Argomenti di tesi: - Soluzione numerica di problemi di trasporto ottimo. Problemi di trasporto ottimo scaturiscono in moltissimi ambiti applicativi, da dinamiche biologiche (distribuzione della muffa) a dinamica delle pile di sabbia (sandpiles), alla dinamica delle reti a marea, eccetera. Di recente e' stata studiata una formulazione del trasporto ottimo in L1 la cui soluzione numerica sembra essere assai efficiente. Argomenti di tesi posso essere: a) sviluppo e implementazione di un metodo di Newton per la soluzione delle equazioni accoppiate agli elementi finiti nello spazio e differenze finite nel tempo per la soluzione efficiente del problema di TO; b) l'analisi teorica per lo studio della convergenza dello schema agli elementi finiti/differenze finite; c) sperimentazione e analisi di problemi di trasporto ramificato con applicazioni al problema di Steiner e collegamenti con metodi di ottimizzazione; d) sviluppo di precondizionatori per il metodo del gradiente coniugato adatti alla soluzione di equazioni tipiche della discretizzazione di TO con ellittica’ degenere; Alcune competenze necessarie (gia' acquisite e/o da acquisire durante la tesi): equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE); soluzione numerica di PDE; soluzione numerica di sistemi lineari e non lineari di grandi dimensioni; analisi funzionale; Evans, Lawrence C. 2001. Partial Differential Equations and Monge-Kantorovich Mass Transfer. Current Developments in Mathematics. Bonifaci, Vincenzo, Kurt Mehlhorn, and Girish Varma. 2012. Physarum Can Compute Shortest Paths. Journal of Theoretical Biology 309: 121-133. doi:10.1016/j.jtbi.2012.06.017. Xia, Q. (2015). Motivations, ideas and applications of ramified optimal transportation. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. doi:10.1051/m2an/2015028 - Formulazione del problema della dinamica di reti a marea in termini di trasporto ottimo. Gli ambienti a marea (e.g. la Laguna di Venezia, delta dei fiumi) sono caratterizzati dalla presenza di alvei altamente dinamici che formano una rete complessa attraverso la quale l'acqua scorre da e verso il mare. Lavori recenti di ricercatori di idraulica di Padova hanno evidenziato come la dinamica della rete fluviale in ambienti a marea possa essere descritta da un modello semplice basato su un'equazione di Laplace bidimensionale. La tesi si occupa di studiare la possibilita' di formulare tale problema come un problema di trasporto ottimo in L1 verificando le connessioni matematiche tra il modello sviluppato dai ricercatori di idraulica e il modello basato sulla teoria del trasporto ottimo, andando a formalizzare il problema matematico studiandolo analiticamente e numericamente. Alcune competenze necessarie (gia' acquisite e da acquisire durante la tesi): equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE); soluzione numerica di PDE; soluzione numerica di sistemi non lineari di grandi dimensioni; analisi funzionale; idraulica elementare. Barrett, John W, and Leonid Prigozhin. 2007. A Mixed Formulation of the Monge-Kantorovich Equations. M2AN. Mathematical Modelling and Numerical Analysis 41 (6): 1041-1060. doi:10.1051/m2an:2007051. D'Alpaos, Andrea, Stefano Lanzoni, Marco Marani, Sergio Fagherazzi, and Andrea RInaldo. 2005. Tidal Network Ontogeny: Channel Initiation and Early Development. Journal of Geophysical Research: Earth Surface 110 (F): 2001. doi:10.1029/2004JF000182. - Metodi multiscala temporali per l'integrazione temporale in equazioni paraboliche con forzante oscillatoria Nella simulazione della dinamica dei bacini fluviali, la forzante principale e' la precipitazione atmosferica, descrivibile con una funzione altamente oscillatoria a scale temporali dell'ordine della frazione di ora. L'argomento di tesi riguarda lo studio di metodi multiscala basati su tecniche di Galerkin Discontinuo nel tempo per la discretizzazione temporale di equazioni nonlineari mantenendo passi temporali relativamente grandi, maggiori della scala temporale delle oscillazioni della forzante. La tesi, con forte carattere di ricerca scientifica, sara' svolta in collaborazione con il Prof. Michael Dumbser dell'Universita' di Trento. Dapprima si procedera' ad uno studio di tecniche di discretizzazione temporale basate sullo schema Discontinuous Galerkin, e si mettera' a confronto tali tecniche con tecniche standard. Si provvedera' ad uno studio teorico e ad una sperimentazione pratica su casi test semplici ma realistici. Alcune competenze necessarie (gia' acquisite e/o da acquisire durante la tesi): equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE); soluzione numerica di PDE paraboliche; metodi per ODE; soluzione numerica di sistemi non lineari di grandi dimensioni; programmazione in fortran. - Data assimilation con tecniche "shrinkage regression" I modelli di simulazione di sistemi naturali sono spesso complementati da metodi di "data assimilation" (DA) per l'aggiornamento dello stato del sistema sulla base delle misure acquisite in tempo reale. L'aggiornamento e' calcolato sulla base del confronto tra le osservazioni di campo di un particolare stato del sistema e la sua previsione modellistica in un framework Bayesiano. Molte tecniche di DA si basano sull'assunzione gaussiana (il calcolo dell'update assume una distribuzione normale degli errori). Tale assunzione non e' valida in presenza di dinamiche non lineari. Per ovviare a questo si usano tecniche basate su iterazioni di Monte Carlo. Due tra le tecniche piu' usate sono l'Ensemble Kalman Filter (EnKF) e il Sequential Importance Resampling (SIR) particle filter. In ambedue i casi l'insieme delle realizzazioni di Monte Carlo deteriora rapidamente per il problema del cosiddetto "ensemble inbreeding": le realizzazioni diventano statisticamente dipendenti e non permettono piu' una accurata valutazione dell'aggiornamento. Saetrom et al., 2011 hanno introdotto una tecnica di "shrinkage regression" basata su una regressione ai minimi quadrati o una analisi alle componenti principali per migliorare il passo di update dell'EnKF. L'argomento di tesi si propone di studiare l'applicabilita' di tali tecniche a modelli numerici non lineari e di grandi dimensioni che risolvono problemi dell'idrologia di bacini idrografici (previsione delle piene dei fiumi). Si studieranno l'applicabilita' di queste tecniche sia all'EnKF che al SIR, e si valutera' la possibilita' di usare questi approcci sia per il "Data Assimilation" in tempo reale, sia per la soluzione del problema inverso, e cioe' l'individuazione dei parametri del modello che meglio simulano i fenomeni. Per fare questo, le tecniche di Seatrom e Omre, 2011, saranno implementate nei moduli EnKF e SIR gia' presenti nel simulatore CATHY. Alcune competenze necessarie (gia' acquisite e/o da acquisire durante la tesi): equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE); soluzione numerica di PDE; probabilita' e simulazione stocastica, programmazione in fortran. D. Pasetto, M. Camporese, M. Putti, 2012. Ensemble Kalman filter versus particle filter for a physically-based coupled surface-subsurface model, Adv. Water Resour., DOI:10.1016/j.advwatres.2012.06.009 J. Saetrom and H. Omre, 2011. Ensemble Kalman filtering with shrinkage regression techiniques. Comput. Geosci. 14: 271-292. DOI:10.1007/s10596-010-9196-0 J. Saetrom and H. Omre, 2011. Ensemble Kalman filtering for non-linear likelihood models using kernel-shrinkage regression techniques. Comput. Geosci. 15:529-544. DOI:10.1007/s10596-010-9222-2 - Riduzione dei modelli Il sempre piu' frequente ricorso a tecniche di Data Assimilation e e metodi iterativi di inversione per l'individuazione dei parametri ottimali di modelli basati su equazioni differenziali alle derivate parziali ha portato recentemente ad uno sviluppo intenso di metodi di riduzione dei modelli. L'idea e' di creare un modello "surrogato" di dimensioni assai ridotte e quindi computazionalmente efficiente che approssimi accuratamente la dinamica della soluzione dell'equazione alle derivate parziali originale. Metodi "Proper Orthogonal Decomposition" e "Reduced Basis" si sono dimostrati competitivi, ma ancora sono di difficile applicazione in modelli altamente non lineari. Recentemente, e' stata proposta in letteratura una tecnica (Proper Generalized Decomposition) che usa sistematicamente la separazione delle variabili sia spaziali che temporali e anche nello spazio dei parametri. L'argomento di tesi si propone di analizzare la teoria matematica della Proper Generalized Decomposition e confrontare tale schema con la Proper Orthogonal Decomposition, sia dal punto di vista teorico che pratico, verificano comparativamente tramite simulazioni irdologiche di bacini reali il range di applicabilita' e l'accuratezza delle tecniche PGD e POD in presenza di parametri del modello stocastici. Alcune competenze necessarie (gia' acquisite e/o da acquisire durante la tesi): equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE); soluzione numerica di PDE; probabilita' e simulazione stocastica, programmazione in fortran. F. Chinesta, P. Ladeveze, E. Cueto. 2011. A Short Review on Model Order Reduction Based on Proper Generalized Decomposition. Arch Comput Methods Eng 18:395-404 DOI 10.1007/s11831-011-9064-7 D. Pasetto, M. Putti, W. W-G. Yeh, 2013. A Reduced-Order Model for Groundwater Flow Equation with Random Hydraulic Conductivity: Application to Monte Carlo Methods, Water Resources Research, 49: 3215-3228, doi:10.1002/wrcr.20136