la successione di funzioni (Subscript[f, j])(x)=(x^j), x∈[1,0].

Manipulate[Show[Plot[0,{x,0,1},PlotStyle->{Purple,Thickness[0.01]}],ListPlot[{{1,1}},PlotStyle->{Opacity[0.8],Purple,PointSize[0.03]}],Plot[{(t^j)},{t,0,1},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{0,1}],ListPlot[Table[{s,(s^r)},{r,1,j}],PlotStyle->{Red,PointSize[0.025]}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->500,PlotRange->All],{s,0,1},{j,1,30}]

C’è convergenza puntuale alla funzione f:[0,1]->ℝ, f(x)=0 per x∈[0,1[, f(1)=0 (in viola). La successione (Subscript[f, j]) però non converge uniformemente alla funzione f.

Manipulate[Show[RegionPlot[-e<y<e,{x,0,1},{y,-0.1,1.1},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]}],RegionPlot[1-e<y<1+e&&1-0.01<x<1+0.01,{x,-0.3,1},{y,-0.3,1.1},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]},PerformanceGoal->"Quality"],Plot[{-e,e,0},{x,0,1},PlotStyle->{Purple,Purple,{Thick,Purple}}],ListPlot[{{1,1}},PlotStyle->{Opacity[0.8],Purple,PointSize[0.03]}],Plot[{(t^j)},{t,0,1},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{0,1.1}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->400,PlotRange->{{0,1},{-0.1,1.1}}],{e,0.01,0.1},{j,1,30}]

Consideriamo la successione di funzioni (Subscript[f, j])(x)=((j x)/(1+|j x|)), x∈ℝ.

Manipulate[Show[Plot[-1,{x,-4,0},PlotStyle->{Purple,Thickness[0.003]}],Plot[1,{x,0,4},PlotStyle->{Purple,Thickness[0.003]}],Plot[{((j t)/(1+Abs[j t]))},{t,-4,4},PlotStyle->{{Orange,Thickness[0.0025]}},PlotRange->{-1,1}],ListPlot[Table[{s,((r s)/(1+Abs[r  s]))},{r,0,j}],PlotStyle->{Red,PointSize[0.008]}],ListPlot[{{0,0}},PlotStyle->{Opacity[0.6],Purple,PointSize[0.01]}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->1200,PlotRange->All],{s,-4,4},{j,0.00001,30}]

C’è convergenza puntuale alla funzione f:ℝ->ℝ definita come :  f(x)=-1 per x∈]-∞,0[ , f(0)=0 , f(x)=1 per x∈]0,+∞[  (f è la funzione in viola). La successione (Subscript[f, j]) però non converge uniformemente alla funzione f.

Manipulate[Show[Plot[-1,{x,-4,0},PlotStyle->{{Purple,Thickness[0.004]}}],Plot[{1},{x,0,4},PlotStyle->{{Purple,Thickness[0.004]}}],ListPlot[{{0,0}},PlotStyle->{Opacity[0.8],Purple,PointSize[0.01]}],RegionPlot[1-e<y<1+e,{x,0,4},{y,0,1.1},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]}],RegionPlot[-1-e<y<-1+e,{x,-4,0},{y,-1.1,0},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]}],Plot[{((j t)/(1+Abs[j t]))},{t,-4,4},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{-1.06,1.05}],Plot[{1-e,1+e},{x,0,4},PlotStyle->Purple],Plot[{-1-e,-1+e},{x,-4,0},PlotStyle->Purple],RegionPlot[-e≤y≤e,{x,-0.03,0.03},{y,-e,e},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]}],Axes->True,AspectRatio->Automatic,ImageSize->900,PlotRange->{-1.2,1.2}],{e,0.04,0.1},{j,1,30}]

Consideriamo ora la successione (Subscript[f, j])(x)=(Sqrt[(x^2)+((((1/j)))^2)]), x∈ℝ. Essa converge uniformemente (e quindi anche puntualmente) alla funzione f(x)=|x| (in viola).

Manipulate[Show[Plot[{(Sqrt[(x^2)+((((1/j)))^2)])},{x,-4,4},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{0,4}],Plot[{Abs[x]},{x,-4,4},PlotStyle->{{Purple,Thick}},PerformanceGoal->"Quality"],RegionPlot[Abs[x]-e≤ y≤ Abs[x]+e,{x,-4,4},{y,0,4},PerformanceGoal->"Quality",PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]}],Plot[{Abs[x]-e,Abs[x]+e},{x,-4,4},PlotStyle->{Purple,Thick}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->450,PlotRange->{{-4,4},{0,4}}],{e,0.005,0.3},{j,1,30}]

Manipulate[Show[Plot[{(Sqrt[(x^2)+((((1/j)))^2)])},{x,-2,2},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{0,2}],Plot[{Abs[x]},{x,-2,2},PlotStyle->{{Purple,Thick}},PerformanceGoal->"Quality"],ListPlot[Table[{s,(Sqrt[(s^2)+((((1/r)))^2)])},{r,1,j}],PlotStyle->{Red,PointSize[0.008]}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->650],{s,-2,2},{j,1,30}]

Consideriamo ora una successione di funzioni (Subscript[f, n])(x): ]-∞,-1[->ℝ, per n=1,2,... . In questo caso la n-esima funzione della successione, ovvero (Subscript[f, n])(x) è data dalla somma parziale di una serie: (Subscript[f, n])(x)=(∑_(j=1)^n)(j^x). (quindi (Subscript[f, 1])(x) = 1,(Subscript[f, 2])(x)=1+(2^x), (Subscript[f, 3])(x)=1+(2^x)+(3^x), etc.). Consideriamo anche un’altra successione (per avere un ulteriore esempio) (Subscript[g, n]): [0,1]->ℝ, per n=1,2.... (Subscript[g, n])(x)=(∑_(j=1)^n)(x^j)(1-x) (quindi (Subscript[g, 1])(x)=x(1-x), (Subscript[g, 2])(x)=(x+(x^2))(1-x), (Subscript[g, 3])(x)=(x+(x^2)+(x^3))(1-x), etc.). Si vede che per entrambe le serie non si ha convergenza totale della serie delle sup norme. Questo però non vuole dire che la successione (Subscript[f, n]) o la successione (Subscript[g, n]) non convergano uniformemente (La condizione della convergenza totale della SERIE delle SUP NORME è necessaria, ma non sufficiente per la convergenza uniforme della SUCCESSIONE definita proprio da quella somma di serie: si può avere convergenza uniforme della successione senza avere convergenza totale della serie delle sup norme). In entrambi i casi le successioni non convergono uniformemente dove sono definite, ma la verifica va fatta “a mano” . Nel caso delle (Subscript[g, j]) è semplice: è facile individuare il limite puntuale. Se ora (Subscript[g, j]) convergesse uniformemente, il suo limite uniforme sarebbe il limite puntuale che abbiamo calcolato. Guardiamo l’immagine e capiamo che la convergenza uniforme non ci può essere, e formalizzare. Nel caso delle (Subscript[f, j]) si può mostrare che la successione non converge uniformemente prendendo |f(x)-(Subscript[f, n])(x)|=(∑_(j=n+1)^(+∞))(j^x) (ricordiamo che f,(Subscript[f, n]) sono definite per x<-1). Col criterio dell’integrale, siccome per x=-1 la serie non converge, possiamo prendere delle x arbitrariamente vicine a -1 e rendere arbitrariamente grande il termine |f(x)-(Subscript[f, n])(x)|. Per cui il (sup_x)|f(x)-(Subscript[f, n])(x)| può essere reso arbitrariamente grande, per ogni n. Per cui la serie non converge uniformemente.

Manipulate[Grid[{{"(Subscript[f, j])","(Subscript[g, j])"},{Plot[{Zeta[-x],Sum[(i^x),{i,1,n}]},{x,-4,-1},PlotRange->{{-4,-1},{0,4}},ImageSize->300,PlotStyle->{{Purple,Thick},{Orange,Thick}}],Show[Plot[{1 Boole[x<1],Sum[(x^i) (1-x),{i,0,n}]},{x,0,1},PlotRange->{{0,1},{0,1}},ImageSize->300,PlotStyle->{{Purple,Thick},{Orange,Thick}}],ListPlot[{{1,0}},PlotStyle->{Purple,PointSize[0.06]}]]}}],{n,1,30}]

Infine mostriamo che se (Subscript[f, j])->f su [a,b] uniformemente allora anche le funzioni integrali definite come (Subscript[I, (Subscript[f, j])])(x)=(∫_a^x)(Subscript[f, j])(t)dt convergono alla funzione integrale (Subscript[I, f])(x)=(∫_a^x)f(t)dt ((Subscript[I, (Subscript[f, j])]),(Subscript[I, f]):[a,b]->ℝ). Invece non è vero in generale che se (Subscript[f, j])->f su [a,b] uniformemente, allora (Subscript[f, j])'(x)->f'(x) uniformemente su [a,b]. Consideriamo come esempio (Subscript[f, j])(x)=1+x+((Sin((n^2)x))/n) su [1,0]. (Subscript[f, j])(x)->f(x)=1+x uniformemente su [0,1], ma chiaramente le derivate non convergono uniformemente (neppure puntualmente!)

Manipulate[Show[Plot[1+x,{x,0,1},PlotStyle->{Purple,Thick},PlotRange->{0,2}],Plot[{1+x-e,1+x+e},{x,0,2},PlotStyle->{{Purple,Thick},{Purple,Thick}}],RegionPlot[1+x-e≤ y≤ 1+x+e,{x,0,1},{y,0,2},PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]},PerformanceGoal->"Quality"],Plot[(1+x)+((Sin[(n^2) x])/n),{x,0,1},PlotStyle->{Orange,Thick},PerformanceGoal->"Quality"]],{e,0.0001,0.2},{n,1,50}]

Integrate[(1+s)+((Sin[(n^2) s])/n),{s,0,x}]

Intn[x_,n_]:=x+((x^2)/2)+((1-Cos[(n^2) x])/(n^3))

Integrate[1+s,{s,0,x}]

Int[x_]:=x+((x^2)/2)

Manipulate[Grid[{{Show[Plot[1+r,{r,0,s}],RegionPlot[0<y<1+r,{r,0,s},{y,0,3},PlotStyle->{Green,Opacity[0.3]}],PlotRange->{{0,1},{0,3}},ImageSize->400,Axes->{False,True}],Show[Plot[(1+r)+((Sin[(n^2) r])/n),{r,0,s}],RegionPlot[0<y<(1+r)+((Sin[(n^2) r])/n),{r,0,s},{y,0,3},PlotStyle->{Green,Opacity[0.3]}],PlotRange->{{0,1},{0,3}},ImageSize->400,Axes->{False,True}]},{Show[ListPlot[{{s,Int[s]}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],Plot[Int[r],{r,0,1},PlotStyle->{Green,Thick}],ImageSize->400,PlotRange->{{0,1},{0,3}}],Show[ListPlot[{{s,Intn[s,n]}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.02]}],Plot[Intn[r,n],{r,0,1},PlotStyle->{Green,Thick}],ImageSize->400,PlotRange->{{0,1},{0,3}}]}}],{s,0.0001,1},{n,1,20}]

Manipulate[Show[Plot[{Intn[x,n]},{x,0,1},PlotStyle->{{Orange,Thick}},PlotRange->{0,1.5}],Plot[{Int[x]},{x,0,1},PlotStyle->{{Purple,Thick}},PerformanceGoal->"Quality"],RegionPlot[Int[x]-e≤ y≤ Int[x]+e,{x,0,1},{y,0,1.5},PerformanceGoal->"Quality",PlotStyle->{Purple,Opacity[0.3]},PlotRange->{0,1.5}],Plot[{Int[x]-e,Int[x]+e},{x,0,1},PlotStyle->{Purple,Thick},PlotRange->{0,3}],AspectRatio->Automatic,ImageSize->300,PlotRange->{{0,1},{0,1.5}}],{e,0.00001,0.3},{n,1,10}]

D[(1+x)+((Sin[(n^2) x])/n),x]

Dern[x_,n_]:=1+n Cos[(n^2) x];

Manipulate[Show[Plot[1,{x,0,1},PlotStyle->{Purple,Thick}],Plot[Dern[x,n],{x,0,1},PlotStyle->{Blue,Thick}],AspectRatio->1,ImageSize->400,PlotRange->{-10,10}],{n,1,20}]

Esercizio 1

Studiare la convergenza semplice, uniforme e totale della serie (∑_(n=0)^(+∞))((e^(-(((x-2n))^2)))/((x^2)+1)).

Manipulate[Plot[{Sum[((Exp[-(((x-2 n))^2)])/(1+(x^2))),{n,0,10000}],Sum[((Exp[-(((x-2 n))^2)])/(1+(x^2))),{n,0,m}]},{x,-5,5},PlotRange->{0,1.1},PlotStyle->{{Purple,Thickness[0.01],Opacity[0.8]},{Orange,Thick}},ImageSize->600],{m,0,5}]

C’è convergenza puntuale ad una funzione che è definita su tutto ℝ (per ogni x la serie è convergente). E di più pare esserci convergenza uniforme della successione delle ridotte. Si può provare mostrando che la serie delle sup norme dei termini della sommatoria è convergente. Dobbiamo stimare (sup_(x∈ℝ))|((e^(-(((x-2n))^2)))/(1+(x^2)))| con qualcosa che dipende solo da n, e tale che la serie così ottenuta sia convergnete. Di solito si può trovare il (sup_(x∈ℝ)) della funzione con i metodi standard (derivata uguale a zero etc.) oppure si possono tentare stime più rozze che vadano bene. Ad  esempio: il termine n-esimo è ((e^(-(((x-2n))^2)))/(1+(x^2))) . E’ il prodotto di (e^(-(((x-2n))^2))) (rosso) e (1/(1+(x^2))) (blu). La prima è una gaussiana con il punto di massimo che si sposta verso +∞ per n grande (è la gaussiana centrata in x=2n). Disegnamo queste due funzioni e il loro prodotto (in viola)

Manipulate[Plot[{Exp[-(((x-2 n))^2)],(1/(1+(x^2))),((Exp[-(((x-2 n))^2)])/(1+(x^2)))},{x,-3,10},PlotRange->{0,1},PlotStyle->{{Red,Thick},{Blue,Thick},{Purple,Thick}}],{n,0,5}]

Queste funzioni (in viola) stanno andando a zero uniformemente (si può provare ma non serve, è giusto per capire cosa sta succedendo), quindi anche il loro sup sta andando a zero. Però a noi serve anche una stima di come va a zero: vogliamo che la serie di questi sup sia convergente (se va a zero come (1/n) non ci servirebbe a molto). Si vede (vedere soluzione) che ((e^(-(((x-2n))^2)))/(1+(x^2)))≤ (1/(1+(n^2))):

Manipulate[Plot[{(1/(1+(n^2))),((Exp[-(((x-2 n))^2)])/(1+(x^2)))},{x,-3,10},PlotRange->{0,1},PlotStyle->{{Red,Thick},{Purple,Thick}}],{n,0,5}]

La stima è rozza! Il sup sta andando a zero molto più velocemente di (1/(1+(n^2))) (si può tentare di trovarlo ma è molto lungo e complicato, sulla carta è abbastanza infattibile), ma comunque non importa, abbiamo una stima per il sup che comunque va bene: (∑_(n=0)^(+∞))(sup_(x∈ℝ))((e^(-(((x-2n))^2)))/(1+(x^2)))≤(∑_(n=0)^(+∞))(1/(1+(n^2)))  e quest’ultima serie è convergente. Per cui abbiamo convergenza totale della serie delle sup norme, che implica convergenza uniforme della successione delle somme parziali alla funzione (∑_(n=0)^(+∞))((e^(-(((x-2n))^2)))/(1+(x^2)))su tutto ℝ.

Esercizio 2

Studiare la convergenza semplice, uniforme e totale della serie (∑_(n=0)^(+∞))((|x|+(2^n))/(|x((|)^3)+(3^n))). Come prima facciamo un grafico

Manipulate[Plot[{Sum[((Abs[x]+(2^n))/(((Abs[x])^3)+(3^n))),{n,0,1000}],Sum[((Abs[x]+(2^n))/(((Abs[x])^3)+(3^n))),{n,0,m}]},{x,-5,5},PlotRange->{0,4},PlotStyle->{{Purple,Thickness[0.01],Opacity[0.8]},{Orange,Thick}},ImageSize->600],{m,0,10}]

Come prima, si può mostrare che c’è convergenza puntuale delle ridotte ((Subscript[f, n])) su tutto ℝ alla funzione definita dalla somma infinita (f). Si mostra che c’è anche convergenza uniforme (dall’immagine questo si può già intuire). Siccome i termini della successione sono le ridotte di una serie ((Subscript[f, n])=(∑_(j=0)^n)((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j)))) si può tentare di mostrare la convergenza totale della serie delle sup norme, cioè (∑_(j=0)^(+∞))(sup_(x∈ℝ))((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j))). Anche qui il sup di ognuno dei termini non si riesce a trovare esplicitamente. Però possiamo tentare stime più rozze che ci vadano bene: ((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j)))= ((|x|)/(|x((|)^3)+(3^j)))+((2^j)/(|x((|)^3)+(3^j)))≤((|x|)/(|x((|)^3)+(3^j)))+((2^j)/(3^j)) . E quest’ultima funzione (in rosso)  è molto più semplice da studiare dell’orinignale ((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j)))(in blu) .

Manipulate[Plot[{((Abs[x]+(2^n))/(((Abs[x])^3)+(3^n))),((Abs[x])/(((Abs[x])^3)+(3^n)))+((((2/3)))^n)},{x,-5,5},PlotRange->{0,4},PlotStyle->{{Blue,Thick},{Red,Thick}}],{n,0,10}]

Si mostra che ((|x|)/(|x((|)^3)+(3^j)))+((2^j)/(3^j))  ha un massimo per x=((3^(j/3))/(2^(1/3))) (immediato) e questo massimo vale ((((2/3)))^j)+((2^(2/3))/3)((((1/3)))^((2j)/3)). Quindi ((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j)))= ((|x|)/(|x((|)^3)+(3^j)))+((2^j)/(|x((|)^3)+(3^j)))≤((|x|)/(|x((|)^3)+(3^j)))+((2^j)/(3^j)) ≤ ((((2/3)))^j)+((2^(2/3))/3)((((1/3)))^((2j)/3)), Pertanto (sup_(x∈ℝ))((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j)))≤((((2/3)))^j)+((2^(2/3))/3)((((1/3)))^((2j)/3)) . Infine si conclude osservando che la serie che ha questo come termine j-esimo è convergente. Quindi c’è convergenza totale della serie delle sup-norme e quindi uniforme della successione (Subscript[f, n])  delle ridotte a f=(∑_(j=0)^(+∞))((|x|+(2^j))/(|x((|)^3)+(3^j))) su tutto ℝ.