Esame di Calcolo delle Probabilità del 16 luglio 2004 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Consideriamo un processo di Bernoulli (Z_{n})_{n} di parametro p su uno spazio probabilizzato (Ω, F, ℙ), e per ogni n ∈ ℕ^{∗} definiamo le variabili aleatorie X_{n} := 2Z_{n} − 1 e

S_{n} := a + ∑_{i=1}^{n} X_{i}, S_{0} := a,

con a ∈ ℕ, a > 0. Assegnato poi K ∈ ℕ, K > a, definiamo le tre variabili aleatorie

T := inf{n | S_{n} = 0 o S_{n} = K},
U := inf{n | X_{n−K+1} = … = X_{n} = 1},
V := K inf{n | X_{nK−K+1} = … = X_{nK} = 1},

Dimostrare che:

a) T ≤ U ≤ V,

b) V ∼ Ge(1/p^{K});

(suggerimento: definire il processo Y_{n} = 1_{{X_{nK−K+1}=...=X_{nK}=1}}, e dimostrare che è un processo di Bernoulli, di parametro …)

c) ℙ{T < +∞} = 1

Esercizio 2. Consideriamo una successione di variabili aleatorie (X_{n})_{n} i.i.d. di legge N(0, 1), e poniamo per ogni n ≥ 1

S_{n} := ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2}

a) Indagare il comportamento asintotico delle due successioni (\frac{S_{n}}{n} )_{n} e (\frac{S_{n}−n}{\sqrt{n}})_{n}.

b) Calcolare lim_{n→∞} ℙ\{S_{n} > \sqrt{n}\}.

c) Calcolare lim_{n→∞} ℙ{S_{n} > n}.

Esercizio 3. Sia (N_{t})_{t} il processo di Poisson associato ad una successione (X_{n})_{n} di variabili aleatorie i.i.d. di legge Exp(λ), con λ > 0. Si consideri poi, per ogni n ≥ 1, la variabile

S_{n} := ∑_{i=1}^{n} X_{i}

che, secondo una interpretazione del processo di Poisson, rappresenta l’istante dell’n-esimo guasto. Calcolare, per ogni coppia k, n di numeri interi con k ≠ n, una versione della legge condizionale di S_{k} rispetto a S_{n}. Esercizio 4. Un processo ramificante (“branching”) è una successione (Z_{n})_{n} di variabili aleatorie intere non negative tali che Z_{0} ≡ 1, e la legge di Z_{n+1} condizionata a Z_{1}, …, Z_{n} è uguale a quella di una somma di Z_{n} variabili aleatorie i.i.d. (e indipendenti da Z_{1}, …, Z_{n}) di legge uguale a quella di Z_{1}. Poniamo m := 𝔼[Z_{1}], e W_{n} := Z_{n}/m^{n}.

a) Verificare che W è una martingala rispetto alla filtrazione (F_{n}^{Z})_{n}.

b) Dimostrare che esiste una variabile aleatoria X tale che (W_{n})_{n} converge quasi certamente a X.

Soluzioni

Esercizio 1.

a) Se per assurdo esiste ω tale che T (ω) > U(ω), si ha che 0 < S_{n}(ω) < K per ogni n ≤ U(ω); ma si ha anche che S_{U(ω)}(ω) − S_{U(ω)−K}(ω) = ∑_{i=U(ω)−K+1}^{U(ω)} X_{i}(ω) = K, e si ottiene subito un assurdo. Da questo segue che T ≤ U.

Per dimostrare che U ≤ V, basta notare che V = inf{Kn | X_{nK−K+1} = … = X_{nK} = 1} è lo stesso inf usato per definire U ma calcolato su un insieme più piccolo (i numeri interi multipli di K invece che tutti gli interi).

b) Seguendo il suggerimento del testo, per dimostrare che Y è un processo di Bernoulli basta notare che per ogni k, la variabile aleatoria Y_{n} dipende solo da X_{nK−K+1}, …, X_{nK}; al variare di n ∈ ℕ, questi blocchi sono disgiunti, e quindi le (Y_{k})_{k} sono indipendenti. La loro legge è inoltre una legge di Bernoulli di parametro

ℙ\{Y_{n} = 1\} = ℙ\{X_{nK−K+1} = … = X_{nK} = 1\} = \frac{1}{p^{K}}

Una volta dimostrato che Y è un processo di Bernoulli di parametro 1/p^{K}, basta notare che V/K inf{n | Y_{n} = 1} è il suo istante di primo successo, e quindi ha legge Ge(1/p^{K}).

c) Poichè V ∼ Ge(1/p^{K}), abbiamo

ℙ{T < +∞} ≥ ℙ{V < +∞} = 1

Esercizio 2.

a) Per ogni n naturale, S_{n} è somma delle variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite X_{n}^{2}, che sono in L^{2}. Per la legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov-Khintchine abbiamo quindi che

\frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2} ⟶^{q.c.} 𝔼[X_{i}^{2}] = 1

Per la seconda successione, dobbiamo calcolare Var [X_{n}^{2}] = 𝔼[X_{n}^{4}]−𝔼[X_{n}^{2}]^{2} = 3−1 = 2. Abbiamo infatti:

𝔼[X_{n}^{4}] = ∫_{−∞}^{+∞} x^{4} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}} dx = [−x^{3} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}}]_{−∞}^{+∞} + ∫_{−∞}^{+∞} 3x^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2} x^{2}} dx =
= 0 + 3𝔼[X_{n}^{2}] = 3

Per il teorema limite centrale \frac{S_{n}−𝔼[S_{n}]}{\sqrt{Var [S_{n}]}} = \frac{S_{n}−n}{\sqrt{2n}} ⇀ N(0, 1), e quindi \frac{S_{n}−n}{\sqrt{n}} ⇀ N(0, 2).

b) Usando il risultato della prima successione abbiamo che

lim_{n→∞} ℙ\{S_{n} > \sqrt{n}\} = lim_{n→∞} ℙ \{\frac{S_{n}}{n} > \frac{1}{\sqrt{n}}\} = ℙ\{1 > 0\} = 1

c) Usando il risultato della seconda successione abbiamo che

lim_{n→∞} ℙ\{S_{n} > n\} = lim_{n→∞} ℙ \{\frac{S_{n} − n}{\sqrt{n}} > 0\} = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{4π}} e^{− \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}} dx = \frac{1}{2}

Esercizio 3. Innanzitutto notiamo che S_{k} ∼ Γ(k, λ) e S_{n} ∼ Γ(n, λ). Distinguiamo poi i due casi k < n e k > n. Se k < n, abbiamo che S_{n} = S_{k} + Y, con Y := ∑_{i=k+1}^{n} X_{i} ∼ Γ(n − k, λ) indipendente da S_{k} = ∑_{i=1}^{k} X_{i}. Si trova allora che una versione della legge condizionale di S_{k} rispetto a S_{n} è la famiglia (ν_{z})_{z>0} con densità

x → \frac{Γ(n)}{Γ(k)Γ(n − k)} (\frac{x}{z})^{k−1} (1 − \frac{x}{z})^{n−k−1} z1_{0<x<z}

rispetto alla misura di Lebesgue (vedi appello di giugno), che è l’omotetia di una densità di una legge Beta B(a, b) su (0, X + Y). Se k > n, abbiamo che S_{k} = S_{n} + Y, con Y := ∑_{i=n+1}^{k} X_{i} ∼ Γ(k − n, λ) indipendente da S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}. Da un risultato del corso, risulta allora che la legge di S_{k} condizionata a S_{n} è la famiglia (π_{z})_{z>0}, dove π_{z} è la legge della variabile aleatoria z + Y, che ha quindi densità

x → \frac{λ^{k−n}}{Γ(k − n)}(x − z)^{k−n−1}e^{−λ(x−z)}, x > z

rispetto alla misura di Lebesgue.

Esercizio 4.

a) Per ogni n ≥ 0 si ha

𝔼[W_{n+1}|F_{n}^{Z}] = 𝔼 [ \frac{Z_{n+1}}{m^{n+1}} | Z_{1}, …, Z_{n}] = 𝔼 [ \frac{∑_{i=1}^{Z_{n}} X_{i}}{m^{n+1}} | Z_{1}, …, Z_{n}] =

= \frac{∑_{i=1}^{Z_{n}} 𝔼[X_{i}]}{m^{n+1}} = \frac{mZ_{n}}{m^{n+1}} = \frac{Z_{n}}{m^{n}} = W_{n}

b) W è una martingala positiva, quindi per il teorema di convergenza delle (super-) martingale segue la tesi.

Esame di Calcolo delle Probabilità del 16 luglio 2004

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Luongo Rosetta 17

Visione compiti e orali: lunedì 19 luglio ore 10.00 nel mio studio.