Esame di Calcolo delle Probabilità del 15 dicembre 2003 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Consideriamo un processo di Bernoulli (X_{n})_{n} di parametro p, e per un h ∈ ℕ^{∗} consideriamo l’elemento (x_{1}, …, x_{h}) ∈ {0, 1}^{h}. Vogliamo dimostrare che la probabilità che nel processo di Bernoulli X prima o poi “esca” la stringa (x_{1}, …, x_{h}) è 1. Per ogni n ∈ ℕ definiamo

A_{n} := {X_{n+1} = x_{1}, …, X_{n+h} = x_{h}}

e definiamo poi per ogni n ∈ ℕ^{∗} le variabili aleatorie Z_{n} := 1_{A_{(n−1)h}}. Dimostrare che:

a) Z è un processo di Bernoulli di parametro p^{S}(1 − p)^{h−S}, dove S := ∑_{i=1}^{h} x_{i}.

b)

ℙ{∃n ∈ ℕ tale che X_{n+1} = x_{1}, …, X_{n+h} = x_{h}} = ℙ (⋃_{n=0}^{∞} A_{n})

c)

ℙ (⋂_{n=1}^{∞} A_{(n−1)h}^{c}) = 0

d) ℙ{∃n ∈ ℕ tale che X_{n+1} = x_{1}, …, X_{n+h} = x_{h}} = 1.

Esercizio 2. Preso un K ∈ ℕ^{∗}, diciamo che la variabile aleatoria U ha legge uniforme su {0, …, K − 1} se

ℙ\{U = k\} = \frac{1}{K} per ogni k = 0, …, K − 1

Fissato un K ∈ ℕ^{∗}, consideriamo ora una successione di variabili aleatorie (U_{n})_{n} i.i.d. di legge uniforme su {0, …, K − 1}, e costruiamo, per ogni n ≥ 1, la variabile aleatoria

X_{n} := ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{K^{j}} U_{j}

a) Dimostrare che

φ_{U_{n}}(t) = \frac{1}{K} \frac{1 − e^{itK}}{1 − e^{it}}

b) Calcolare la funzione caratteristica di X_{n}.

c) Dedurne che la variabile aleatoria K^{n}X_{n} ha legge uniforme su {0, …, K^{n} − 1}.

d) Dimostrare che X_{n} ⇀ U(0, 1) (la “solita” legge uniforme sull’intervallo (0, 1)).

e) Dimostrare che in effetti la convergenza è quasi certa, nel senso che esiste lim_{n→∞} X_{n} =: X, che ha legge U(0, 1) (suggerimento: dimostrare che (X_{n})_{n} è una successione crescente).

Esercizio 3. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, entrambe di legge Ge(p), con p ∈ (0, 1). Calcolare la legge di X + Y e la legge condizionale di X rispetto a X + Y.

Esercizio 4. Consideriamo una successione di variabili aleatorie (X_{n})_{n≥1} i.i.d. di legge ℙ{X_{n} = 1} = ℙ{X_{n} = −1} = 1/2, e per ogni n ∈ ℕ^{∗} definiamo i processi

S_{n} := a + ∑_{i=1}^{n} X_{i}, S_{0} := a,
M_{n} := ∑_{i=0}^{n} S_{i} − \frac{1}{3}S_{n}^{3}

e la variabile aleatoria

T := inf{n | S_{n} = 0 o S_{n} = K},

dove a, K ∈ ℕ, 0 < a < K.

a) Dimostrare che S è una martingala.

b) Dimostrare che M è una martingala.

c) Dimostrare che T è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione naturale di X.

d) Supponendo che T < +∞ q.c. e che 𝔼[M_{n∧T}] ⟶^{n→∞} 𝔼[M_{T}], dimostrare che

𝔼 [∑_{i=0}^{T} S_{i}] ≤ \frac{1}{3}(K^{3} − a^{3}) + a

Soluzioni

Esercizio 1.

a) le (Z_{n})_{n} sono indipendenti, poichè per ogni n, Z_{n} dipende solo da X_{(n−1)h+1}, …, X_{nh}.

Inoltre Z_{n} assume valori in {0, 1}, e

ℙ{Z_{n} = 1} = ℙ(A_{(n−1)h}) = ℙ{X_{(n−1)h+1} = x_{1}, …, X_{nh} = x_{h}} = p^{S}(1 − p)^{h−S} b) se esiste n tale che X_{n+1}(ω) = x_{1}, …, X_{n+h}(ω) = x_{h}, allora ω ∈ A_{n}, e viceversa. Allora

ℙ{ω | ∃n tale che X_{n+1}(ω) = x_{1}, …, X_{n+h}(ω) = x_{h}} =

= ℙ{ω | ∃n tale che ω ∈ A_{n}} = ℙ {ω | ω ∈ ⋃_{n=0}^{∞} A_{n}} = ℙ (⋃_{n=0}^{∞} A_{n})

c) Per il punto a) si ha:

ℙ (⋂_{n=1}^{∞} A_{(n−1)h}^{c}) = ℙ (⋂_{n=1}^{∞}{Z_{n} = 0}) = lim_{N→∞} ℙ (⋂_{n=1}^{N}{Z_{n} = 0}) =
= lim_{N→∞} ∏_{n=1}^{N} ℙ{Z_{n} = 0} = lim_{N→∞}(1 − p^{S}(1 − p)^{h−S})^{N} = 0

d) Per il punto b), la probabilità da calcolare è

ℙ (⋃_{n=0}^{∞} A_{n}) ≥ ℙ (⋃_{n=1}^{∞} A_{(n−1)h}) = 1 − ℙ (⋂_{n=1}^{∞} A_{(n−1)h}^{c}) = 1 − 0 = 1

Esercizio 2. a) Usando la definizione di funzione caratteristica, si ha

φ_{U_{n}}(t) = 𝔼[e^{itU_{n}}] = \frac{1}{K} ∑_{n=0}^{k−1} e^{itn} = \frac{1}{K} \frac{1 − e^{itK}}{1 − e^{it}}

b) Calcoliamo

φ_{X_{n}}(t) = φ_{∑ K^{−j}U_{j}}(t) = ∏_{j=1}^{n} φ_{U_{j}} (\frac{t}{K^{j}} ) = ∏_{j=1}^{n} \frac{1}{K} \frac{1 − e^{i \frac{t}{K^{j−1}}}}{1 − e^{i \frac{t}{K^{j}}}} = \frac{1}{K^{n}} \frac{1 − e^{it}}{1 − e^{i \frac{t}{K^{n}}}}

dove per l’ultima uguaglianza si è sfruttato il fatto che il prodotto è un prodotto telescopico.

c)

φ_{K^{n}X_{n}}(t) = \frac{1}{K^{n}} \frac{1 − e^{itK^{n}}}{1 − e^{it}}

da cui si deduce la tesi. d) Sviluppando in serie l’esponenziale al denominatore, per ogni t ∈ ℝ si ottiene

φ_{X_{n}}(t) = \frac{1}{K^{n}} \frac{1 − e^{it}}{1 − 1 − i\frac{t}{K^{n}} − o(K^{−n})} ⟶^{n→∞} \frac{e^{it} − 1}{it}

Poichè il limite puntuale è la funzione caratteristica di una legge uniforme U(0, 1), per il teorema di Paul Levy questo è equivalente alla tesi

e) Poichè per ogni n ∈ ℕ^{∗}, X_{n+1}−X_{n} = \frac{U_{n+1}}{K^{n+1}} ≥ 0 q.c., da questo si ricava che (X_{n})_{n} è una successione q.c. (non de)crescente. Inoltre è q.c. limitata dalla costante 1, quindi q.c. esiste lim_{n→∞} X_{n}, che chiamiamo X. In altre parole, X_{n} ⟶^{q.c.} X. Dato che X_{n} ⇀ X, si ha che X deve avere legge U(0, 1).

Esercizio 3. Per ogni k ∈ ℕ^{∗} calcoliamo:

ℙ{X + Y = k} = ∑_{n=1}^{k−1} ℙ{X + Y = k, X = n} = ∑_{n=1}^{k−1} ℙ{Y = k − n}ℙ{X = n} =

= ∑_{n=1}^{k−1} p(1 − p)^{n−1}p(1 − p)^{k−n−1} = p^{2} ∑_{n=1}^{k−1}(1 − p)^{k−2} =
= (k − 1)p^{2}(1 − p)^{k−2}

Siccome X + Y è una variabile aleatoria discreta, per la teoria svolta durante il corso l’unica versione della legge condizionale di X rispetto a X + Y è quella data dalla disintegrazione:

ν_{z}(B) := ℙ{X ∈ B | X + Y = z} ∀z ∈ ℕ^{∗}, B ⊆ ℕ^{∗}

Per caratterizzarla, basta calcolare per ogni z ∈ ℕ^{∗}, k = 1, …, z − 1 la quantità

ℙ\{X = k | X + Y = z\} = \frac{ℙ\{X = k, X + Y = z\}}{ℙ\{X + Y = z\}} = \frac{ℙ\{X = k, Y = z − k\}}{ℙ\{X + Y = z\}} =
= \frac{p(1 − p)^{k−1}p(1 − p)^{z−k−1}}{(z − 1)p^{2}(1 − p)^{z−2}} = \frac{1}{z − 1}

che, secondo la definizione dell’esercizio 2, è una legge uniforme sull’insieme {1, …, X+Y −1} Esercizio 4. Innanzitutto notiamo che la filtrazione naturale di X è uguale a quella di S (se si eccettua F_{0}^{S} = {∅, Ω} e F_{0}^{X} che non è definito): infatti per ogni n ≥ 1, S_{n} è funzione misurabile di X_{1}, …, X_{n}, e X_{n} = S_{n} − S_{n−1} è quindi funzione misurabile di S_{1}, …, S_{n}.

a) Per ogni n ≥ 0 si ha

𝔼[S_{n+1}|F_{n}^{X}] = 𝔼[S_{n} + X_{n+1}|F_{n}^{X}] = S_{n} + 𝔼[X_{n+1}|F_{n}^{X}] = S_{n} + 𝔼[X_{n+1}] = S_{n}

b) Per ogni n ≥ 1, usando il fatto che S è una martingala si ha

𝔼[M_{n+1} − M_{n}|F_{n}^{S}] = 𝔼 [S_{n+1} − \frac{1}{3}(S_{n+1}^{3} − S_{n}^{3})|F_{n}^{S}] =
= S_{n} − \frac{1}{3}𝔼[S_{n}^{3} + 3S_{n}^{2}X_{n+1} + 3S_{n}X_{n+1}^{2} + X_{n+1}^{3} − S_{n}^{3}|F_{n}^{S}] =
= S_{n} − S_{n}^{2}𝔼[X_{n+1}|F_{n}^{S}] − S_{n}𝔼[X_{n+1}^{2}|F_{n}^{S}] − \frac{1}{3}𝔼[X_{n+1}^{3}|F_{n}^{S}] =
= S_{n} − S_{n}^{2} · 0 − S_{n} · 1 − \frac{1}{3} · 0 = 0

c) Possiamo scrivere

T = inf{n | S_{n} ∉ (0, K)} = inf{n | S_{n} ∉ {1, …, K − 1}}

Siccome S è un processo adattato e T è un tempo di uscita, si ha che T è un tempo di arresto.

d) Dal teorema di arresto, (M_{n∧T})_{n} è una martingala. Siccome T < +∞ q.c., si ha che M_{n∧T} converge quasi certamente verso la variabile aleatoria M_{T}. Inoltre sappiamo che 𝔼[M_{n∧T}] → 𝔼[M_{T}]. Allora

a− \frac{1}{3}a^{3} = 𝔼[M_{0}] = 𝔼[M_{n∧T}] = 𝔼 [∑_{i=0}^{T ∧n} S_{i} − \frac{1}{3}S_{T ∧n}^{3}] → 𝔼[M_{T}] = 𝔼 [∑_{i=0}^{T} S_{i}]− \frac{1}{3}E[S_{T ∧n}^{3}]

Da questo si ricava che a − \frac{1}{3}a^{3} = 𝔼[∑_{i=0}^{T} S_{i}] − \frac{1}{3}E[S_{T ∧n}^{3}], e quindi, poichè q.c. S_{T} = 0 oppure K, si ha

𝔼 [∑_{i=0}^{T} S_{i}] = a − \frac{1}{3}a^{3} + \frac{1}{3}𝔼[S_{T}^{3} ] ≤ a − \frac{1}{3}a^{3} + \frac{1}{3}K^{3}

Esame di Probabilità mod. B del 15 dicembre 2003 (Corso di Laurea in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Midolo Luca Francesco 25,5

Visione compiti e orali: mercoledì 17 dicembre ore 11 nel mio studio.