Esame di Calcolo delle Probabilità del 12 dicembre 2005 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto parziale

XXX

Prima parte XXX +

XXX

XXX

Seconda parte XXX  =

XXX

VOTO FINALE:

Il compito è in 2 parti:

• la prima parte è costituita dall’esercizio 1, dal punto 1 dell’esercizio 2 e dal punto 1 dell’esercizio 3, e sostituisce il primo compitino;

• la seconda parte è costituita dai punti 2 e 3 dell’esercizio 2, dal punto 2 dell’esercizio 3 e dall’esercizio 4.

Tutti devono fare la seconda parte, mentre deve fare la prima parte solo chi vuole sostituire i voti del compitino (chi vuole tenere il voto del compitino per la prima parte scrive “vedi compitini” al posto delle soluzioni).

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Siano (X_{n})_{n}, X variabili aleatorie reali sullo spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ). Dimostrare che:

a) se X_{n} →^{L^{p}} X, allora E[|X_{n}|^{p}] → E[|X|^{p}];

b) se X_{n} →^{L^{1}} X, allora E[X_{n}] → E[X]; è vero il viceversa? (dimostrarlo oppure produrre un controesempio)

c) se X_{n} →^{L^{2}} X, allora Var [X_{n}] → Var [X].

Esercizio 2. Sia (X_{n})_{n} una successione di variabili aleatorie indipendenti, dove per ogni n ≥ 1, X_{n} ha legge Exp(c^{n}), con c > 0 fissato. Definiamo poi

Y_{n} := min(X_{1}, …, X_{n})

1. Che legge ha Y_{n}?

2. Dimostrare che se c < 1, Y_{n} ⇀ Exp(λ), con λ = \frac{c}{1−c}.

3. Dimostrare che se c ≥ 1, Y_{n} →^{ℙ} 0.

4. Dimostrare che, in ogni caso, Y_{n} converge quasi certamente ad una variabile aleatoria.

Esercizio 3. Trovare la speranza condizionale e la legge condizionale di Y rispetto a X quando il vettore (X, Y) ha densità congiunta data da:

1. f(x, y) = λ^{2}e^{−λy}, 0 ≤ x ≤ y < +∞

2. f(x, y) = xe^{−x(y+1)}, x, y ≥ 0.

Esercizio 4. Un dado a 6 facce è tirato ripetutamente, e indichiamo con (Y_{n})_{n} la sequenza dei risultati. Dimostrare che i seguenti processi sono catene di Markov, e per ognuno calcolare la matrice di transizione.

1. Il più grande numero X_{n} uscito fino all’n-esimo lancio.

2. Il numero N_{n} di sei usciti fino all’n-esimo lancio.

3. Per ogni tempo r ≥ 1, il tempo C_{r} trascorso dall’uscita dell’ultimo 6. Per ogni tempo r ≥ 1 chiamiamo B_{r} il tempo da attendere fino all’uscita del prossimo 6.

4. Dimostrare che r + B_{r} è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione naturale di Y.

Soluzioni

Esercizio 1.

1. Siccome ∥ · ∥_{p} è una norma, la disuguaglianza triangolare implica

∥X∥_{p} ≤ ∥X − X_{n}∥_{p} + ∥X_{n}∥_{p},
∥X_{n}∥_{p} ≤ ∥X − X_{n}∥_{p} + ∥X∥_{p},

che combinate assieme danno |∥X_{n}∥_{p}−∥X∥_{p}| ≤ ∥X−X_{n}∥_{p}. Siccome il secondo membro tende a zero, si ha che ∥X_{n}∥_{p} → ∥X∥_{p}; elevando entrambi i membri alla potenza p si ha la tesi.

2. Abbiamo |E[X_{n}] − E[X]| = |E[X_{n} − X]| ≤ E[|X_{n} − X|], che tende a 0, e abbiamo la tesi.

Il viceversa non vale: consideriamo infatti una variabile aleatoria Y ∼ Be(1/2), e definiamo X_{n} := Y, X := 1 − Y. Allora E[X_{n}] = 1/2 = E[X], ma |X_{n} − X| = |2Y − 1| = 1, quindi E[|X_{n} − X|] = 1 non converge a 0.

3. Se X_{n} →^{L^{2}} X, allora X_{n} →^{L^{1}} X, e per il punto (b) si ha che E[X_{n}] → E[X]. Per il punto (a) si ha poi che E[X_{n}^{2}] → E[X^{2}]. Si ha quindi:

Var [X_{n}] = E[X_{n}^{2}] − E[X_{n}]^{2} → E[X^{2}] − E[X]^{2} = Var [X]

Esercizio 2.

1. Basta calcolare la funzione di ripartizione di Y_{n}: per ogni t ≥ 0:

F_{Y_{n}}(t) = 1 − ℙ{Y_{n} > t} = 1 − ℙ{X_{1} > t, …, X_{n} > t} = 1 − ∏_{i=1}^{n} ℙ{X_{i} > t} =

= 1 − ∏_{i=1}^{n} e^{−c^{i}t} = 1 − exp (− ∑_{i=1}^{n} c^{i}t)

quindi Y_{n} ∼ Exp(λ_{n}), con λ_{n} := ∑_{i=1}^{n} c^{i}.

2. Se c < 1, allora per ogni t ∈ ℝ abbiamo

φ_{Y_{n}}(t) = \frac{λ_{n}}{λ_{n} − it} → \frac{λ}{λ − it}

che è la funzione caratteristica di una legge Exp(λ), con λ = \frac{c}{1−c} = ∑_{i=1}^{∞} c^{i}. Per il teorema di Paul Levy, si ha che Y_{n} ⇀ Exp(λ).

3. Se c ≥ 1, allora λ_{n} → +∞, e si ha per ogni t ∈ ℝ:

φ_{Y_{n}}(t) = \frac{λ_{n}}{λ_{n} − it} → 1

che è la funzione caratteristica della costante 0. Per il teorema di Paul Levy, si ha che Y_{n} ⇀ 0. Siccome il limite è una costante, abbiamo anche che Y_{n} →^{ℙ} 0.

4. Per ogni ω ∈ Ω, abbiamo che Y_{n}(ω) ≥ Y_{n+1}(ω). Infatti:

Y_{n}(ω) ≥ min(Y_{n}(ω), X_{n+1}(ω)) = Y_{n+1}(ω)

Inoltre la successione (Y_{n}(ω))_{n} è positiva. Essendo una successione decrescente e limitata inferiormente, ammette limite, che chiamiamo Y (ω) ed è una variabile aleatoria. Abbiamo quindi che Y_{n} →^{q.c.} Y.

Esercizio 3.

1. Una versione della densità marginale di X è data da

f_{X}(x) = ∫_{x}^{+∞} λ^{2}e^{−λy} dy = λe^{−λx}, x ≥ 0

quindi una versione della legge condizionale di Y rispetto a X è data dalla famiglia (ν_{x})_{x≥0}, dove ν_{x} ha densità

f_{Y |X}(y|x) = \frac{f(x, y)}{f_{X}(x)} = \frac{λ^{2}e^{−λy}}{λe^{−λx}} 1_{[x,+∞)}(y) = λe^{−λ(y−x)}1_{[x,+∞)}(y)

rispetto alla misura di Lebesgue.

Per calcolare la speranza condizionale, sfruttiamo la relazione E[g(Y)|X] = φ(X), con φ(x) = ∫ g(y) dν_{x}(y). Nel nostro caso g(y) = y, e abbiamo

φ(x) = ∫ y dν_{x}(y) = ∫_{x}^{+∞} yλe^{−λ(y−x)} dy = \frac{1}{λ} + x

quindi E[Y |X] = X + 1/λ.

2. Una versione della densità marginale di X è data da

f_{X}(x) = ∫_{0}^{+∞} xe^{−x(y+1)} dy = e^{−x}, x ≥ 0

quindi una versione della legge condizionale di Y rispetto a X è data dalla famiglia (ν_{x})_{x≥0}, dove ν_{x} ha densità

f_{Y |X}(y|x) = \frac{f(x, y)}{f_{X}(x)} = \frac{xe^{−x(y+1)}}{e^{−x}} 1_{[0,+∞)}(y) = xe^{−xy}1_{[0,+∞)}(y)

rispetto alla misura di Lebesgue. Quindi ν_{x} è una legge esponenziale di parametro x.

Per calcolare la speranza condizionale, procediamo come prima e otteniamo

φ(x) = ∫ y dν_{x}(y) = ∫_{0}^{+∞} yxe^{−xy} dy = \frac{1}{x}

quindi E[Y |X] = 1/X.

Esercizio 4. Innanzitutto è ragionevole supporre che le (Y_{n})_{n} siano indipendenti; chiamiamo F_{n} := σ(Y_{1}, …, Y_{n}) la filtrazione naturale delle (Y_{n})_{n}.

1. Abbiamo che X_{n} = max(Y_{1}, …, Y_{n}) = max(X_{n−1}, Y_{n}) è un processo a valori in {1, …, 6} e adattato a (F_{n})_{n}. Per ogni x_{1} …, x_{n+1} ∈ {1, …, 6} abbiamo poi

ℙ{X_{n} = x_{n} | X_{1} = x_{1}, …, X_{n−1} = x_{n−1}} =
= ℙ{max(X_{n−1}, Y_{n}) = x_{n} | X_{1} = x_{1}, …, X_{n−1} = x_{n−1}} =
= ℙ{max(x_{n−1}, Y_{n}) = x_{n} | X_{1} = x_{1}, …, X_{n−1} = x_{n−1}}

Notiamo che l’evento {X_{1} = x_{1}, …, X_{n−1} = x_{n−1}} è F_{n−1}-misurabile, mentre Y_{n} è indipendente da F_{n−1}. Si ha quindi che

ℙ{X_{n} = x_{n} | X_{1} = x_{1}, …, X_{n−1} = x_{n−1}} = ℙ{max(x_{n−1}, Y_{n}) = x_{n}} = p_{x_{n−1},x_{n}}

dove P = (p_{xy})_{xy} è la matrice 6 × 6 definita da

p_{xy} := \{ \begin{matrix}0 & se x > y \\ \frac{x}{6} & se x = y \\ \frac{1}{6} & se x < y \end{matrix}

2. Abbiamo che N_{n} := ∑_{k=1}^{n} 1_{{Y_{k}=6}} = N_{n−1} + 1_{{Y_{n}=6}} è un processo a valori in ℕ e adattato a (F_{n})_{n}. Per ogni x_{1} …, x_{n+1} ∈ ℕ, si può dimostrare, con procedimento analogo al punto 1., che

ℙ{N_{n} = x_{n} | N_{1} = x_{1}, …, N_{n−1} = x_{n−1}} = ℙ{1_{{Y_{k}=6}} = x_{n} − x_{n−1}} = p_{x_{n−1},x_{n}}

dove P = (p_{xy})_{xy} stavolta è la matrice infinita definita da

p_{xy} := \{ \begin{matrix}\frac{5}{6} & se y = x \\ \frac{1}{6} & se y = x + 1 \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

3. Abbiamo che

C_{r} = r − max{n ≤ r | Y_{n} = 6} = max{k | X_{r} ≠ 6, …, X_{r−k+1} ≠ 6, X_{r−k} = 6} =
= (C_{r−1} + 1)1_{{Y_{n}≠6}}

è un processo a valori in ℕ e adattato a (F_{n})_{n}. Per ogni x_{1} …, x_{n+1} ∈ ℕ, si può dimostrare, con procedimento analogo al punto 1., che

ℙ{C_{n} = x_{n} | C_{1} = x_{1}, …, C_{n−1} = x_{n−1}} = ℙ{(x_{n−1} + 1)1_{{Y_{k}≠6}} = x_{n}} = p_{x_{n−1},x_{n}}

dove P = (p_{xy})_{xy} stavolta è la matrice infinita definita da

p_{xy} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{6} & se y = 0 \\ \frac{5}{6} & se y = x + 1 \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

4. Abbiamo che

B_{r} = inf{n ≥ r | X_{n} = 6} − r

è una variabile aleatoria intera a valori in ℕ. Quindi: per ogni n < r si ha che

{B_{r} + r ≤ n} = {B_{r} ≤ n − r} = ∅ ∈ F_{n}^{X}

mentre per ogni n ≥ r si ha che

{B_{r} + r ≤ n} = {B_{r} + r > n}^{c} = {X_{r} ≠ 6, …, X_{n} ≠ 6} ∈ F_{n}^{X}

e si ha la tesi.

Esame di Calcolo delle Probabilità del 12 dicembre 2005

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Carraro Ketty  18
Danzi Silvia  24(*)
De Rossi Giulia  23
Garrell Zulueta Anais 23,5
Rosestolato Mauro  25(*)

(*) già comprensivo del voto del primo compitino. Visione compiti e orali: venerdì 16 dicembre ore 10 nel mio studio