Esame di Calcolo delle Probabilità del 4 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Su uno spazio probabilizzato (Ω, A, ℙ) sia (U_{n})_{n} una successione di variabili aleatorie reali indipendenti di legge uniforme sull’intervallo (0, 1).

1. Si calcoli la speranza di V_{n} := ∏_{i=1}^{n} U_{i}.

2. Definito V := lim_{n→∞} V_{n}, si dimostri che V è ben definito, V ∈ L^{1}(Ω, A, ℙ) e 𝔼[V] = 0.

3. Se ne deduca che lim_{n→∞} V_{n} = 0 q.c. Esercizio 2. Siano X, Y, Z tre variabili aleatorie indipendenti di legge esponenziale di parametro λ > 0, e U variabile aleatoria uniforme su [0, 1], indipendente da X, Y, Z.

1. Dimostrare che φ_{X} = φ_{U(Y +Z)}. Supponiamo ora che X, Y, Z siano ancora indipendenti da U e tra di loro e abbiano la stessa legge con funzione caratteristica φ, ma non necessariamente legge esponenziale.

2. Dimostrare che φ_{U(Y +Z)} = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} φ^{2}(u) du.

3. Dimostrare che, se vogliamo che φ_{X} = φ_{U(Y +Z)}, allora φ deve soddisfare l’equazione differenziale tφ′ = φ^{2} − φ;

4. Trovare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale di cui sopra che siano funzioni

caratteristiche di una variabile aleatoria. Esercizio 3. Siano (X_{n})_{n} variabili aleatorie i.i.d. di legge esponenziale di parametro λ > 0, e N variabile aleatoria geometrica (cioè tale che ℙ{N = n} = p(1 − p)^{n−1} per ogni n ≥ 1). Definiamo poi

Y := ∑_{n=1}^{N} X_{n}

1. Calcolare 𝔼[Y].

2. Per ogni t ≥ 0, calcolare la funzione di ripartizione F_{Y} (t).

3. Calcolare la funzione caratteristica di Y.

4. Calcolare la funzione generatrice dei momenti di Y. Esercizio 4. Supponiamo che il fatto che un giorno piova o meno dipenda dal fatto che il giorno prima sia piovuto o meno in questo modo: se un giorno non ha piovuto, allora la probabilità che il giorno seguente non piova è pari a 0.7, mentre se un giorno ha piovuto, allora la probabilità che il giorno seguente piova è pari a 0.5.

1. Definire una catena di Markov che modellizza il fenomeno, specificando spazio degli stati e nucleo di transizione.

2. Se oggi ci sono uguali probabilità che piova o non piova, calcolare la probabilità che fra esattamente 3 giorni piova.

3. Se oggi ha piovuto, calcolare la probabilità che piova anche nei 3 giorni successivi.

Soluzioni

Esercizio 1.

1. Per l’indipendenza delle U_{n} si ha

𝔼[V_{n}] = 𝔼 [∏_{i=1}^{n} U_{i}] = ∏_{i=1}^{n} 𝔼[U_{i}] = ∏_{i=1}^{n} \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{n}}

2. Dato che le U_{n} hanno valori in (0, 1) q.c., la successione (V_{n})_{n} è q.c. decrescente e positiva, quindi ammette limite q.c.; chiamiamo quindi V := lim_{n→∞} V_{n}. Siccome V ∈ [0, 1), si ha che V ∈ L^{1}(Ω, A, ℙ). Infine

𝔼[V] = 𝔼 [ lim_{n→∞} V_{n}] = lim_{n→∞} 𝔼[V_{n}] = lim_{n→∞} \frac{1}{2^{n}} = 0

Il limite si può portare fuori dalla speranza per il Teorema della Convergenza Dominata (|V_{n}| ≤ 1 ∈ L^{1}(Ω, A, ℙ) per ogni n), oppure per il Teorema della Convergenza Monotona (definendo Z_{n} := 1 − V_{n}, si ha che le Z_{n} sono positive e Z_{n} ↗ Z = 1 − V q.c.).

3. Siccome V ≥ 0 q.c. e 𝔼[V] = 0, per un teorema di teoria della misura si ha che V = lim_{n→∞} V_{n} = 0 q.c.

Esercizio 2.

1. Ricordiamo che Y + Z ∼ Γ(2, λ). Per ogni t calcoliamo

φ_{U(Y +Z)}(t) = 𝔼[e^{itU(Y +Z)}] = 𝔼[𝔼[e^{itU(Y +Z)}|U]] = (indipendenza di Y + Z da U)
= 𝔼[φ_{Y +Z}(tU)] = 𝔼 [(\frac{λ}{λ − itU} )^{2}] = ∫_{0}^{1} (\frac{λ}{λ − itu})^{2} du =

= [\frac{λ}{it} \frac{1}{1 − \frac{it}{λ}u}]_{0}^{1} = \frac{λ}{λ − it} = φ_{X}(t)

2. Con calcoli analoghi al punto 1. abbiamo

φ_{U(Y +Z)}(t) = 𝔼[e^{itU(Y +Z)}] = 𝔼[𝔼[e^{itU(Y +Z)}|U]] = 𝔼[φ_{Y +Z}(tU)] = 𝔼[φ^{2}(tU)] =
= ∫_{0}^{1} φ^{2}(tu) du = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} φ^{2}(v) dv

3. La condizione φ(t) = \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} φ^{2}(v) dv è equivalente a

tφ(t) = ∫_{0}^{t} φ^{2}(v) dv

Dato che φ è una funzione caratteristica, si ha che φ ∈ C^{0}, quindi il secondo membro è derivabile con continuità. Derivando si ha

tφ′(t) + φ(t) = φ^{2}(t)

che dà la tesi.

4. Dobbiamo cercare tutte le soluzioni complesse tali che φ(0) = 1 e ∥φ∥_{∞} ≤ 1. Separando

le variabili si ha

∫ \frac{dφ}{φ(φ − 1)} = ∫ \frac{dt}{t}

da cui si ricava

log t = log(φ − 1) − log φ + C

con C ∈ ℂ. La soluzione generale è quindi

φ(t) = \frac{K}{K − t}

con K ∈ ℂ, che soddisfa φ(0) = 1. Abbiamo poi che ∥φ∥_{∞} ≤ 1 può essere scritto come

min_{t∈ℝ} |1 − \frac{t}{K} | ≥ 1

che, utilizzando la definizione di modulo di un numero complesso e rappresentando K = a + ib, si può scrivere

(1 − ta)^{2} + (tb)^{2} ≥ 1 ∀t

che, dopo alcuni conti, dà (a^{2} + b^{2})t^{2} − 2at ≥ 0 per ogni t ∈ ℝ. L’unico modo per soddisfare questa relazione è imporre a = 0, e quindi si ottiene K = ib, e

φ(t) = \frac{ib}{ib − t} = \frac{−b}{−b − it}

Esercizio 3.

1. Poichè le ipotesi dell’identità di Wald sono soddisfatte, abbiamo

𝔼[Y] = 𝔼[X_{1}]𝔼[N] = \frac{1}{p} \frac{1}{λ} = \frac{1}{λp}

Da ciascuno dei tre punti seguenti si ricava che Y ∼ Exp(λp), pertanto ognuno dei tre può essere ricavato dagli altri due. Presentiamo quindi solo la dimostrazione del secondo.

2. Per t < 0, si ha ℙ{Y ≤ t} = 0. Per t ≥ 0, chiamando ℚ_{n} la probabilità ℙ condizionata all’evento {N = n}, per le proprietà della disintegrazione abbiamo

ℙ{Y ≤ t} = ∑_{n=1}^{∞} ℚ_{n}{∑_{i=1}^{N} X_{i} ≤ t}ℙ{N = n} = (cond. a {N = n})

= ∑_{n=1}^{∞} ℚ_{n}{∑_{i=1}^{n} X_{i} ≤ t}ℙ{N = n} = (∑_{i=1}^{n} X_{i} ∼ Γ(n, λ))

= ∑_{n=1}^{∞} p(1 − p)^{n−1} ∫_{0}^{t} \frac{λ^{n}}{Γ(n)}e^{−λx}x^{n−1} dx = (cambio variabile k := n − 1)

= pλ ∫_{0}^{t} e^{−λx} ∑_{k=0}^{∞} \frac{((1 − p)λx)^{k}}{k!} dx = pλ ∫_{0}^{t} e^{−λx}e^{(1−p)λx} dx =

= pλ ∫_{0}^{t} e^{−pλx} dx = 1 − e^{−pλt}

dove la quarta uguaglianza segue dal teorema di integrazione per serie positive.

3. La funzione caratteristica è

φ_{Y} (t) = 𝔼[e^{itY}] = \frac{pλ}{pλ − it}

per ogni t ∈ ℝ.

4. La funzione generatrice dei momenti è

γ_{Y} (t) = 𝔼[e^{tY}] = \frac{pλ}{pλ − t}

per ogni t ≤ pλ. Questa funzione poteva anche essere ricavata con la formula vista a lezione.

Esercizio 4.

1. Definiamo la catena di Markov (X_{n})_{n} con spazio degli stati E := {P, N} (con significato ovvio) e nucleo N(x, {y}) := p_{xy}, con

P = (p_{xy})_{x,y∈E} = ( \begin{matrix}0.5 & 0.5 \\ 0.3 & 0.7 \end{matrix} )

2. In questo caso la legge iniziale è μ = \frac{1}{2}δ_{P} + \frac{1}{2}δ_{N}. Dobbiamo calcolare

ℙ{X_{3} = P } = ℙ{X_{3} = P |X_{0} = P }ℙ{X_{0} = P } + ℙ{X_{3} = P |X_{0} = N}ℙ{X_{0} = N} =
= (P^{3})_{P P} · \frac{1}{2} + (P^{3})_{NP} · \frac{1}{2}

dove abbiamo usato le proprietà delle catene di Markov; calcolando il cubo della matrice P, otteniamo

P^{3} = ( \begin{matrix}0.38 & 0.62 \\ 0.372 & 0.628 \end{matrix} )

e abbiamo quindi

ℙ\{X_{3} = P \} = 0.38 · \frac{1}{2} + 0.372 · \frac{1}{2} = 0.376

3. In questo caso la legge iniziale è μ = δ_{P}; dobbiamo calcolare

ℙ{X_{3} = X_{2} = X_{1} = P } = ℙ{X_{3} = X_{2} = X_{1} = P |X_{0} = P }ℙ{X_{0} = P } +
+ℙ{X_{3} = X_{2} = X_{1} = P |X_{0} = N}ℙ{X_{0} = N} =
= ℙ{X_{3} = X_{2} = X_{1} = P |X_{0} = P } · 1 +
+ℙ{X_{3} = X_{2} = X_{1} = P |X_{0} = N} · 0 =
= ℙ{X_{3} = P, X_{2} = P, X_{1} = P |X_{0} = P } =
= P_{P P} · P_{P P} · P_{P P} = 0.5^{3} = 0.125

Esame di Calcolo delle Probabilità del 4 luglio 2006

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Rosestolato Mauro 30.5

Visione compiti e orali: martedì 11 luglio ore 14.30 nel mio studio, oppure su appuntamento.