Compitino di Calcolo delle Probabilità del 9 novembre 2005 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria reale quasi certamente finita definita sullo spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ). Dimostrare che:

a) lim_{t→+∞} ℙ{|X| > t} = 0

b) Se X_{n} →^{ℙ} X e g : ℝ → ℝ è una funzione continua, allora g(X_{n}) →^{ℙ} g(X).

Esercizio 2. Due giocatori A e B dispongono di un’urna contenente r palline rosse e b palline bianche. Essi giocano una successione di partite, ciascuna delle quali consiste in un’estrazione (con rimessa) eseguita dal giocatore A, e in un’analoga operazione eseguita dal giocatore B. Il gioco si arresta non appena si giunga a una partita con risultati diversi per i due giocatori: vince allora 1 Euro il giocatore che, in questa partita, abbia estratto pallina rossa.

a) Si definiscano, su un opportuno spazio probabilizzato, due variabili aleatorie N, V che rappresentino rispettivamente la durata del gioco (ossia il numero di partite giocate) e la vincita di A (espressa in Euro).

b) Calcolare la legge di N.

c) Calcolare la legge di V.

d) Dimostrare che V è indipendente da N.

Esercizio 3. Sia (X_{n})_{n} una successione di variabili aleatorie i.i.d. di legge N(0, 1), e si ponga S_{n} := X_{1} + … + X_{n}. Sia inoltre α un fissato numero reale. Utilizzando l’uguaglianza

∑_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

a) Si dica che legge ha S_{1} + … + S_{n}.

b) Si calcoli la funzione caratteristica di \frac{S_{1}+...+S_{n}}{n^{α}}.

c) Dire per quali α ∈ ℝ la variabile aleatoria \frac{S_{1}+...+S_{n}}{n^{α}} converge in legge, e calcolarne il limite.

Soluzioni

Esercizio 1.

a) Innanzitutto notiamo che se s < t, allora {|X| > s} ⊇ {|X| > t}, e quindi ℙ{|X| > s} ≥ ℙ{|X| > t}. Abbiamo quindi

lim_{t→+∞} ℙ{|X| > t} ≤ lim_{t→+∞} ℙ{|X| > [t]} = lim_{n→∞} ℙ{|X| > n} =
= ℙ (⋂_{n=1}^{∞}{|X| > n}) = ℙ{|X| = +∞} = 0

dove si è usata la continuità dall’alto della probabilità, e [t] indica la parte intera di t.

b) Il punto a) significa che per ogni η > 0 esiste M > 0 tale che ℙ{|X| > M} < η. Siccome g è continua, allora è uniformemente continua sull’intervallo [−M, M], quindi per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che |x − y| < δ implica |g(x) − g(y)| < ε per ogni x, y ∈ [−M, M]. Allora per ogni ε > 0 si ha che

ℙ{|g(X_{n}) − g(X)| > ε} ≤ ℙ({|X_{n} − X| > δ} ∪ {|X| > M}) ≤
≤ ℙ{|X_{n} − X| > δ} + ℙ{|X| > M} ≤ ℙ{|X_{n} − X| > δ} + η

Ma il primo addendo, per n → ∞, tende a zero, quindi

lim_{n→∞} ℙ{|g(X_{n}) − g(X)| > ε} ≤ η

Siccome questo succede per ogni η > 0 arbitrario, segue la tesi.

Esercizio 2.

a) Possiamo rappresentare le estrazioni dei due giocatori con due processi di Bernoulli (X_{n})_{n} e (Y_{n})_{n} indipendenti, entrambi di parametro p := r/(b + r), in cui il risultato “1” rappresenta l’estrazione della pallina rossa. Allora possiamo definire:

N := min{n | X_{n} ≠ Y_{n}}, V := X_{N}

b) La variabile aleatoria N può assumere solo valori interi positivi. Per ogni k ∈ ℕ^{∗} abbiamo

ℙ{N = k} = ℙ{X_{1} = Y_{1}, …, X_{k−1} = Y_{k−1}, X_{k} ≠ Y_{k}} =
= ℙ{X_{1} = Y_{1}} × … × ℙ{X_{k−1} = Y_{k−1}} × ℙ{X_{k} ≠ Y_{k}}

dove si è utilizzata l’indipendenza delle variabili aleatorie (X_{n})_{n} e (Y_{n})_{n}. Si ha poi, per ogni n ∈ ℕ^{∗}:

ℙ\{X_{n} = Y_{n}\} = ℙ\{X_{n} = Y_{n} = 0\} + ℙ\{X_{n} = Y_{n} = 1\} = p^{2} + (1 − p)^{2} = \frac{r^{2} + b^{2}}{(r + b)^{2}}

e di conseguenza ℙ\{X_{n} ≠ Y_{n}\} = \frac{2rb}{(r+b)^{2}} . Allora ℙ\{N = k\} = (1 − q)^{k−1}q, dove q := \frac{2rb}{(r+b)^{2}} . N ha quindi legge geometrica di parametro q. c,d) Per risolvere questi due punti è sufficiente calcolare la legge congiunta di (V, N): sic-

come V può assumere solo i valori 0 e 1, abbiamo:

ℙ{V = 0, N = k} = ℙ{X_{N} = 0, N = k} = ℙ{X_{k} = 0, N = k} =
= ℙ{X_{1} = Y_{1}, …, X_{k−1} = Y_{k−1}, X_{k} = 0 ≠ Y_{k}} =
= ℙ{X_{1} = Y_{1}, …, X_{k−1} = Y_{k−1}, X_{k} = 0, Y_{k} = 1} =
= ℙ{X_{1} = Y_{1}} × … × ℙ{X_{k−1} = Y_{k−1}} × ℙ{X_{k} = 0} × ℙ{Y_{k} = 1} =
= (1 − q)^{k−1} \frac{br}{(r + b)^{2}} = \frac{1}{2}q(1 − q)^{k−1}

e di conseguenza

ℙ\{V = 1, N = k\} = ℙ\{N = k\} − ℙ\{V = 0, N = k\} = (1 − q)^{k−1}q − (1 − q)^{k−1} \frac{br}{(r + b)^{2}} =
= (1 − q)^{k−1} \frac{br}{(r + b)^{2}} = \frac{1}{2}q(1 − q)^{k−1}

quindi la legge congiunta è fattorizzabile in una legge geometrica di parametro p e una legge di Bernoulli di parametro 1/2. Quindi V ∼ Be(1/2) ed è indipendente da N.

Esercizio 3.

a) Possiamo scrivere S_{1} + … + S_{n} in questo modo:

∑_{i=1}^{n} S_{i} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{i} X_{j} = ∑_{j=1}^{n}(n − j + 1)X_{j}

e questa è una somma di gaussiane indipendenti. Allora S_{1} + … + S_{n} è gaussiana di media

E[S_{1} + … + S_{n}] = ∑_{j=1}^{n}(n − j + 1)E[X_{j}] = 0

e varianza

Var [S_{1} + … + S_{n}] = ∑_{j=1}^{n}(n − j + 1)^{2}Var [X_{j}] = ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

b) Calcoliamo

φ_{∑_{i=1}^{n} S_{i}/n^{α}}(t) = φ_{∑_{i=1}^{n} S_{i}} (\frac{t}{n^{α}} ) = exp (−\frac{1}{2} · \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\frac{t^{2}}{n^{2α}} ) =
= exp (−\frac{(n + 1)(2n + 1)}{12n^{2α−1}}t^{2})

c) Per n grande, abbiamo

φ_{∑_{i=1}^{n} S_{i}/n^{α}}(t) ≃ exp (−\frac{1}{6n^{2α−3}} t^{2})

quindi, utilizzando il teorema di Paul Levy, si ha:

– per α = 3/2, si ha convergenza in legge verso N(0, \frac{1}{3});

– per α > 3/2, si ha convergenza in legge verso δ_{0};

– per α < 3/2, non si ha convergenza in legge.

Compitino di Probabilità del 9 novembre 2005 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Risultati (in trentesimi):

Albertini Ilaria  4
Bettanini Jacopo  4
Carraro Ketty  13
Catalano Michela  13,5
Corso Marta  2
Danzi Silvia  22
Darriba Pol Laura  12
De Rossi Giulia  17
Dünnhofer Davide  5
Filippi Daniela  5
Galesso Giorgia  10
Garrell Zulueta Anais 14
Marchioni Marcello  14
Marcigot Wally  7
Meneghini Daniele  3
Porcellato Claudia  0
Ramo Valentina  15
Rosestolato Mauro  25,5
Rossignolo Eleonora 6
Spimpolo Doris  6
Villarrubias Gemma 10,5

Visione compiti: in studio (stanza 126)