Esame di Calcolo delle Probabilità mod. B del 9 settembre 2003 (Corso di Laurea in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1.

a) Supponiamo che X_{n} ∼ P o(n); dimostrare che

Y_{n} := \frac{X_{n} − 𝔼[X_{n}]}{\sqrt{Var [X_{n}]}} ⇀ N(0, 1)

(suggerimento: usare le funzioni caratteristiche)

b) Usando il punto a), dimostrare che

e^{−n} (1 + n + \frac{n}{2} + … + \frac{n^{n}}{n!} ) → \frac{1}{2}

Esercizio 2. Siano (X_{n})_{n} variabili aleatorie tali che Var [X_{n}] < c per ogni n ∈ ℕ e per qualche c ∈ ℝ^{+}. Mostrare che (X_{n})_{n} soddisfa la legge debole dei grandi numeri, nel senso che ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − 𝔼[X_{i}])/n converge in probabilità a 0, se il coefficiente di correlazione, definito da

ρ(X_{i}, X_{j}) := \frac{Cov (X_{i}, X_{j})}{\sqrt{Var [X_{i}]Var [X_{j}]}}

soddisfa una delle due relazioni a) ρ(X_{i}, X_{j}) ≤ 0 per ogni i ≠ j;

b) ρ(X_{i}, X_{j}) → 0 per |i − j| → ∞ (suggerimento: ricordarsi come si dimostra la legge debole per variabili aleatorie scorrelate).

Esercizio 3. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, rispettivamente di legge P o(λ) e P o(μ), con λ, μ > 0. Calcolare la legge condizionale di X rispetto a X + Y.

Esercizio 4. Due giocatori, A e B, giocano a testa o croce con una moneta “truccata” tale che ad ogni lancio ℙ{testa} = p, ℙ{croce} = q, p + q = 1. Ad ogni “testa” il giocatore A vince 1 Euro dal giocatore B, e viceversa ad ogni “croce”. Chiamiamo a e b i capitali iniziali rispettivamente dei giocatore A e B, e X_{n} il capitale del giocatore A dopo l’n-esimo lancio (quindi X_{0} = a). Il gioco termina quando X_{n} = 0 o X_{n} = a + b, cioè quando uno dei due giocatori è al verde (dopo di allora, i giocatori possono continuare a giocare, ma senza effetti sui rispettivi capitali). Il giocatore B è sempre disposto a giocare, mentre il giocatore A può decidere quando smettere.

1. Dimostrare che (X_{n})_{n} è una catena di Markov; specificare spazio degli stati, legge iniziale e matrice di transizione (suggerimento: la matrice di transizione è della forma

P = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & … & … & … & 0 \\ q & 0 & p & 0 & … & … & 0 \\ 0 & q & 0 & p & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & q & 0 & p & 0 \\ 0 & … & … & 0 & q & 0 & p \\ 0 & … & … & … & … & 0 & 1 \end{matrix} )

2. Supponiamo che A possa giocare al massimo N volte e voglia massimizzare la sua vincita attraverso il funzionale 𝔼[γ^{τ}X_{τ}], dove γ ∈ (0, 1) è un “tasso di sconto” (più passa il tempo, meno vale la vincita), e τ è il tempo di arresto che rappresenta l’istante in cui A smette di giocare. Trovare il massimo del funzionale ed un tempo di arresto ottimale con il consueto algoritmo

V_{N}(x) = φ(x)
V_{n−1}(x) = max(φ(x), γ(P V_{n})(x))

nel caso in cui p ≤ q.

Soluzioni

Esercizio 1.

a) Per le regole di calcolo delle funzioni caratteristiche, per ogni t ∈ ℝ si ha:

φ_{Y_{n}}(t) = φ_{X_{n}−n}(\frac{t}{\sqrt{n}}) = φ_{X_{n}}(\frac{t}{\sqrt{n}})φ_{−n}(\frac{t}{\sqrt{n}}) = exp (n(e^{i \frac{t}{\sqrt{n}}} − 1) exp (−i\frac{t}{\sqrt{n}}n)

Dato che dobbiamo calcolare il limite per n → ∞, sviluppiamo in serie l’esponenziale interno:

φ_{Y_{n}}(t) = exp (n(1 + i\frac{t}{\sqrt{n}} − \frac{1}{2} \frac{t^{2}}{n} + o(\frac{1}{n}) − 1 − it\sqrt{n}) =
= exp (−\frac{1}{2}t^{2} + o(\frac{1}{n}))

Facendo il limite per n → ∞, si ottiene exp(−\frac{1}{2}t^{2}), che è la funzione caratteristica di una legge N(0, 1). La tesi segue dal fatto che la convergenza in legge è equivalente alla convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.

b) La somma da calcolare al primo membro non è altro che ℙ{X_{n} ≤ n}. Abbiamo quindi:

ℙ{X_{n} ≤ n} = ℙ{X_{n} − n ≤ 0} = ℙ{Y_{n} ≤ 0}

Dato che la convergenza in legge è equivalente alla convergenza delle funzioni di ripartizione in ogni punto di continuità della funzione di ripartizione della legge limite, si ha

ℙ\{X_{n} ≤ n\} = ℙ\{Y_{n} ≤ 0\} → ℙ\{Y ≤ 0\} = \frac{1}{2}

dove Y è una qualunque variabile aleatoria di legge N(0, 1).

Esercizio 2. Usando la diseguaglianza di Chebicev, abbiamo che per ogni δ > 0

ℙ \{|\frac{∑_{i=1}^{n}(X_{i} − 𝔼[X_{i}])}{n}| > δ\} = ℙ \{|∑_{i=1}^{n}(X_{i} − 𝔼[X_{i}])| > δn\} ≤

≤ \frac{Var [∑_{i=1}^{n} X_{i}]}{δ^{2}n^{2}} = \frac{∑_{i=1}^{n} Var [X_{i}] + 2 ∑_{i<j} Cov (X_{i}, X_{j})}{δ^{2}n^{2}} ≤ \frac{c}{δ^{2}n} + \frac{2 ∑_{i<j} Cov (X_{i}, X_{j})}{δ^{2}n^{2}}

a) Se ρ(X_{i}, X_{j}) < 0, allora anche Cov (X_{i}, X_{j}) < 0, e si ha:

ℙ \{|\frac{∑_{i=1}^{n}(X_{i} − 𝔼[X_{i}])}{n}| > δ\} ≤ \frac{c}{δ^{2}n} → 0

b) L’ipotesi significa che per ogni ε ∈ ℝ esiste I ∈ ℕ tale che |i−j| > I implica ρ(X_{i}, X_{j}) < ε, e quindi Cov (X_{i}, X_{j}) ≤ εc. Ricordiamo che in ogni caso ρ(X_{i}, X_{j}) < 1, quindi Cov (X_{i}, X_{j}) ≤ c. Allora

ℙ \{|\frac{∑_{i=1}^{n}(X_{i} − 𝔼[X_{i}])}{n}| > δ\} ≤

≤ \frac{c}{δ^{2}n} + 2\frac{∑_{i<j,|i−j|>I} Cov (X_{i}, X_{j})}{δ^{2}n^{2}} + 2\frac{∑_{i<j,|i−j|≤I} Cov (X_{i}, X_{j})}{δ^{2}n^{2}} ≤
≤ \frac{c}{δ^{2}n} + \frac{n(n − 1)εc}{δ^{2}n^{2}} + 2\frac{nIC}{δ^{2}n^{2}} → \frac{εc}{δ^{2}}

Siccome ε può essere preso piccolo a piacere, si ha la tesi.

Esercizio 3. Sappiamo che X + Y ∼ P o(λ + μ). Poichè X + Y ha legge discreta, l’unica versione della legge condizionale di X rispetto a X + Y sarà data dalla disintegrazione (ν_{z})_{z}, dove

ν_{z}(B) = ℙ{X ∈ B | X + Y = z}

Poichè anche X ha legge discreta, per caratterizzare (ν_{z})_{z} è sufficiente calcolare le quantità

ν_{z}(\{k\}) = ℙ\{X = k | X + Y = z\} = \frac{ℙ\{X = k, X + Y = z\}}{ℙ\{X + Y = z\}} =

= \frac{ℙ\{X = k, Y = z − k\}}{ℙ\{X + Y = z\}} = \frac{e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−μ} \frac{μ^{z−k}}{(z−k)!}}{e^{−λ−μ} \frac{(λ+μ)^{z}}{z!}} =

= \frac{z!λ^{k}μ^{z−k}}{k!(z − k)!(λ + μ)^{z}} = \binom{z}{k}p^{k}(1 − p)^{z−k}

dove abbiamo posto p := \frac{λ}{λ+μ}. Si ha quindi che la legge di X condizionata a X + Y è una legge binomiale di parametri X + Y è \frac{λ}{λ+μ}.

Esercizio 4.

a) Consideriamo le variabili aleatorie Y_{n} i.i.d. di legge discreta ℙ{Y_{n} = 1} = p, ℙ{Y_{n} = −1} = q, con l’interpretazione che Y_{n} = 1 se e solo se A vince all’estrazione n-esima. Se definiamo Z_{n} := a + ∑_{i=1}^{n} Y_{n} e τ := inf{n ≥ 1 | Z_{n} = 0 o Z_{n} = a + b}, allora possiamo definire X_{n} := Z_{n∧τ} ed avere l’interpretazione del testo. Dalla definizione, X_{n} può assumere i valori interi da 0 ad a+b, quindi lo spazio degli stati è E = {0, 1, …, a+b}. Abbiamo poi che ℙ{X_{0} = x_{0}} = ℙ{a = x_{0}} = δ_{a}(x_{0}), quindi la legge iniziale è δ_{a}. Per calcolare la matrice di transizione, bisogna distinguere due casi. Se X_{n} = 0 o X_{n} = a + b, allora sicuramente τ ≤ n, quindi X_{n+1} = Z_{τ} = X_{n} ℙ-q.c., e abbiamo la prima e l’ultima riga della matrice P. Se invece X_{n} ≠ 0, a+b, allora sicuramente τ > n e si ha

ℙ{X_{n+1} = x_{n+1} | X_{n} = x_{n}} = ℙ{Z_{n} + V_{n+1} = x_{n+1} | Z_{n} = x_{n}} =

= \frac{ℙ\{Z_{n} = x_{n}, V_{n+1} = x_{n+1} − x_{n}\}}{ℙ\{Z_{n} = x_{n}\}}

Siccome Z_{n} e V_{n+1} sono indipendenti, si ha

ℙ\{X_{n+1} = x_{n+1} | X_{n} = x_{n}\} = ℙ\{V_{n+1} = x_{n+1} − x_{n}\} = \{ \begin{matrix}p & se x_{n+1} = x_{n} + 1 \\ q & se x_{n+1} = x_{n} − 1 \end{matrix}

e si ottengono tutte le righe di P che mancano.

b) In questo caso abbiamo che φ è la funzione identica (che indichiamo con I(x) := x). Allora

(P V_{N})(x) = (P I)(x) ∑_{y=0}^{a+b} yP_{xy} = \{ \begin{matrix}1 · 0 = 0 & se x = 0 \\ 1 · (a + b) = a + b & se x = a + b \\ p(x + 1) + q(x − 1) = x + p − q & se x ≠ 0, a + b \end{matrix}

Siccome p ≤ q, si ha che x + p − q ≤ x, quindi (P I)(x) ≤ x, e di conseguenza anche γ(P I)(x) ≤ x = I(x). Allora abbiamo che V_{N−1}(x) = I(x), e per induzione si può dimostrare che V_{n}(x) = I(x) per ogni n = N, …, 0. Allora si ha che il massimo del funzionale 𝔼[γ^{τ}X_{τ}] si raggiunge in τ̂ := inf{n ≤ N | V_{n}(X_{n}) = φ(X_{n})} ≡ 0, e vale 𝔼[γ^{0}X_{0}] = V_{0}(X_{0}) = a.

L’interpretazione del punto b) è che se A vuole massimizzare la vincita “deprezzando” il ritardo e la probabilità p di vincere una singola scommessa è minore della probabilità q di perderla, allora per lui è ottimale non iniziare nemmeno a giocare e tenersi il capitale iniziale!

Esame di Probabilità mod. B del 9 settembre 2003 (Corso di Laurea in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Callegaro Giorgia 20

Visione compiti e orali: giovedi’ 11 settembre ore 10.00 nel mio studio