Esercizi su Formula di Green

Qui di seguito sono presentati dei grafici di alcuni esercizi svolti sul calcolo di flussi attraverso cammini, calcolo di aree, baricentri etc. su regioni piane grazie alla formula di Green. La questione principale per il calcolo di questi integrali di linea lungo il bordo di aperti Stokiani D di (ℝ^2) è avere parametrizzazioni del bordo ∂D tali che il bordo con tali parametrizzazioni risulti positivamente orientato rispetto all’aperto D. In tutti i grafici che seguono, la parametrizzazione usata per disegnare i bordi (nel codice, è dove appare ParametricPlot) è la stessa ricavata nell’esercizio: abbiamo usato le stesse parametrizzazioni che si ritrovano negli esercizi svolti. I parametri sono quelli che possiamo manipolare coi controlli. Vediamo che per tutte le curve effettivamente avanzando col parametro, l’orientazione rispetto al dominio è proprio quella cercata. In seguito al grafico, brevemente, è riportato il calcolo della richiesta dell’esercizio (sia esso area, flusso etc.) svolto con Mathematica.

Esercizio 18: Calcolare (∫_γ)(x^3)dy dove γ è il bordo di D, la corona circolare di raggi 1 e 2.

Manipulate[Show[RegionPlot[1≤ (x^2)+(y^2)≤4,{x,-2,2},{y,-2,2},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{2 Cos[t],2 Sin[t]},{t,0,T1},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{ Cos[t],- Sin[t]},{t,0,T2},PlotStyle->{Red,Thick}],PlotRange->{{-2,2},{-2,2}},Axes->False],{T1,0.0001,2 Pi},{T2,0.0001,2 Pi}]

g11[t_]:=Cos[t];
g12[t_]:=-Sin[t];
g21[t_]:=2 Cos[t];
g22[t_]:=2 Sin[t];

Integrate[((g11[t])^3) g12'[t],{t,0,2 Pi} ]+Integrate[((g21[t])^3) g22'[t],{t,0,2 Pi} ]

Esercizio 19:  Calcolare (∫_γ)2((x^2)+(y^2))dx+(((x+y))^2)dy dove γ è il perimetro del triangolo di vertici (1,1), (2,2) e (1,3), sia direttamente che con la formula di Green.

Manipulate[Show[RegionPlot[1≤ x≤2&&x≤ y≤ 4-x,{x,1,2},{y,1,3},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{1+t,1+t},{t,0,T1},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{2-t,2+t},{t,0,T2},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{1,3-2 t},{t,0,T3},PlotStyle->{Red,Thick}],PlotRange->{{1,2},{1,3}}],{T1,0.0001,1},{T2,0.0001,1},{T3,0.0001,1}]

γ11[t_]:=1+t;
γ12[t_]:=1+t;
γ21[t_]:=2-t;
γ22[t_]:=2+t;
γ31[t_]:=1;
γ32[t_]:=3-2 t;

Integrate[2 (((γ11[t])^2)+((γ12[t])^2)) γ11'[t]+(((γ11[t]+γ12[t]))^2) γ12'[t],{t,0,1}]+Integrate[2 (((γ21[t])^2)+((γ22[t])^2)) γ21'[t]+(((γ21[t]+γ22[t]))^2) γ22'[t],{t,0,1}]+Integrate[2 (((γ31[t])^2)+((γ32[t])^2)) γ31'[t]+(((γ31[t]+γ32[t]))^2) γ32'[t],{t,0,1}]

Integrate[(2(x+y)-4 y)* Boole[x≤y≤4-x],{x,1,2},{y,1,3}]

Esercizio 21-b): Applicare il T. di Gauss-Green per calcolare il baricentro della regione delimitata da γ, dove γ è composta dal segmento di estremi (-1,0) e (1,0), dal quarto di circonferenza unitaria di centro (1,1) che va da (1,0) a (0,1), e dal ramo di parabola y=-(x^2)+1 che va da (0,1) a (-1,0). Ricordiamo che l’area A è data da (1/2)(∫_γ)xdy-ydx, mentre le coordinate del baricentro ((Subscript[x, 0]),(Subscript[y, 0])) sono date da (Subscript[x, 0])=(1/(2A))(∫_γ)(x^2)dy, (Subscript[xy, 0])=-(1/(2A))(∫_γ)(y^2)dx

Manipulate[Show[RegionPlot[-1≤ x≤1&&(((x-1))^2)+(((y-1))^2)≥1&&y≤ -(x^2)+1,{x,-1,1},{y,0,1},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{2 t-1,0},{t,0,T1},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{1+Cos[t],1-Sin[t]},{t,Pi/2,T2},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{-t,1-(t^2)},{t,0,T3},PlotStyle->{Red,Thick}],PlotRange->{{-1,1},{0,1}}],{T1,0.0001,1},{T2,Pi/2 +0.0001, Pi},{T3,0.0001,1}]

φ11[t_]:=2 t-1
φ12[t_]:=0
φ21[t_]:=1+Cos[t]
φ22[t_]:=1-Sin[t]
φ31[t_]:=-t
φ32[t_]:=1-(t^2)

A=(1/2) (Integrate[φ11[t] φ12'[t]-φ12[t] φ11'[t],{t,0,2}]+Integrate[φ21[t] φ22'[t]-φ22[t] φ21'[t],{t,Pi/2,Pi}]+Integrate[φ31[t] φ32'[t]-φ32[t] φ31'[t],{t,0,1}])

X0=(1/(2 A)) (Integrate[((φ11[t])^2) φ12'[t],{t,0,2}]+Integrate[((φ21[t])^2) φ22'[t],{t,Pi/2,Pi}]+Integrate[((φ31[t])^2) φ32'[t],{t,0,1}])

y0=-(1/(2 A)) (Integrate[((φ12[t])^2) φ11'[t],{t,0,2}]+Integrate[((φ22[t])^2) φ21'[t],{t,Pi/2,Pi}]+Integrate[((φ32[t])^2) φ31'[t],{t,0,1}])

Una circonferenza di raggio r (qui poniamo r=1) rotola su una circonferenza di raggio 4r esternamente ad essa. Calcolare l’area della regione limitata dalla curva che descrive uno qualsiasi dei suoi punti (epicicloide). Si prova (vedi note) che la parametrizzazione è (5r cos(θ)-r cos(5 θ), 5r sin(θ)-r sin(5θ)) , θ∈[0,2π].

Manipulate[Show[ParametricPlot[{4 Cos[t],4 Sin[t]},{t,0,2 Pi},PlotStyle->{Blue,Thick}],ContourPlot[(((x-5 Cos[t]))^2)+(((y-5 Sin[t]))^2)==1,{x,-6,6},{y,-6,6},ContourStyle->{Black,Thick},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{5 Cos[s]-Cos[5 s],5Sin[s]-Sin[5 s]},{s,0,t},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{5 r Cos[s]-r Cos[5 s],5 r Sin[s]-r Sin[5 s]},{s,0,2 Pi},{r,0,0.99},Mesh->None,PlotPoints->19,PlotStyle->{Opacity[0.1]},PerformanceGoal->"Quality"],ListPlot[{{5 Cos[t]-Cos[5 t],5Sin[t]-Sin[5 t]}},PlotStyle->{{Red,PointSize[0.02]}}],ListPlot[{{5 Cos[t],5Sin[t]}},PlotStyle->{{Black,PointSize[0.02]}}],ParametricPlot[{5 Cos[t]-Cos[5 t]+r (5 Cos[t]-(5 Cos[t]-Cos[5 t])),5Sin[t]-Sin[5 t]+r (5 Sin[t]-(5Sin[t]-Sin[5 t]))},{r,0,1},PlotStyle->{Black}],PlotRange->{{-6,6},{-6,6}}],{t,0.00001,2 Pi}]

Γ1[t_]:=5 r Cos[t]-r Cos[5 t];
Γ2[t_]:=5 r Sin[t]-r Sin[5 t];

AreaΓ=(1/2) (Integrate[Γ1[t] Γ2'[t]-Γ2[t] Γ1'[t],{t,0,2 Pi}])

Esercizio 24: sia γ la curva piana definita da x(t)=((t^2)/(1-t)), y(t)=1-(t^2), t∈[-1,1/2]. Calcolare (∫_D)ydxdy dove D è la regione del piano compresa tra gli assi e l’arco di γ che va da (0,1) a (1/2,0).

Manipulate[Show[RegionPlot[x≤ ((1-y)/(1+(Sqrt[1-y])))&&x≥0,{x,0,1/2},{y,0,1}],ParametricPlot[{((t^2)/(1-t)),1-(t^2)},{t,-1,T},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{t/2,0},{t,0,T2},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{0,1-t},{t,0,T1},PlotStyle->{Red,Thick}],ListPlot[{{1/2,0},{0,1},{0,0}},PlotStyle->{Red,PointSize[0.03]}],PlotRange->{{0,1/2},{0,1}},Axes->False],{T,-1+0.0001,1/2},{T1,0.0001,1},{T2,0.0001,1}]

ξ11[t_]:=((t^2)/(1-t))
ξ12[t_]:=1-(t^2)
ξ21[t_]:=t/2
ξ22[t_]:=0
ξ31[t_]:=0
ξ32[t_]:=1-t

Integrate[ξ11[t] ξ12[t] ξ12'[t],{t,-1,0}]+Integrate[ξ21[t] ξ22[t] ξ22'[t],{t,0,1}]+Integrate[ξ31[t] ξ32[t] ξ32'[t],{t,0,1}]

Esercizio 12.21: mostrare che la curva (cos(t) (1+sin(t)), 1+sin(t)) è un circuito semplice, chiuso e calcolare l’area della regione che racchiude.

Manipulate[Show[RegionPlot[-y (Sqrt[2 y-(y^2)])≤ x≤y (Sqrt[2 y-(y^2)]) ,{x,-((3(Sqrt[3]))/4),((3(Sqrt[3]))/4)},{y,0,2},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{Cos[s] (1+Sin[s]),1+Sin[s]},{s,0,t},PlotStyle->{Red,Thick}],PlotRange->{{-((3(Sqrt[3]))/4),((3(Sqrt[3]))/4)},{0,2}},Axes->False],{t,0.0001,2 Pi}]

ψ1[t_]:=Cos[t] (1+Sin[t]);
ψ2[t_]:=1+Sin[t];

Areaψ=Integrate[ψ1[t] ψ2'[t],{t,0,2 Pi}]

Esercizio 12.30: Sia Γ la frontiera della regione del piano compresa tra le parabole y=(x^2) e x=(y^2). Calcolare usando la formula di Green (∫_Γ)(y+(e^(Sqrt[x])))dx+(2 x+cos((y^2)))dy. Se G è la regione racchiusa da Γ, allora per la formula di Green (∫_Γ)(y+(e^(Sqrt[x])))dx+(2 x+cos((y^2)))dy=(∫_G)dxdx, cioè il volume di G (quindi in realtà è stato inutile trovare una parametrizzazione che conservi l’orientamento ai fini del calcolo dell’integrale)

Manipulate[Show[RegionPlot[(x^2)≤y≤(Sqrt[x]),{x,0,1},{y,0,1},PerformanceGoal->"Quality"],ParametricPlot[{t,(t^2)},{t,0,T1},PlotStyle->{Red,Thick}],ParametricPlot[{(((1-t))^2),1-t},{t,0,T2},PlotStyle->{Red,Thick}],PlotRange->{{0,1},{0,1}}],{T1,0.0001,1},{T2,0.0001,1}]

Integrate[Boole[(x^2)≤ y≤ (Sqrt[x])],{x,0,1},{y,0,1}]