Esame di Calcolo delle Probabilità del 11 gennaio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Siano (X_{n})_{n} una successione di variabili aleatorie sullo spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ) e (c_{n})_{n} una successione di numeri reali avente limite c ∈ ℝ. Dimostrare che la convergenza X_{n} → X implica lo stesso tipo di convergenza di c_{n}X_{n} → cX nei seguenti casi:

1. X_{n} →^{q.c.} X;

2. X_{n} →^{ℙ} X;

3. X_{n} →^{L^{p}} X;

4. X_{n} ⇀ X. Esercizio 2. Siano X_{1}, …, X_{n} variabili aleatorie i.i.d. di legge N(0, 1). Utilizzare la funzione caratteristica per trovare la legge di

1. X_{1}^{2};

2. ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2}; Trovare la funzione caratteristica di

c) X_{1}X_{2};

d) X_{1}X_{2} + X_{3}X_{4}. Esercizio 3. Sia X una variabile aleatoria di legge Beta di parametri a e b, cioè avente densità \frac{1}{β(a,b)}x^{a−1}(1 − x)^{b−1} rispetto alla misura di Lebesgue su (0, 1), dove β(a, b) = ∫_{0}^{1} x^{a−1}(1 − x)^{b−1} dx. Fissato n ∈ ℕ^{∗}, sia poi Y una variabile aleatoria avente come legge condizionale rispetto a X la famiglia (ν_{x})_{x∈(0,1)} definita da ν_{x} := B(n, x).

1. Trovare la legge di Y. Se a = b = 1, che legge è?

2. Calcolare E[Y]

3. Calcolare E[Z^{2}], dove Z ∼ B(n, p); calcolare quindi E[Y^{2}].

4. Calcolare Var [Y]. Suggerimenti: ricordare che β(a, b) = \frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)} e Γ(a+1) = aΓ(a), dove Γ è la funzione Gamma di Eulero. Esercizio 4. Consideriamo una catena di Markov sullo spazio degli stati {0, 1, …, m}, con m > 2, con matrice di transizione definita da

p_{ij} = \{ \begin{matrix}1 − \frac{i}{m} & se j = i + 1 \\ \frac{i}{m} & se j = i − 1 \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

e legge iniziale μ = δ_{i}, con i ∈ {0, 1, …, m}.

1. Dimostrare che per ogni n ∈ ℕ

E [X_{n+1} − \frac{m}{2} | F_{n}] = (1 − \frac{2}{m}) (X_{n} − \frac{m}{2})

dove (F_{n})_{n} è la filtrazione naturale di (X_{n})_{n}.

2. Dedurne che per ogni n ∈ ℕ

E [X_{n} − \frac{m}{2}] = (1 − \frac{2}{m})^{n} (i − \frac{m}{2})

3. Dedurne che lim_{n→∞} E[X_{n}] = \frac{m}{2}.

Soluzioni

Esercizio 1.

1. Se ω ∈ Ω è tale che X_{n}(ω) → X(ω), allora c_{n}X_{n}(ω) → cX(ω). Dato che {X_{n}(ω) → X(ω)} è un evento quasi certo, lo è anche {c_{n}X_{n}(ω) → cX(ω)}.

2. Sappiamo che per ogni ε > 0, ℙ{|X_{n} − X| > ε} → 0. Se c = 0, allora X_{n} ⇀ X, e quindi per il punto 4. c_{n}X_{n} ⇀ cX = 0; siccome 0 è una costante, la convergenza è anche in probabilità.

Se c ≠ 0 (supponiamo per fissare le idee che c > 0), allora esiste n̄ tale che |c_{n} − c| < ε per ogni n > n̄. Si ha allora:

ℙ{|c_{n}X_{n} − cX| > ε} ≤ ℙ{|c_{n}X_{n} − c_{n}X| > ε/2} + ℙ{|c_{n}X − cX| > ε/2} =
= ℙ{|X_{n} − X| > ε/|2c_{n}|} + ℙ{|X| > ε/2|c_{n} − c|} ≤
≤ ℙ{|X_{n} − X| > ε/2(c + ε)} + ℙ{|X| > ε/2|c_{n} − c|} →
→ 0 + 0

3. Sfruttando il fatto che ∥ · ∥_{L^{p}} è una norma e quindi vale la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

∥c_{n}X_{n} − cX∥_{L^{p}} ≤ ∥c_{n}X_{n} − c_{n}X∥_{L^{p}} + ∥c_{n}X − cX∥_{L^{p}} =
= |c_{n}∥X_{n} − X∥_{L^{p}} + |c_{n} − c|∥X∥_{L^{p}} → |c| · 0 + 0 · ∥X∥_{L^{p}} = 0

4. Per il teorema di Paul Levy, le funzioni caratteristiche (φ_{X_{n}})_{n} convergono puntualmente a φ_{X}. Allora per ogni t ∈ ℝ si ha che

φ_{c_{n}X_{n}}(t) = φ_{X_{n}}(c_{n}t) → φ_{X}(ct) = φ_{cX}(t)

e si ha convergenza in legge.

Esercizio 2.

1. Per ogni t ∈ ℝ abbiamo

φ_{X_{1}^{2}}(t) = E[e^{itX_{1}^{2}}] = ∫_{ℝ} \frac{1}{2π} e^{itx^{2}}e^{− \frac{1}{2} x^{2}} dx = ∫_{ℝ} \frac{1}{2π} e^{− \frac{1}{2} x^{2}(1−2it)} dx

Questo integrale si può calcolare in vari modi, e il risultato è

φ_{X_{1}^{2}}(t) = (\frac{1}{1 − 2it})^{1/2}

che è la funzione caratteristica di una legge Γ(1/2, 1/2) = χ^{2}(1).

2. Per l’indipendenza di X_{1}, …, X_{n}, per ogni t ∈ ℝ abbiamo

φ_{∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2}}(t) = ∏_{i=1}^{n} φ_{X_{i}^{2}}(t) = (\frac{1}{1 − 2it})^{n/2}

che è la funzione caratteristica di una legge Γ(n/2, 1/2) = χ^{2}(n).

3. Condizionando rispetto a X_{1}, per ogni t ∈ ℝ abbiamo

φ_{X_{1}X_{2}}(t) = E[E[e^{itX_{1}X_{2}}|X_{1}]] = E[φ_{X_{2}}(tX_{1})] = E[e^{− \frac{1}{2} t^{2}X_{2}^{2}}] =
= ∫_{ℝ} \frac{1}{2π} e^{− \frac{1}{2} x^{2}(1+t^{2})} dx = (\frac{1}{1 + t^{2}} )^{1/2}

4. Sfruttando l’indipendenza di X_{1}, …, X_{4}, per ogni t ∈ ℝ abbiamo

φ_{X_{1}X_{2}+X_{3}X_{4}}(t) = φ_{X_{1}X_{2}}(t)φ_{X_{3}X_{4}}(t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

Esercizio 3.

1. La variabile aleatoria Y assume valori sullo spazio F = {0, …, n}. Allora per ogni k ∈ {0, …, n} si ha

ℙ\{Y = k\} = ∫_{(0,1)} ν_{x}(\{k\}) dμ(x) = ∫_{0}^{1} \binom{n}{k}x^{k}(1 − x)^{n−k} \frac{1}{β(a, b)}x^{a−1}(1 − x)^{b−1} dx =
= \binom{n}{k}\frac{1}{β(a, b)} ∫_{0}^{1} x^{a+k−1}(1 − x)^{b+n−k−1} dx = \binom{n}{k}\frac{β(a + k, b + n − k)}{β(a, b)}

Se a = b = 1, si ha che

ℙ\{Y = k\} = \binom{n}{k} \frac{\frac{Γ(k+1)Γ(n−k+1)}{Γ(n+2)}}{\frac{Γ(1)Γ(1)}{Γ(2)}} = \binom{n}{k}\frac{k!(n − k)!}{(n + 1)!} = \frac{1}{n + 1}

quindi Y ha legge uniforme su {0, …, n}.

2. Usando la definizione di legge condizionale si ha

E[Y] = ∫_{(0,1)} ∫_{\{0,...,n\}} y dν_{x}(y) dμ(x) = ∫_{(0,1)} ∑_{y=0}^{n} y\binom{n}{y}x^{y}(1 − x)^{n−y} dμ(x) =

= ∫_{(0,1)} nx\frac{1}{β(a, b)}x^{a−1}(1 − x)^{b−1} dx = \frac{n}{β(a, b)} ∫_{(0,1)} x^{a}(1 − x)^{b−1} dx =

= \frac{nβ(a + 1, b)}{β(a, b)} = \frac{n\frac{Γ(a+1)Γ(b)}{Γ(a+b+1)}}{\frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)}} = \frac{na}{a + b}

3. Abbiamo E[Z] = np, Var [Z] = np(1 − p), quindi E[Z^{2}] = Var [Z] + E[Z]^{2} = np(1 − p) + n^{2}p^{2} = np(1 + (n − 1)p) = np + n(n − 1)p^{2}. Quindi

E[Y^{2}] = ∫_{(0,1)} ∫_{\{0,...,n\}} y^{2} dν_{x}(y) dμ(x) = ∫_{(0,1)} ∑_{y=0}^{n} y^{2}\binom{n}{y}x^{y}(1 − x)^{n−y} dμ(x) =

= ∫_{(0,1)}(nx + n(n − 1)x^{2})\frac{1}{β(a, b)}x^{a−1}(1 − x)^{b−1} dx =
= \frac{1}{β(a, b)} ∫_{0}^{1} nx^{a}(1 − x)^{b−1} + n(n − 1)x^{a+1}(1 − x)^{b−1} dx =
= \frac{nβ(a + 1, b) + n(n − 1)β(a + 2, b)}{β(a, b)} = \frac{na}{a + b} + \frac{n(n − 1)a(a + 1)}{(a + b)(a + b + 1)} =
= \frac{na(na + n + b)}{(a + b)(a + b + 1)}

4. Abbiamo che

Var [Y] = E[Y^{2}] − E[Y]^{2} = \frac{na(na + n + b)}{(a + b)(a + b + 1)} − \frac{n^{2}a^{2}}{(a + b)^{2}} = \frac{nab(a + b + n)}{(a + b)^{2}(a + b + n)}

Esercizio 4.

1. Per definizione di catena di Markov e le proprietà che legano legge condizionale e speranza condizionale, si ha che

E [X_{n+1} − \frac{m}{2} | F_{n}] = (X_{n} − 1)\frac{X_{n}}{m} + (X_{n} + 1) (1 − \frac{X_{n}}{m} ) − \frac{m}{2} =
= (1 − \frac{2}{m}) (X_{n} − \frac{m}{2})

2. Per induzione, utilizzando la proprietà di proiezione della speranza condizionale, si ha che

E [X_{n} − \frac{m}{2}] = E [E [X_{n} − \frac{m}{2} | F_{n−1}]] = E [(1 − \frac{2}{m}) (X_{n−1} − \frac{m}{2})] =
= (1 − \frac{2}{m}) E [X_{n−1} − \frac{m}{2}] = (1 − \frac{2}{m})^{n} E [X_{0} − \frac{m}{2}] =
= (1 − \frac{2}{m})^{n} (i − \frac{m}{2})

3. Si ha quindi che lim_{n→∞} E [X_{n} − \frac{m}{2}] = 0, che significa lim_{n→∞} E[X_{n}] = \frac{m}{2}.

Esame di Calcolo delle Probabilità del 11 gennaio 2006

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

(*) già comprensivo del voto del primo compitino. Visione compiti e orali: venerdì 16 dicembre ore 10 nel mio studio