Compitino di Calcolo delle Probabilità del 5 novembre 2003 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Sia (Ω, A, ℙ) uno spazio probabilizzato e X ∈ L^{+}(Ω, A, ℙ). Chiamiamo μ la legge di X, e λ la misura di Lebesgue su ℝ. Definiamo l’insieme

A := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < y < x}

Dimostrare che:

a) A ∈ B(ℝ^{2}).

b) Calcolando la misura (μ ⊗ λ)(A) in due modi diversi, dimostrare che

𝔼[X] = ∫_{0}^{∞} ℙ{X > y} dy

c) Se X è a valori in ℕ, dimostrare che

𝔼[X] = ∑_{n=0}^{∞} ℙ{X > n}

Esercizio 2. Su uno spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ) siano (X_{n})_{n} e (Y_{n})_{n} due processi di Bernoulli indipendenti, rispettivamente di parametri p_{1} e p_{2}; chiamiamo inoltre q_{i} := 1 − p_{i}, per i = 1, 2. Definiamo inoltre

T := inf{n | X_{n} = 1}, U := inf{n | Y_{n} = 1}

Definiamo poi l’evento H := {T < U}.

a) Dimostrare che T e U sono indipendenti, e calcolarne la legge.

b) Calcolare ℙ(H) (suggerimento: calcolare ℙ(H ∩ {T = n}) per n ∈ ℕ^{∗}).

c) Calcolare la legge di T sotto ℙ(· |H) (suggerimento: calcolare ℙ({T = n} |H) per n ∈ ℕ^{∗}; allora …).

Esercizio 3. Sia (λ_{n})_{n} una successione di numeri reali strettamente positivi tendente a +∞. Su un opportuno spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ) sia assegnata per ogni n ≥ 1 una variabile aleatoria X_{n} avente legge di Poisson di parametro λ_{n}, e si ponga

Y_{n} := \frac{X_{n} − λ_{n}}{\sqrt{λ_{n}}}

a) Calcolare la funzione caratteristica di Y_{n}.

b) La successione (Y_{n})_{n} converge in legge? Se sì, qual è la legge limite?

Soluzioni

Esercizio 1. a) A è aperto in ℝ^{2}, quindi è boreliano.

b) La funzione 1_{A} ∈ L^{+}, quindi si può applicare il teorema di Tonelli:

(μ ⊗ λ)(A) = ∫_{ℝ} ∫_{ℝ} 1_{A}(x, y) dμ(x) dy = ∫_{0}^{∞} ∫_{(y,+∞)} dμ(x) dy = ∫_{0}^{∞} μ((y, +∞)) dy =
= ∫_{0}^{∞} ℙ{X > y} dy
= ∫_{ℝ} ∫_{ℝ} 1_{A}(x, y) dy dμ(x) = ∫_{(0,+∞)} ∫_{(0,x)} dy dμ(x) = ∫_{(0,+∞)} x dμ(x) =
= 𝔼[X]

c) Se X è a valori in ℕ, allora ℙ{X > y} = ℙ{X > n} per y ∈ [n, n + 1), e si ha

∫_{0}^{∞} ℙ{X > y} dy = ∫_{0}^{∞} ∑_{n=0}^{∞} ℙ{X > n}1_{[n,n+1)}(y) dy = ∑_{n=0}^{∞} ∫_{n}^{n+1} ℙ{X > n} dy =
= ∑_{n=0}^{∞} ℙ{X > n}

dove si è utilizzato il teorema di integrazione per serie positive.

Esercizio 2.

a) Consideriamo le basi ({T > n})_{n} e ({U > m})_{m}, rispettivamente basi di σ(T) e σ(U).

Si ha che per ogni n, m ∈ ℕ^{∗} si può scrivere:

{T > n} = {X_{1} = … = X_{n} = 0}, {U > m} = {Y_{1} = … = Y_{m} = 0}, e questi due eventi sono indipendenti. Inoltre {T > 0} = {U > 0} = Ω è indipendente da ogni evento. La conclusione è che le due σ-algebre σ(T) e σ(U) sono indipendenti tra di loro per il criterio di indipendenza fondato su due basi, e quindi T e U sono indipendenti. Infine, la loro legge è T ∼ Ge(p_{1}) e U ∼ Ge(p_{2}).

b) Per ogni n ∈ ℕ^{∗} abbiamo:

ℙ(H ∩ {T = n}) = ℙ{T < U, T = n} = ℙ{U > n, T = n} =
= ℙ{T = n}ℙ{U > n} = p_{1}q_{1}^{n−1}q_{2}^{n}

e quindi

ℙ(H) = ∑_{n=1}^{∞} ℙ(H ∩ \{T = n\}) = ∑_{n=1}^{∞} p_{1}q_{2}(q_{1}q_{2})^{n−1} = p_{1}q_{2} ∑_{k=0}^{∞}(q_{1}q_{2})^{k} = \frac{p_{1}q_{2}}{1 − q_{1}q_{2}}

c) Per ogni n ∈ ℕ^{∗} abbiamo:

ℙ(\{T = n\} | H) = \frac{ℙ(\{T = n\} ∩ H)}{ℙ(H)} = (1 − q_{1}q_{2})(q_{1}q_{2})^{n−1}

Questo significa che la legge di T sotto ℙ(· |H) è Ge(q_{1}q_{2}).

Esercizio 3.

a)

φ_{Y_{n}}(t) = φ_{X_{n}−λ_{n}} (\frac{t}{\sqrt{λ_{n}}} ) = φ_{X_{n}} (\frac{t}{\sqrt{λ_{n}}} ) φ_{−λ_{n}} (\frac{t}{\sqrt{λ_{n}}} ) = exp (λ_{n}(e^{i \frac{t}{\sqrt{λn}}} − 1)) e^{−it\sqrt{λ_{n}}}

b) La successione (Y_{n})_{n} converge in legge se e solo se la successione (φ_{Y_{n}})_{n} converge puntualmente su un opportuno insieme. Per ogni t ∈ ℝ abbiamo:

φ_{Y_{n}}(t) = exp (λ_{n} (1 + i\frac{t}{\sqrt{λ_{n}}} − \frac{1}{2} \frac{t^{2}}{λ_{n}} + o(λ_{n}^{−3/2}) − 1) − it\sqrt{λ_{n}}) =
= exp (−\frac{1}{2}t^{2} + λ_{n}o(λ_{n}^{−3/2}))

Per n → ∞, abbiamo λ_{n} → +∞, e quindi λ_{n}o(λ_{n}^{−3/2}) ≃ λ_{n}^{−1/2} → 0. Questo significa che φ_{Y_{n}}(t) → exp(−\frac{1}{2}t^{2}) per ogni t ∈ ℝ, e quindi per il teorema di Paul Levy che Y_{n} ⇀ N(0, 1).

Compitino di Probabilità del 5 novembre 2003 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Hanno superato la prova:

Bettiol Francesca  23,5
Bobbo Alessia  26
Boscardin Antonio 16,5
Carraro Ketty  18
Corso Marta  17
Crisci Maria Grazia 19
Donolato Michele 19
Frigo Nadia  19
Rossin Silvia  19
Salafia Giovanni  28,5
Saletti Gerardo  27
Villani Giovanna  23

Visione compiti: in studio (stanza 126)