Compitino di Calcolo delle Probabilità del 3 dicembre 2003 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Sia (Ω, A, ℙ) uno spazio probabilizzato e (X_{n})_{n} una successione di variabili aleatorie reali di legge X_{n} ∼ Γ(n, λ), con λ > 0. Dimostrare che:

a) Dimostrare che \frac{X_{n}}{n} ⟶^{ℙ} \frac{1}{λ}.

b) Dimostrare che ℙ\{\frac{X_{n}}{n} > \frac{1}{λ}\} = \frac{1}{2}.

Suggerimento per entrambi i punti: se consideriamo una successione (Z_{n})_{n} di variabili aleatorie i.i.d. di legge Exp(λ), allora Z_{1} + … + Z_{n} ha la stessa legge di X_{n}. Allora …

Esercizio 2. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, entrambe di legge N(0, σ^{2}), con σ^{2} > 0. Calcolare la legge condizionale di X rispetto a X + Y.

Esercizio 3. Sia X = (X_{n})_{n} un processo stocastico tale che (X_{n})_{n} ⊂ L^{1} e per ogni n ∈ ℕ^{∗},

𝔼[X_{n+1} | F_{n}] = aX_{n} + (1 − a)X_{n−1}

dove (F_{n})_{n} è la filtrazione naturale di X, e a ∈ (0, 1). Per ogni n ≥ 1 definiamo S_{n} := αX_{n} + X_{n−1}.

a) Dimostrare che S_{n} ∈ L^{1} per ogni n ≥ 1.

b) Determinare α tale che S sia una martingala rispetto a (F_{n})_{n}.

Soluzioni

Esercizio 1.

a) In realtà questo punto si può fare anche senza il suggerimento, in altri due modi. Il primo è fare i conti direttamente come nella dimostrazione della legge debole di Rajchmann: per ogni δ > 0 si ha che

ℙ \{|\frac{X_{n}}{n} − \frac{1}{λ}| > δ\} = ℙ \{|X_{n} − \frac{n}{λ}| > δn\} ≤ \frac{Var [X_{n}]}{δ^{2}n^{2}} = \frac{1}{λ^{2}δ^{2}n}

che per n → ∞ converge a 0.

Il secondo modo usa il fatto che, se il limite è una costante, la convergenza in legge e la convergenza in probabilità sono equivalenti. Per il teorema di Paul Levy, basta allora dimostrare la convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche alla funzione caratteristica. Si ha che

φ_{X_{n}/n}(t) = φ_{X_{n}} (\frac{t}{n}) = (\frac{1}{1 − \frac{it}{nλ}} )^{n} = (1 + \frac{it}{nλ} + o (\frac{1}{n}))^{n} → e^{it \frac{1}{λ}}

che è la funzione caratteristica della costante \frac{1}{λ}, e si ha la tesi.

Vediamo ora come si può giungere allo stesso risultato usando il suggerimento. Bisogna dimostrare che per ogni δ > 0, ℙ\{|\frac{X_{n}}{n} − \frac{1}{λ}| > δ\} → 0 per n → ∞. Allora, se consideriamo le variabili (Z_{n})_{n} del suggerimento, abbiamo che

ℙ \{|\frac{X_{n}}{n} − \frac{1}{λ}| > δ\} = ℙ \{|\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i} − \frac{1}{λ}| > δ\} → 0

per la legge debole dei grandi numeri (qui sono verificate sia le ipotesi di Rajchmann che quelle di Kolmogorov-Khintchine), poichè 𝔼[Z_{1}] = \frac{1}{λ}.

b) Sfruttando ancora il suggerimento, si ha che

ℙ \{\frac{X_{n}}{n} > \frac{1}{λ}\} = ℙ \{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i} − \frac{1}{λ} > 0\} = ℙ \{\frac{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i} − \frac{1}{λ}}{Var [\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i}]} > 0\} → N(0) = \frac{1}{2}

dove la conclusione segue dal teorema limite centrale.

Esercizio 2. Questo esercizio si può fare in due modi, che portano entrambi allo stesso risultato. Il modo più meccanico è quello di calcolare la legge congiunta del vettore (X, X+Y) ed applicare la formula vista a lezione. Sappiamo che il vettore (X, Y) ha densità congiunta f_{XY} (x, y) = \frac{1}{2πσ^{2}} exp(−\frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{σ^{2}} + \frac{y^{2}}{σ^{2}} )) rispetto alla misura di Lebesgue bidimensionale λ_{2}. Allora il vettore aleatorio (X, X + Y) si ottiene tramite il diffeomorfismo φ(x, y) := (x, x + y) =: (x, z), che è tale che | det Dφ^{−1}| ≡ 1 e φ^{−1}(x, z) = (x, y) = (x, z − x). Allora la densità congiunta del vettore (X, X + Y) rispetto a λ_{2} è data da

f_{XZ}(x, z) = f_{XY} (φ^{−1}(x, z))| det Dφ^{−1}(x, z)| = \frac{1}{2πσ^{2}} exp (−\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{σ^{2}} + \frac{(z − x)^{2}}{σ^{2}} ))

Una versione della densità marginale di X + Y è

\frac{1}{\sqrt{4πσ^{2}}} exp (−\frac{1}{2} \frac{z^{2}}{2σ^{2}} )

(ricordiamo che X + Y ∼ N(0, 2σ^{2})). Per la formula vista a lezione, una versione della legge condizionale di X rispetto a X + Y è data dalla famiglia (ν_{z})_{z>0}, dove ν_{z} ha densità, rispetto alla misura di Lebesgue sulla retta, pari a

\begin{matrix}\frac{1}{2πσ^{2}} & exp & (−\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{σ^{2}} + \frac{(z−x)^{2}}{σ^{2}} )) \\ \frac{1}{\sqrt{4πσ^{2}}} & exp & (−\frac{1}{2} \frac{z^{2}}{2σ^{2}} ) \end{matrix} = \frac{1}{\sqrt{πσ^{2}}} exp (−\frac{1}{2} \frac{(x − \frac{z}{2})^{2}}{σ^{2}/2} )

che è la densità di una legge normale N(\frac{z}{2}, \frac{σ^{2}}{2} ). Il secondo modo è il seguente: per ogni f : ℝ^{2} → ℝ^{+} misurabile, ricordando che X + Y ∼ N(0, 2σ)) e raccogliendo la sua densità, si ha:

𝔼[f(X, X + Y)] = ∫∫_{ℝ^{2}} f(x, x + y)\frac{1}{2πσ^{2}} exp (−\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{σ^{2}} + \frac{y^{2}}{σ^{2}} )) dx dy =
= ∫_{ℝ} ∫_{ℝ} f(x, z)\frac{1}{2πσ^{2}} exp (−\frac{1}{2} \frac{x^{2} + (z − x)^{2}}{σ^{2}} ) dx dz =
= ∫_{ℝ} (∫_{ℝ} f(x, z)\frac{1}{\sqrt{πσ^{2}}} exp (−\frac{1}{2} \frac{(x − \frac{z}{2})^{2}}{σ^{2}/2} ) dx) \frac{1}{\sqrt{4πσ^{2}}} exp (−\frac{1}{2} \frac{z^{2}}{2σ^{2}} ) dz

Anche qui si ricava che X ha legge normale N(\frac{X+Y}{2} , \frac{σ^{2}}{2} ) condizionatamente a X + Y.

Esercizio 3.

a) Per ogni n ∈ ℕ^{∗} calcoliamo:

∥S_{n}∥_{1} ≤ |α| · ∥X_{n}∥_{1} + ∥X_{n−1}∥_{1} < +∞

e quindi S_{n} ∈ L^{1}.

b) Per ogni n ∈ ℕ^{∗} abbiamo:

𝔼[S_{n+1} | F_{n}] = 𝔼[αX_{n} + X_{n−1} | F_{n}] = α(aX_{n} + (1 − a)X_{n−1}) + X_{n} =
= (αa + 1)X_{n} + α(1 − a)X_{n−1}

Se vogliamo che questa quantità sia uguale a S_{n} = αX_{n} + X_{n−1}, dobbiamo avere che

\{ \begin{matrix}αa + 1 = α \\ α(1 − a) = 1 \end{matrix}

che è possibile se e solo se α = \frac{1}{1−a}.

Compitino di Probabilità del 3 dicembre 2003 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

5/11 3/12 Media
Bettiol Francesca  23,5 31 27
Bobbo Alessia  26 32 29
Boscardin Antonio 16,5 21 20
Carraro Ketty  18 22,5 20
Crisci Maria Grazia 19 21 20
Donolato Michele 19 22 20,5
Frigo Nadia  19 30 24,5
Rossin Silvia  19 16 17,5
Salafia Giovanni  28,5 26 27
Saletti Gerardo  27 20 23,5
Villani Giovanna  23 32 27,5

Visione compiti e orali: giovedì 4 ore 10.00 in studio (stanza 126)