Teoria della misura

Tiziano Vargiolu

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

via Belzoni, 7 - 35131 Padova

email: vargiolu@galileo.math.unipd.it

1 ottobre 2001

Indice

Introduzione iii

1 Teoria della misura 1 1.1 Definizione di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Misure esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Misura di Lebesgue e misure di Borel sulla retta reale . . . . . . . . . . . . 9

2 Integrazione 13 2.1 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Integrazione di funzioni non negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Integrale di funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Convergenza in misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Misure prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Integrale di Lebesgue n-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8 Integrali dipendenti da parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A Complementi 31 A.1 Insieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 A.2 Integrazione di funzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

B Temi di esame con soluzioni 34 B.1 Prova scritta del 28 gennaio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 B.2 Prova scritta del 18 febbraio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B.3 Prova scritta dell’11 giugno 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 B.4 Prova scritta del 2 luglio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 B.5 Prova scritta del 10 settembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B.6 Prova scritta del 27 settembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B.7 Prova scritta del 26 gennaio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 B.8 Prova scritta del 18 febbraio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 B.9 Prova scritta del 14 giugno 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 B.10 Prova scritta del 5 luglio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 B.11 Prova scritta del 21 settembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 B.12 Prova scritta del 16 novembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 B.13 Prova scritta del 21 dicembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B.14 Prova scritta del 20 febbraio 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 B.15 Prova scritta del 7 luglio 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 B.16 Prova scritta del 9 settembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 B.17 Prova scritta del 19 settembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Introduzione

Questo lavoro riprende un corso di esercitazioni di Istituzioni di Analisi Superiore in cui mi era stato chiesto di fare una breve introduzione alla teoria della misura. Ho quindi cercato di procedere in modo che uno studente del terzo anno del corso di laurea in Matematica arrivasse in poco tempo (una decina di ore) a poter utilizzare i classici teoremi di limite dell’integrazione di Lebesgue (Beppo Levi, Fatou e convergenza dominata), partendo dalla definizione di spazio misurabile e di misura. È stato dedicato anche abbastanza spazio alla costruzione della misura di Lebesgue n-dimensionale, che é stato l’esempio che storicamente ha fatto nascere la teoria della misura come la conosciamo oggi. La referenza principale per questo lavoro è stata il libro di Folland [2], a cui si rimanda per approfondimenti. Alla fine sono stati poi inseriti i temi di esame relativi alla teoria della misura dati all’Università di Padova negli appelli dall’Anno Accademico 1998-’99.

Vista l’origine di questo lavoro, esso può essere utilizzato per una breve ma rigorosa introduzione alla teoria della misura nei corsi di Analisi II (per quanto riguarda l’integrale di Lebesgue) e di Istituzioni di Analisi Superiore. A questo scopo si consiglia di svolgere le sezioni 1.1, 1.2 (senza la dimostrazione del teorema di Caratheodory), 1.3 (eventualmente omettendo la dimostrazione della proposizione 1.25), 1.4 (limitandosi al caso in cui A è finito), 2.1 (concentrandosi eventualmente solo sulle funzioni reali), 2.2, 2.3 (concentrandosi eventualmente solo sulle funzioni reali), 2.6, 2.7. Dato che la teoria è stata trattata in modo abbastanza generale, il materiale può essere utilizzato anche nell’ambito di un corso di Calcolo delle Probabilità.

Capitolo 1

Teoria della misura

1.1 Definizione di misura

Definizione 1.1 Prendiamo un insieme X e una famiglia M di sottoinsiemi di X (nel seguito si indicherà questo con M ⊆ P(X)). Diciamo che M è un’algebra se:

i) ∅ ∈ M

ii) A ∈ M ⇒ A^{c} ∈ M (M è chiusa per complemento) iii) A, B ∈ M ⇒ A ∪ B ∈ M (M è chiusa per unione finita)

Osserviamo che dalla definizione di algebra segue che X ∈ M e che A, B ∈ M ⇒ A ∩ B ∈ M, cioé che M è chiusa per intersezione finita. Infatti si può ottenere A ∩ B in questo modo:

A ∩ B = (A^{c} ∪ B^{c})^{c}

Definizione 1.2 Prendiamo un’algebra M ⊆ P(X). Una funzione d’insieme μ : M → [0, +∞] si dice finitamente additiva o misura finitamente additiva se:

i) μ(∅) = 0 ii) A, B ∈ M, A ∩ B = ∅ ⇒ μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B)

Teorema 1.3 Sia μ una misura finitamente additiva. Allora:

a) A, B ∈ M, A ⊆ B ⇒ μ(A) ≤ μ(B) (μ è monotona)

b) A, B ∈ M, A ⊆ B, μ(A) < +∞ ⇒ μ(B \ A) = μ(B) − μ(A)

c) A_{1}, …, A_{n} ∈ M ⇒ μ(⋃_{i=1}^{n} A_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{n} μ(A_{i}) (μ è subadditiva) Dimostrazione. a) Poiché B = A ∪ (B \ A), si ha che μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) ≥ μ(A).

b) Se μ(A) < +∞, allora si può sottrarre μ(A) da entrambi i membri della relazione μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) e si ottiene la tesi. c) Si ha

⋃_{i=1}^{n} A_{i} = A_{1} ∪ (A_{2} \ A_{1}) ∪ … ∪ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i})

e dunque

μ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = μ(A_{1}) + μ(A_{2} \ A_{1}) + … + μ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i})

Applicando (a) si ottiene la tesi. □

Esempio 1.4 Prendiamo un insieme X finito e A = P(X). Allora A é un’algebra. Se poi prendiamo una generica funzione f : X ∈ [0, +∞], allora questa definisce una misura finitamente additiva in questo modo:

μ(A) = ∑_{x∈A} f(x)

Esempio 1.5 (“misura” di Jordan-Riemann) Prendiamo X = ℝ e

A = {⋃_{i=1}^{n} I_{i} | I_{i} intervalli disgiunti}

Allora A è un’algebra; se poi per un generico intervallo I di estremi a < b (quindi della forma (a, b), [a, b), (a, b] o [a, b]) definiamo μ(I) = b − a, allora possiamo estendere μ ad A in questo modo:

μ(⋃_{i=1}^{n} I_{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ(I_{i})

Questa funzione è nota come misura di Jordan-Riemann. Nonostante il nome, è una misura finitamente additiva, e non una misura nel senso della teoria della misura. Tuttavia la teoria della misura è nata proprio per estendere la misura di Riemann ad insiemi più generali di quelli di A.

Definizione 1.6 Prendiamo un insieme X e una famiglia M ⊆ P(X). Diciamo che M è una σ-algebra se:

i) ∅ ∈ M

ii) A ∈ M ⇒ A^{c} ∈ M

iii) A_{n} ∈ M ∀n ≥ 1 ⇒ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ M (M è chiusa per unione numerabile)

Osserviamo che una σ-algebra è anche un’algebra, quindi una σ-algebra è chiusa anche per complemento, per unione finita e per intersezione finita. Inoltre essa è chiusa anche per intersezione numerabile (esercizio).

Definizione 1.7 Prendiamo una σ-algebra M ⊆ P(X). Una funzione d’insieme μ : M → [0, +∞] si dice misura se:

i) μ(∅) = 0

ii) A_{n} ∈ M ∀n ≥ 1, A_{n} disgiunti ⇒ μ(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

Presentiamo ora un concetto che mette insieme gli oggetti delle ultime due definizioni. Diamo inoltre un po’ di terminologia di teoria della misura.

Definizione 1.8 Si dice spazio misurato una terna (X, M, μ), dove X è un insieme generico, M ⊆ P(X) è una σ-algebra, e μ è una misura su M. La coppia (X, M) (senza specificare la misura μ) si dice spazio misurabile. Gli insiemi A ∈ M si dicono insiemi misurabili. Se A ∈ M, μ(A) = 0, allora A si dice insieme trascurabile. Se una proprietà vale ∀x ∈ X \ A, con A trascurabile, allora si dice che la proprietà vale quasi ovunque (abbreviato q.o.). Infine, la misura μ su X si dice finita se μ(X) < +∞, e si dice σ-finita se esiste una partizione X = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} tale che μ(A_{n}) < +∞ per ogni n.

Le misure godono naturalmente di tutte le proprietà delle misure finitamente additive; in particolare, sono monotone e (finitamente) subadditive. Si può dimostrare tuttavia che esse godono di altre proprietà:

Teorema 1.9 Sia (X, M, μ) uno spazio misurato. Allora

a) se A, B ∈ M, A ⊆ B, allora μ(A) ≤ μ(B) (monotonia)

b) se (A_{n})_{n} ⊆ M, allora μ(⋃_{i=1}^{∞} A_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(A_{i}) (subadditività numerabile)

c) se (A_{n})_{n} ⊆ M, A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ ⋯, allora μ(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) (continuità dal basso)

d) se (A_{n})_{n} ⊆ M, A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯, e μ(A_{n}) < +∞ per qualche n, allora μ(⋂_{n=1}^{∞} A_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) (continuità dall’alto)

Dimostrazione. a) Vedi teorema 1.3 b) Si ha

⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = A_{1} ∪ (A_{2} \ A_{1}) ∪ … ∪ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}) ∪ …

e dunque

μ ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = μ(A_{1}) + μ(A_{2} \ A_{1}) + … + μ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}) + …

Applicando (a) si ottiene la tesi. c) Poniamo A_{0} = ∅. Allora:

μ ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n} \ A_{n−1}) = lim_{k→∞} ∑_{n=1}^{k} μ(A_{n} \ A_{n−1}) = lim_{k→∞} μ(A_{k})

d) Poniamo B_{i} = A_{n}\A_{i} per i > n. Allora B_{n+1} ⊆ B_{n+2} ⊆ ⋯, μ(A_{n}) = μ(B_{i})+μ(A_{i}) per i > n, e ⋃_{i=n+1}^{∞} B_{i} = A_{n} \ ⋂_{i=1}^{∞} A_{i}. Allora per (c) si ha

μ(A_{n}) = μ (⋂_{i=1}^{∞} A_{i}) + lim_{i→∞} μ(B_{i}) = μ (⋂_{i=1}^{∞} A_{i}) + lim_{i→∞}(μ(A_{n}) − μ(A_{i}))

Siccome μ(A_{n}) < +∞, possiamo sottrarlo da entrambi i lati e otteniamo il risultato. □

Vediamo ora alcuni esempi di spazi misurati.

Esempio 1.10 Prendiamo un insieme X numerabile e M = P(X). Allora M é una σalgebra. Se poi prendiamo una generica funzione f : X → [0, +∞], allora questa definisce una misura su X in questo modo:

μ(A) = ∑_{x∈A} f(x)

Se f(x) < +∞ ∀x ∈ X, allora μ é σ-finita su X.

Esempio 1.11 (delta di Dirac) Prendiamo un insieme generico X e definiamo M = P(X). Prendiamo poi un x ∈ X fissato e definiamo

δ_{x}(A) = \{ \begin{matrix}1 & se x ∈ A \\ 0 & se x ∉ A \end{matrix} ∀A ⊆ X

La δ_{x} è una misura nota come delta di Dirac nel punto x. Essa è una misura finita su X. Il suo ruolo nell’analisi é degno di nota: infatti i “non matematici” (fisici, ingegneri, ecc.) tendono ad usarla nella teoria delle equazioni differenziali come se fosse una funzione reale su X che “vale +∞ in x e 0 altrove. L’esistenza di questa ed altre “funzioni strane” ha fatto sí che si sviluppasse la teoria delle funzioni generalizzate, meglio nota come teoria delle distribuzioni.

Esempio 1.12 (misura che conta i punti) Prendiamo un insieme generico X e definiamo M = P(X), e

μ(A) = Card (A)

La μ è nota come misura che conta i punti. Essa è finita se X è finito, e σ-finita se X è numerabile.

Esempio 1.13 Prendiamo un insieme infinito X e definiamo M = P(X), e

μ(A) = \{ \begin{matrix}+∞ & se A è infinito \\ 0 & se A è finito \end{matrix} ∀A ⊆ X

Allora μ è una misura finitamente additiva, ma non è una misura. Per vedere questo, basta verificare su un insieme numerabile A che μ(A) = 1 ≠ ∑_{x∈A} μ({x}) = 0.

Teorema 1.14 Sia F ∈ P(X) generica. Allora esiste una σ-algebra M che é la più piccola σ-algebra contenente F. M si chiama allora σ-algebra generata da F e si indica con σ(F).

Dimostrazione. Definiamo

M = ⋀_{M′ σ-alg.,F∈M′} M′

cioé M è uguale alla più grande classe contenuta nelle classi M′ della definizione. Siccome P(X) è una σ-algebra, la classe su cui é definita M è non vuota, quindi M è ben definita. Inoltre, si verifica facilmente che M è una σ-algebra che contiene F. Infine, M è la più piccola σ-algebra che contiene F per definizione. □

Definizione 1.15 Se (X, E) è uno spazio topologico, indichiamo con B(X) = σ(E) la σalgebra generata dalla topologia di X. Essa viene comunemente chiamata σ-algebra dei boreliani di X, e i suoi insiemi vengono chiamati boreliani, o insiemi di Borel di X. B(X) contiene gli aperti e i chiusi di X, e anche insiemi più complicati, come unioni infinite di chiusi o intersezioni infinite di aperti.

Esempio 1.16 (estensione della misura di Riemann) Prendiamo X = ℝ e M = B(ℝ). Vorremmo ora estendere la misura di Riemann a B(ℝ) in modo che la misura di un intervallo sia ancora data dalla differenza dei suoi estremi. Purtroppo non possiamo ancora fare questo con la teoria che abbiamo finora; vedremo però nella prossima sezione come estendere questa teoria, fino ad arrivare a costruire una tale misura (e molte altre).

Presentiamo infine un concetto che ci sarà utile in seguito.

Definizione 1.17 Una σ-algebra M si dice completa rispetto alla misura μ se contiene tutti i sottoinsiemi degli insiemi trascurabili, cioé se μ(A) = 0 implica che B ∈ M ∀B ⊆ A.

Teorema 1.18 Se (X, M, μ) è uno spazio misurato, e chiamiamo

N = {N ∈ M | μ(N) = 0}

la classe degli insiemi trascurabili, e

M̄ = {E ∪ F | E ∈ M, F ⊆ N per qualche N ∈ N }

allora M̄ è una σ-algebra completa rispetto a μ̄, che è l’unica estensione di μ a M̄. M̄ si chiama completamento di M rispetto a μ.

Dimostrazione. Siccome M e N sono chiuse per unioni numerabili, anche M̄ lo é. Preso un generico elemento E ∪ F ∈ M̄, con F ⊂ N ∈ N, possiamo assumere che E ∩ N = ∅ (altrimenti possiamo rimpiazzare F, N con F \E, N \E). Allora E∪F = (E∪N)∩(N^{c}∪F), quindi (E ∪ F)^{c} = (E ∪ N)^{c} ∪ (N \ F). Ma (E ∪ N)^{c} ∈ M e (N \ F) ⊆ N ∈ N, quindi (E ∪ F)^{c} ∈ M̄, e quindi M̄ è una σ-algebra. Estendiamo ora μ a M in questo modo: per E ∪ F ∈ M̄, con F ⊂ N ∈ N, poniamo μ̄(E ∪ F) = μ(E). Questa misura è ben definita, poiché se E_{1} ∪ F_{1} = E_{2} ∪ F_{2}, con F_{j} ⊂ N_{j} ∈ N, allora E_{1} ⊂ E_{2} ∪ N_{2}, quindi μ(E_{1}) ≤ μ(E_{2}) + μ(N_{2}) = μ(E_{2}), e allo stesso modo μ(E_{2}) ≤ μ(E_{1}). Si verifica facilmente che μ̄ é una misura completa su M̄, e che μ̄ è la sola misura su M̄ che estende μ; i dettagli sono lasciati per esercizio. □

1.2 Misure esterne

Definizione 1.19 Prendiamo un insieme X. Una funzione d’insieme μ^{∗} : P(X) → [0, +∞] si dice misura esterna se:

i) μ^{∗}(∅) = 0

ii) A ⊆ B ⇒ μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B)

iii) μ^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n})

Questi oggetti si chiamano misure esterne a causa del modo usuale in cui vengono costruiti, che vediamo nella prossima proposizione.

Proposizione 1.20 Siano E ⊆ P(X) e ρ : E → [0, +∞] tali che ∅ ∈ E, X ∈ E e ρ(∅) = 0. Per ogni A ⊆ X poniamo

μ^{∗}(A) = inf {∑_{n=1}^{∞} ρ(E_{n}) | E_{n} ∈ E, A ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} E_{n}}

Allora μ^{∗} è una misura esterna.

Dimostrazione. Siccome X ∈ E, per ogni A ⊆ X la famiglia (E_{n}) definita da E_{n} = X ∀n è un ricoprimento di A in E, e quindi l’insieme di definizione di μ^{∗} non è vuoto e la definizione ha senso. Abbiamo poi che μ^{∗}(∅) = 0 (basta prendere E_{n} = ∅ ∀n). Inoltre se A ⊆ B, allora ogni ricoprimento di B è anche un ricoprimento di A, quindi l’insieme di definizione di μ^{∗}(A) è più grande di quello di μ^{∗}(B), e quindi μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B). Infine, se (A_{n})_{n} ⊆ P(X), allora per ogni ε > 0 e per ogni n esiste un ricoprimento (E_{j}^{n})_{j} di A_{n} tale che A_{n} ⊆ ⋃_{j=1}^{∞} E_{j}^{n} e μ^{∗}(A_{n}) + ε2^{−n} ≥ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(E_{j}^{n}). Allora ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ⊆ ⋃_{j,n=1}^{∞} E_{j}^{n} e μ^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) + ε ≥ ∑_{j,n=1}^{∞} μ^{∗}(E_{j}^{n}), e quindi μ^{∗}(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A^{n}). Siccome ε è arbitrario, abbiamo la tesi. □

Se μ^{∗} è una misura esterna su X, un insieme A ⊆ X é chiamato μ^{∗}-misurabile o misurabile secondo Caratheodory se

μ^{∗}(E) = μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c}) ∀E ⊆ X

Teorema 1.21 (Caratheodory) Se μ^{∗} è una misura esterna su X, e chiamiamo M = {A ⊆ X | A è μ^{∗}-misurabile}, allora M è una σ-algebra, e la restrizione μ di μ^{∗} a M è una misura completa.

Dimostrazione. M è chiuso per complemento, poiché la definizione di μ^{∗}-misurabilità di A è simmetrica in A e A^{c}. Inoltre, se A, B ∈ M e E ⊂ X, per subadditività abbiamo:

μ^{∗}(E) = μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c}) =
= μ^{∗}(E ∩ A ∩ B) + μ^{∗}(E ∩ A ∩ B^{c}) + μ^{∗}(E ∩ A^{c} ∩ B) + μ^{∗}(E ∩ A^{c} ∩ B^{c}) ≥
≥ μ^{∗}(E ∩ (A ∪ B)) + μ^{∗}(E ∩ (A ∪ B)^{c})

Ne segue che anche A ∪ B ∈ M, quindi M é un’algebra. Inoltre, se A, B ∈ M e A ∩ B = ∅, allora:

μ^{∗}(A ∪ B) = μ^{∗}((A ∪ B) ∩ A) + μ^{∗}((A ∪ B) ∩ A^{c}) = μ^{∗}(A) + μ^{∗}(B)

quindi μ^{∗} è finitamente additiva su M. Per mostrare che M é una σ-algebra è sufficiente mostrare che M è chiusa per unione disgiunta numerabile. Se (A_{j})_{j} è una successione di insiemi disgiunti in M, poniamo B_{n} = ⋃_{j=1}^{n} A_{j} e B = ⋃_{j=1}^{∞} A_{j}. Allora per ogni E ⊂ X:

μ^{∗}(E ∩ B_{n}) = μ^{∗}(E ∩ B_{n} ∩ A_{n}) + μ^{∗}(E ∩ B_{n} ∩ A_{n}^{c}) =
= μ^{∗}(E ∩ A_{n}) + μ^{∗}(E ∩ B_{n−1})

quindi per induzione si ha che μ^{∗}(E ∩ B_{n}) = ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(E ∩ A_{j}). Quindi

μ^{∗}(E) = μ^{∗}(E ∩ B_{n}) + μ^{∗}(E ∩ B_{n}^{c}) ≥ ∑_{j=1}^{n} μ^{∗}(E ∩ A_{j}) + μ^{∗}(E ∩ B^{c})

Facendo tendere n → ∞ otteniamo

μ^{∗}(E) ≥ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(E ∩ A_{j}) + μ^{∗}(E ∩ B^{c}) ≥ μ^{∗} (⋃_{j=1}^{∞}(E ∩ A_{j})) + μ^{∗}(E ∩ B^{c}) =
= μ^{∗}(E ∩ B) + μ^{∗}(E ∩ B^{c}) ≥ μ^{∗}(E)

quindi tutte le disuguaglianze nell’ultimo calcolo sono uguaglianze. Ne segue che B ∈ M, e prendendo E = B si ha che μ^{∗}(B) = ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(A_{j}), quindi μ^{∗} é numerabilmente additiva su M. Infine, se μ^{∗}(A) = 0 per ogni E ⊂ A si ha

μ^{∗}(E) ≤ μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c}) = μ^{∗}(E ∩ A^{c}) ≤ μ^{∗}(E)

e quindi A ∈ M, e μ_{|M}^{∗} è una misura completa. □

Vediamo quali applicazioni ha il teorema di Carathéodory. Per fare questo, dobbiamo dare un’altra definizione.

Definizione 1.22 Prendiamo un’algebra A su un insieme X. Una funzione d’insieme μ : A → [0, +∞] si dice premisura se:

i) μ^{∗}(∅) = 0

ii) se (A_{n})_{n} ⊆ A sono disgiunti e tali che ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ A, allora μ(⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n})

Se μ è una premisura su A, allora induce una misura esterna μ^{∗} su X in virtù della proposizione (1.20), definita da

μ^{∗}(E) = inf {∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) | A_{n} ∈ A, E ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}}  (1.1)

Proposizione 1.23 Se μ è una premisura su A e μ è definita da (1.1), allora

a) μ^{∗}|_{A} = μ

b) ogni insieme in A è μ^{∗}-misurabile.

Dimostrazione. (a) Prendiamo un generico elemento E ∈ A. Allora per ogni ricoprimento (A_{n})_{n} ⊆ A, poniamo B_{n} = E ∩(A_{n}\⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}). Allora B_{n} ⊆ A_{n}, i B_{n} sono disgiunti e la loro unione è E, quindi μ(E) = ∑_{n=1}^{∞} μ(B_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}); per l’arbitrarietà del ricoprimento (A_{n})_{n}, ne segue che μ(E) ≤ μ^{∗}(E). La disuguaglianza inversa si ottiene ponendo A_{1} = E e A_{n} = ∅ per n ≥ 2: allora μ^{∗}(E) ≤ μ(E) + 0.

(b) Se A ∈ A, E ⊆ X ed ε > 0, allora esiste un ricoprimento (B_{n})_{n} ⊆ A di E tale che μ^{∗}(E) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞} μ(B_{n}). Siccome μ è additiva su A, abbiamo che

μ^{∗}(E) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞}(μ(B_{n} ∩ A) + μ(B_{n} ∩ A^{c})) ≥ μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c})

Siccome ε è arbitrario, abbiamo che A é μ^{∗}-misurabile. □

Teorema 1.24 Sia A un’algebra, μ una premisura su A e M = σ(A). Allora esiste una misura μ̄ su M tale che μ̄|_{A} = μ. Se μ è σ-finita, allora μ̄ é l’unica estensione di μ ad una misura su M.

Dimostrazione. Il teorema è una conseguenza del teorema di Caratheodory e della proposizione 1.23: infatti, μ induce una misura esterna μ^{∗} sulla σ-algebra degli insiemi μ^{∗}-misurabili, che contiene A, e quindi contiene M. Inoltre μ^{∗}|_{A} = μ.

Dimostriamo ora che l’estensione è unica. Supponiamo che ν sia un’altra misura tale che ν|_{A} = μ. Prendiamo E ∈ M tale che E ⊆ ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}, con A_{i} ∈ A; allora ν(E) ≤ ∑_{i=1}^{∞} ν(A_{i}) = ∑_{i=1}^{∞} μ(A_{i}), e da questo segue che ν(E) ≤ μ̄(E). Se chiamiamo A = ⋃_{i=1}^{∞} A_{i}, allora abbiamo che

ν(A) = lim_{n→∞} ν (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = lim_{n→∞} μ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = μ̄(A)

Se μ̄(E) < +∞, allora possiamo scegliere gli A_{i} in modo che μ̄(A) < μ̄(E)+ε, cioé μ̄(A\E) < ε; allora:

μ̄(E) ≤ μ̄(A) = ν(A) = ν(E) + ν(A \ E) ≤ ν(E) + μ̄(A \ E) ≤ ν(E) + ε

Siccome ε è arbitrario, segue che μ̄(E) = ν(E). Quindi, se μ è σ-finita, abbiamo che X = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}, con μ(A_{n}) < +∞, e possiamo supporre che gli A_{n} siano disgiunti. Allora per ogni E ∈ M:

μ̄(E) = ∑_{n=1}^{∞} μ̄(E ∩ A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} ν(E ∩ A_{n}) = ν(E)

e quindi ν = μ̄. □

La dimostrazione del teorema prova più del suo enunciato: infatti ad esempio possiamo notare che se partiamo da uno spazio misurato (X, M, μ) ed eseguiamo la costruzione vista in questa sezione, allora la misura esterna μ^{∗} costruita tramite il teorema di Caratheodory può essere ristretta ad una misura sulla σ-algebra M^{∗} dei μ^{∗}-misurabili che in generale contiene M; se μ è σ-finita, si può provare che M^{∗} è il completamento di M.

1.3 Misura di Lebesgue e misure di Borel sulla retta reale

In questa sezione costruiremo misure su (ℝ, B(ℝ)). Queste misure si chiamano misure di Borel su ℝ. Da qui in poi considereremo intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra su ℝ, cioé della forma (a, b], oppure (a, +∞), oppure ∅, con a ∈ ℝ ∪ {−∞}, b ∈ ℝ; chiamiamo questi intervalli h-intervalli (h sta per half-open). Chiamiamo A l’algebra generata da tali intervalli, che è possibile esplicitare in questo modo:

A = {⋃_{i=1}^{n} I_{i} | I_{i} h-intervallo}

Ricordiamo che σ(A) = B(ℝ).

Prendiamo ora una funzione F : ℝ → ℝ crescente. Diciamo che F é continua a destra se per ogni a ∈ ℝ si ha

F (a) = lim_{x→a^{+}} F (x)

Inoltre abbiamo che i limiti F (+∞) = lim_{x→+∞} F (x) e F (−∞) = lim_{x→−∞} F (x) esistono (e possono essere finiti o infiniti). Vogliamo ora definire una misura μ a partire da F in modo che

μ((a, b]) = F (b) − F (a)

Per fare questo, basterà dimostrare che la μ definisce una premisura. Questo, in virtù di quanto dimostrato nella sezione precedente, basterà a costruire la misura. Notiamo che, se poniamo F (x) = x, allora otteniamo che μ((a, b]) = b − a. Questa misura sarà quindi l’estensione della “misura” di Riemann che stavamo cercando alla fine della sezione 1.

Proposizione 1.25 Se F è crescente e c.a d., e poniamo

μ (⋃_{i=1}^{n}(a_{i}, b_{i}]) = ∑_{i=1}^{n}(F (b_{i}) − F (a_{i}))

per (a_{i}, b_{i}] intervalli disgiunti, e μ(∅) = 0; allora μ è una premisura su A.

Dimostrazione. Prima di tutto notiamo che μ è ben definita su A: infatti, se (I_{i})_{i} e (J_{j})_{j} sono famiglie finite di h-intervalli tali che ⋃_{i} I_{i} = ⋃_{j} J_{j}, allora abbiamo che ⋃_{i} I_{i} = ⋃_{ij}(I_{i} ∩ J_{j}) = ⋃_{j} J_{j}, e quindi

μ (⋃_{i} I_{i}) = ∑_{ij} μ(I_{i} ∩ J_{j}) = μ (⋃_{j} J_{j})

quindi μ è ben definita, ed è finitamente additiva per definizione.

Dobbiamo ora mostrare che se (I_{i})_{i∈N} è una successione di h-intervalli disgiunti tale che ⋃_{i} I_{i} ∈ A, allora μ(⋃_{i} I_{i}) = ∑_{i} μ(I_{i}). Per la finita additività di μ, possiamo supporre che ⋃_{i} I_{i} = (a, b] = I; abbiamo allora che per ogni n vale:

μ(I) = μ (⋃_{i=1}^{n} I_{i}) + μ (I \ ⋃_{i=1}^{n} I_{i}) ≥ μ (⋃_{i=1}^{n} I_{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ(I_{i})

Otteniamo quindi che μ(I) ≥ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}). Per provare la disuguaglianza inversa, supponiamo all’inizio che −∞ < a < b < +∞, e fissiamo un ε > 0. Siccome F é continua a destra, esiste un δ > 0 tale che F (a+δ)−F (a) < ε, e se chiamiamo I_{i} = (a_{i}, b_{i}], allora esistono δ_{i} tali che F (b_{i}+δ_{i})−F (b_{i}) < ε2^{−i}. Gli intervalli aperti (a_{i}, b_{i}+δ_{i}) coprono l’insieme [a+δ, b], che è compatto, quindi esiste un ricoprimento finito. Scartando ogni (a_{i}, b_{i} + δ_{i}) contenuto in uno più grande, ed eventualmente riordinando gli indici i, possiamo supporre che gli intervalli (a_{1}, b_{1} +δ_{1}), …, (a_{N}, b_{N} +δ_{N}) coprono [a+δ, b], a_{1} < … < a_{N} e b_{i} +δ_{i} ∈ (a_{i+1}, b_{i+1} +δ_{i+1}) per i = 1, …, N − 1. Allora:

μ(I) ≤ F (b) − F (a + δ) + ε ≤ F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{1}) + ε ≤
= F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{N}) + ∑_{i=1}^{N−1}(F (a_{i+1}) − F (a_{i})) + ε ≤

≤ F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{N}) + ∑_{i=1}^{N−1}(F (b_{i} + δ_{i}) − F (a_{i})) + ε ≤

≤ ∑_{i=1}^{n} μ((a_{i}, b_{i} + δ_{i}]) + ε ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε

Dato che ε è arbitrario, nel caso −∞ < a < b < +∞ abbiamo finito. Se a = −∞, ripetiamo l’argomento e otteniamo F (b) − F (−M) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε per ogni M < ∞, e se b = ∞, otteniamo F (M) − F (a) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε. Allora il risultato segue facendo tendere ε → 0 e M → ∞. □

Teorema 1.26 Se F è crescente e c.a d., allora esiste un’unica misura μ_{F} su B(ℝ) tale che μ_{F} ((a, b]) = F (b) − F (a) per ogni a, b ∈ ℝ, a < b. Se G è un’altra funzione crescente e c.a d., allora μ_{F} = μ_{G} se e solo se G − F è costante. Viceversa, se μ è una misura su B(ℝ) finita su ogni boreliano limitato e definiamo

F (x) = \{ \begin{matrix}μ((0, x]) & se x > 0 \\ 0 & se x = 0 \\ −μ((x, 0]) & se x < 0 \end{matrix}

allora F è c.a d. e crescente, e μ = μ_{F}. Infine, μ_{F} si può estendere a una misura completa μ̄_{F} che è definita in una σ-algebra che in generale contiene di B(ℝ).

Dimostrazione. Grazie alla proposizione precedente, F definisce una premisura μ_{F} su A, che è σ-finita (basta scrivere ℝ = ⋃_{n=1}^{∞}(n, n + 1]). Per il teorema di Caratheodory e le sue conseguenze, si può estendere μ_{F} ad una unica misura (che chiamiamo ancora μ_{F}) su σ(A) = B(ℝ) tale che μ_{F} ((a, b]) = F (b) − F (a) per ogni a, b ∈ ℝ. Se G è crescente e c.a d., anch’essa induce una misura μ_{G}; abbiamo che per ogni a, b ∈ ℝ:

μ_{F} ((a, b]) − μ_{G}((a, b]) = F (b) − F (a) − G(b) + G(a)

e quindi μ_{F} = μ_{G} su A se e solo se F − G é costante; da questo segue la prima parte della tesi. Infine, se μ é una misura su B(ℝ) finita su ogni boreliano limitato, allora la F definita nel teorema è crescente (perché μ è monotona) e c.a d. (perché μ è continua dall’alto e dal basso), e μ = μ_{F} su ogni intervallo (a, b]: ad esempio, se 0 ≤ a < b, si ha che μ((a, b]) = μ((0, b]) − μ((0, a]) = F (b) − F (a) = μ_{F} ((a, b]) (allo stesso modo si fanno i casi a < 0 ≤ b e a < b < 0). □

Facciamo ora alcune note. Intanto, la teoria costruita finora si sarebbe potuta ottenere anche considerando intervalli del tipo [a, b) e funzioni F continue a sinistra. Inoltre, se μ è una misura finita su ℝ, e poniamo F (x) = μ((−∞, x]), allora μ = μ_{F}. La F si chiama allora funzione di distribuzione cumulativa di μ. Queste misure vengono comunemente chiamate misura di Lebesgue-Stieltjes.

Esempio 1.27 (misura di Lebesgue) Se F (x) = x, allora otteniamo che μ((a, b]) = b − a. Questa misura coincide con l’usuale misura di Riemann su A (ma ricordiamo che ha come dominio B(ℝ)) e si chiama misura di Lebesgue. Notiamo inoltre che μ([a, b]) = b−a: infatti [a, b] = ⋂_{n=1}^{∞}(a − 1/n, b], e in particolare (a − 1/n, b] ↘ [a, b], quindi μ([a, b]) = lim_{n→∞} μ((a − 1/n, b]) = b − a + 1/n = b − a. In modo simile si dimostra che μ([a, b)) = μ((a, b)) = b − a.

Facciamo poi notare che che il dominio di μ̄_{F} in generale contiene B(ℝ). Per vedere questo in un caso semplice, basta considerare la funzione F = 1_{{x≥0}}. Allora μ_{F} = δ_{0} è la delta di Dirac nel punto 0 e il completamento é definito su tutta la σ-algebra P(ℝ). Infatti abbiamo che δ_{0}(ℝ \ {0}) = 0, quindi è possibile estendere δ_{0} ad ogni sottoinsieme di ℝ \ {0} assegnandogli misura nulla. Questo esempio può sembrare una patologia, ma questo fenomeno riguarda tutte le misure usate comunemente, e in particolare la misura di Lebesgue m. Infatti anche essa può essere estesa ad una σ-algebra (che chiameremo L) più grande di B(ℝ). Un esempio famoso di insiemi misurabili non boreliani è fornito nel capitolo 3 sezione 1.

Nel seguito indicheremo la misura di Lebesgue con m. Diamo ora un altro risultato (che non dimostreremo) sulla misura di Lebesgue.

Teorema 1.28 Se E ∈ B(ℝ), e r, s ∈ ℝ, poniamo E +s = {x+s | x ∈ E} e rE = {rx | x ∈ E}; allora E + s, rE ∈ B(ℝ) e m(E + s) = m(E), m(rE) = |r|m(E).

Capitolo 2

Integrazione

Nella teoria dell’integrazione di Riemann su ℝ, ∫_{a}^{b} f(x) dx é definito come limite delle somme di Riemann, che sono gli integrali di funzioni costanti sui sottointervalli di [a, b]. Nella teoria dell’integrazione di Lebesgue, vedremo che ∫_{X} f(x) dμ(x) sarà costruito come limite di integrali di funzioni costanti su insiemi misurabili di X. Siccome abbiamo visto che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue possono avere una forma più complessa degli insiemi misurabili secondo Riemann, possiamo estendere l’integrale ad una classe più generale di funzioni. Inoltre costruiremo l’integrale concentrando la nostra attenzione su funzioni a valori reali; notiamo però che la teoria può essere formulata comprendendo anche funzioni a valori complessi o in ℝ^{n}.

2.1 Funzioni misurabili

Definizione 2.1 Se (X, M) e (Y, N) sono spazi misurabili, una funzione f : X → Y si dice (M, N)-misurabile, o più semplicemente misurabile se M ed N sono chiari dal contesto, se f^{−1}(E) ∈ M per ogni E ∈ N.

Quando la funzione f è a valori in ℝ, si usa una terminologia particolare: abbiamo infatti visto che su ℝ le σ-algebre più comunemente usate sono due, B(ℝ) e L, che è il suo completamento rispetto alla misura di Lebesgue. Per questo motivo, si usa questa terminologia quando si parla di funzioni reali.

Definizione 2.2 Se f : ℝ → ℝ, diciamo che f è boreliana se é (B(ℝ), B(ℝ))- misurabile, e diciamo più genericamente che f é misurabile (secondo Lebesgue) se è (L, B(ℝ))-misurabile.

É ovvio che la composizione di funzioni misurabili (secondo la terminologia della definizione 2.1) è misurabile; cioé, se f : X → Y è (M, N)-misurabile e g : Y → Z é (N , O)-misurabile, allora g ∘ f : X → Z é (M, O)-misurabile. Notiamo poi che se f : X → Y e (Y, N) é uno spazio misurabile, allora si può rendere f misurabile costruendo la σ-algebra M = f^{−1}(N) su X, dove f^{−1} : P(Y) → P(X) è la mappa inversa di f, definita da f^{−1}(F) = {x ∈ X | f(x) ∈ F }. Infatti f^{−1} commuta con unioni, intersezioni e complementi, quindi M è una σ-algebra.

Le cose cambiano se si considerano funzioni reali: secondo la definizione 2.2, una funzione boreliana è anche misurabile secondo Lebesgue, ma non viceversa. Inoltre se f e g sono due funzioni misurabili, non è detto che f ∘ g lo sia. Se però f é boreliana, allora f ∘ g ha la stessa misurabilità di g.

Proposizione 2.3 Se N = σ(E), allora f è (M, N)-misurabile se e solo se f^{−1}(E) ∈ M per ogni E ∈ E.

Dimostrazione. L’implicazione “solo se” è banale. Per l’inverso, osserviamo che la classe {E ∈ Y | f^{−1}(E) ∈ M} è una σ-algebra che contiene E, quindi contiene anche N. □

Corollario 2.4 Se X e Y sono spazi topologici, allora ogni funzione continua f : X → Y è anche (B(X), B(Y))-misurabile.

Dimostrazione. f è continua se e solo se f^{−1}(U) è aperto in X per ogni aperto U ⊆ Y; siccome B(Y) è generata dagli aperti di Y, la tesi segue dalla proposizione 2.3. □

Proposizione 2.5 f : X → ℝ è M-misurabile se e solo se una delle 4 condizioni equivalenti qui sotto è verificata:

1. f^{−1}((a, ∞)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

2. f^{−1}([a, ∞)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

3. f^{−1}((−∞, a)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

4. f^{−1}((−∞, a]) ∈ M ∀a ∈ ℝ

Dimostrazione. Segue dalla proposizione 2.3 e dal fatto che gli insiemi (a, ∞) (cosí come quelli degli altri 3 tipi) generano B(ℝ). □

Definizione 2.6 Se X è un insieme, (Y_{α}, N_{α}) sono spazi misurabili e f_{α} : X → Y_{α} sono funzioni, per α ∈ A, allora si dice σ-algebra generata dalle (f_{α})_{α} la σ-algebra M = σ(f_{α}^{−1}(E_{α}) | E_{α} ∈ M_{α}, α ∈ A). Essa si indica anche con σ(f_{α}), ed è la più piccola σ-algebra tale che le (f_{α})_{α} siano tutte misurabili.

Un esempio molto importante di σ-algebra generata è quello di σ-algebra prodotto. Supponiamo di avere gli spazi misurabili (X_{α}, M_{α}), dove α ∈ A è un parametro, e di volere costruire una struttura di spazio misurabile sullo spazio prodotto X = Π_{α∈A}X_{α}. Nel seguito chiamiamo π_{α} : X → X_{α} la proiezione sulla α-esima coordinata.

Definizione 2.7 Si chiama σ-algebra prodotto la σ-algebra

M = ⨂_{α∈A} M_{α} = σ{π_{α}^{−1}(E_{α}) | E_{α} ∈ M_{α}, α ∈ A}

La σ-algebra prodotto è quindi uguale alla σ-algebra generata dalle proiezioni sulle coordinate. Se gli spazi (X_{α}, M_{α}) sono tutti uguali a un (X, M), la σ-algebra prodotto si può anche indicare con M^{⊗A}. Se poi A = {1, …, n}, allora la σ-algebra prodotto si può anche indicare con M_{1} ⊗ … ⊗ M_{n} o con M^{⊗n}.

Proposizione 2.8 Se A è finito o numerabile, allora ⊗_{α∈A}M_{α} è generata da {Π_{α∈A}E_{α} | E_{α} ∈ M_{α}}

Dimostrazione. Abbiamo che π_{α}^{−1}(E_{α}) = Π_{β∈A}E_{β}, con E_{β} = X_{β} per β ≠ α, quindi ⊗_{α∈A}M_{α} è contenuta in σ{Π_{α∈A}E_{α} | E_{α} ∈ M_{α}}. D’altra parte, Π_{α∈A}E_{α} = ⋂_{α∈A} π_{α}^{−1}(E_{α}). Siccome questa è un’intersezione numerabile, allora Π_{α∈A}E_{α} ∈ ⊗_{α∈A}M_{α}. □

Corollario 2.9 B(ℝ^{n}) = B(ℝ)^{⊗n}.

Vediamo ora un importante risultato sugli spazi prodotto.

Proposizione 2.10 Siano (X, M), (Y_{α}, N_{α}) (α ∈ A) spazi misurabili, e poniamo Y = ∏_{α} Y_{α}, N = ⊗_{α}N_{α}, e π_{α} : Y → Y_{α} la proiezione canonica; allora f : X → Y è (M, N)- misurabile se e solo se π_{α} ∘ f é (M, N_{α})-misurabile per ogni α ∈ A.

Dimostrazione. Se f è misurabile, allora anche le π_{α} ∘ f lo sono, perché composizioni di funzioni misurabili. Viceversa, se le π_{α} ∘ f sono misurabili, questo significa che f^{−1}(π_{α}^{−1}(E_{α})) ∈ M; siccome N è generata da π_{α}^{−1}(E_{α}), la tesi segue dalla proposizione 2.3. □

Corollario 2.11 Se f, g : X → ℝ sono misurabili, allora anche f + g e fg lo sono.

Dimostrazione. Definiamo F : X → ℝ × ℝ, φ, ψ : ℝ × ℝ → ℝ come F = (f, g), φ(x, y) = x + y e ψ(x, y) = xy. Allora, siccome B(ℝ^{2}) = B(ℝ)^{⊗2}, F è misurabile; inoltre φ e ψ sono continue, quindi sono misurabili. Siccome infine f + g = φ ∘ F e fg = ψ ∘ F sono composizioni di funzioni misurabili, allora sono misurabili. □

La proposizione 2.10 ha quindi la conseguenza che le funzioni misurabili su ℝ formano un’algebra. Vediamo ora come le funzioni misurabili conservino anche la strutture di limite su ℝ. Per fare questo ci servirà considerare funzioni sulla retta reale estesa. Prendiamo lo spazio ℝ̄ = [−∞, ∞]. Questo ha una sua topologia (ad esempio considerando ℝ̄ come spazio metrico, dotato della metrica ρ(x, y) = |arctg y − arctg x|), e quindi si può definire la σ-algebra B(ℝ̄) (si può verificare che B(ℝ̄) è generata dagli insiemi (a, ∞] o dagli insiemi [−∞, a)). Diciamo che f : X → ℝ̄ è misurabile se è (M, B(ℝ̄))-misurabile. Allora le conseguenze della proposizione 2.10 (e in particolare il corollario 2.11) rimangono valide anche per funzioni a valori in ℝ̄, a condizione di fare attenzione alle espressioni indeterminate come ∞ − ∞ (l’espressione 0 · ∞ di solito in teoria della misura si pone uguale a 0 per convenzione).

Proposizione 2.12 Se (f_{n})_{n} è una successione di funzioni misurabili a valori in ℝ̄ su (X, M), allora le funzioni

g_{1}(x) = sup_{n} f_{n}(x), g_{2}(x) = inf_{n} f_{n}(x), g_{3}(x) = lim sup_{n→∞} f_{n}(x), g_{4}(x) = lim inf_{n→∞} f_{n}(x)

sono misurabili. Se poi f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) esiste per ogni x ∈ X, allora è misurabile.

Dimostrazione. Abbiamo g_{1}^{−1}((a, ∞]) = ⋃_{n=1}^{∞} f_{n}^{−1}((a, ∞]), e g_{2}^{−1}([−∞, a)) = ⋂_{n=1}^{∞} f_{n}^{−1}([−∞, a)). Siccome l’unione e l’intersezione sopra sono numerabili, allora g_{1} e g_{2} sono misurabili. Allo stesso modo abbiamo che g_{3} e g_{4} sono misurabili perché g_{3} = inf_{n} sup_{j≥n} f_{j} e g_{4} = sup_{n} inf_{j≥n} f_{j}. Infine, se f esiste, allora si ha che f = g_{3} = g_{4}, e quindi f é misurabile. □

Corollario 2.13 Se f, g : X → ℝ̄ sono misurabili, allora anche max(f, g) e min(f, g) lo sono.

A questo punto possiamo presentare una utile decomposizione di funzioni: se f : X → ℝ, definiamo parte positiva e parte negativa di f le funzioni

f^{+}(x) = max(f(x), 0), f^{−}(x) = − min(f(x), 0)

Allora f = f^{+} − f^{−}; inoltre, se f è misurabile, allora anche f^{+} ed f^{−} lo sono. Grazie a questa decomposizione, possiamo nel seguito limitarci a lavorare con funzioni reali a valori positivi.

Presentiamo ora degli esempi molto importanti di funzioni misurabili. Se (X, M) è uno spazio misurabile, e E ∈ M, definiamo funzione caratteristica di E (o anche funzione indicatrice) la funzione

χ_{E}(x) = 1_{E}(x) = I_{E}(x) = \{ \begin{matrix}1 & se x ∈ E \\ 0 & se x ∉ E \end{matrix}

Chiamiamo poi funzione semplice una combinazione lineare finita (a coefficienti reali) di funzioni caratteristiche. Allora una funzione semplice è della forma φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x). Tuttavia φ può essere rappresentata in vari modi, e in particolare possiamo avere che a_{i} = a_{j} per i ≠ j. Se però abbiamo Imm (φ) = {a_{1}, …, a_{n}} e poniamo E_{i} = φ^{−1}({a_{i}}), allora possiamo rappresentare φ come φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x), con a_{i} ≠ a_{j} per i ≠ j. Questa si chiama rappresentazione standard di φ.

É chiaro che se φ e ψ sono funzioni semplici, allora anche φ+ψ e φψ lo sono. Vediamo ora come le funzioni semplici possono approssimare le funzioni misurabili.

Teorema 2.14 Se (X, M) è uno spazio misurabile, e f : X → [0, ∞] é misurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici (φ_{n})_{n} tali che 0 ≤ φ_{1} ≤ … ≤ φ_{n} ≤ … ≤ f, φ_{n} → f puntualmente, e φ_{n} → f uniformemente su ogni insieme su cui f è limitata.

Dimostrazione. Prendiamo n ∈ N e definiamo per ogni k tra 0 e 2^{2n} − 1,

E_{n}^{k} = f^{−1}((k2^{−n}, (k + 1)2^{−n}]), F_{n} = f^{−1}((2^{n}, ∞])

Definiamo poi

φ_{n}(x) = ∑_{k=0}^{2^{2n}−1} k2^{−n}1_{E_{n}^{k}}(x) + 2^{n}1_{F_{n}}(x)

Allora si ha facilmente che φ_{n} ≤ φ_{n+1} per ogni n, e che 0 ≤ f − φ_{n} ≤ 2^{−n} sugli insiemi in cui f ≤ 2^{n}. Il risultato segue facilmente. □

Se (X, M, μ) è uno spazio misurabile, a volte potrebbe farci comodo studiare le funzioni misurabili trascurando gli insiemi di misura nulla. Vediamo nei due risultati che seguono (senza dimostrazione) che se M é completa rispetto a μ, allora la cosa si può fare facilmente.

Proposizione 2.15 Se M è completa rispetto a μ, allora:

a) se f è misurabile e f = g q.o., allora anche g é misurabile

b) se le (f_{n})_{n} sono misurabili e f_{n} → f q.o., allora f è misurabile.

Avevamo visto che se le (f_{n})_{n} sono misurabili e convergono a f ovunque, allora anche f è misurabile. La proposizione che abbiamo appena visto permette di dire che il risultato vale anche se invece di una convergenza certa si ha una convergenza quasi certa. Nella prossima proposizione vediamo che, anche se μ non è completa, non ci si deve preoccupare troppo.

Proposizione 2.16 Se (X, M, μ) è uno spazio misurabile, e (X, M̄, μ̄) é il suo completamento, e se f è M̄-misurabile, allora esiste una funzione M-misurabile g tale che g = f μ̄-quasi ovunque.

2.2 Integrazione di funzioni non negative

In questa sezione fissiamo uno spazio misurato (X, M, μ) e chiamiamo L^{+} = L^{+}(X, M, μ) lo spazio delle funzioni misurabili da X a [0, ∞].

Definizione 2.17 Se φ è una funzione semplice in L^{+} con rappresentazione standard ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, definiamo l’integrale di φ su X rispetto a μ come

∫_{X} φ dμ = ∫_{X} φ(x) μ(dx) = ∫_{X} φ(x) dμ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i})

con la solita convenzione che 0 · ∞ = 0. Notiamo che ∫_{X} φ dμ può essere uguale a +∞. Se A ∈ M, definiamo l’integrale di φ su A come ∫_{A} φ dμ = ∫_{X} 1_{A}φ dμ.

Esempio 2.18 Se (X, M, μ) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n}), m_{n}), dove m_{n} è la misura di Lebesgue su ℝ^{n}, allora l’integrale di φ si indica semplicemente come

∫_{ℝ^{n}} φ(x) dx = ∫_{ℝ^{n}} φ(x) dm_{n}(x)

Notiamo che l’integrale di Lebesgue coincide con quello di Riemann sulle funzioni semplici ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, con E_{i} unioni finite di rettangoli.

Proposizione 2.19 Se φ e ψ sono funzioni semplici in L^{+}, allora:

a) se c ≥ 0, allora ∫_{X} cφ dμ = c ∫_{X} φ dμ

b) ∫_{X}(φ + ψ) dμ = ∫_{X} φ dμ + ∫_{X} ψ dμ

c) se φ ≤ ψ, allora ∫_{X} φ dμ ≤ ∫_{X} ψ dμ (monotonia)

d) la funzione A → ∫_{A} φ dμ è una misura su M

Dimostrazione. a) basta applicare la definizione di integrale

b) prendiamo le rappresentazioni standard φ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}} e φ = ∑_{j=1}^{m} a_{j}1_{F_{j}}. Siccome E_{i} = ⋃_{j=1}^{m} E_{i} ∩ F_{j} e F_{j} = ⋃_{i=1}^{n} E_{i} ∩ F_{j}, e le unioni sono disgiunte, l’additività finita di μ implica

∫_{X}(φ + ψ) dμ = ∫_{X} ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{j})1_{E_{i}∩F_{j}} dμ = ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{j})μ(E_{i} ∩ F_{j}) =

= ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i} ∩ F_{j}) + ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} b_{j}μ(E_{i} ∩ F_{j}) =

= ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i}) + ∑_{j=1}^{m} b_{j}μ(F_{j}) = ∫_{X} φ dμ + ∫_{X} ψ dμ

c) se φ ≤ ψ, allora a_{i} ≤ b_{j} ogni volta che E_{i} ∩ F_{j} ≠ ∅, quindi

∫_{X} φ dμ = ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i} ∩ F_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} b_{j}μ(E_{i} ∩ F_{j}) = ∫_{X} ψ dμ

d) l’unica cosa da provare è l’additività numerabile: se (A_{j})_{j} sono disgiunti e chiamiamo A = ⋃_{j=1}^{∞} A_{j}, allora

∫_{A} φ dμ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(A ∩ E_{i}) = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(A_{j} ∩ E_{i}) = ∑_{j=1}^{∞} ∫_{A_{j}} φ dμ

□

I punti (a) e (b) della proposizione ci dicono che l’integrale è una funzione lineare da L^{+} in ℝ. Estendiamo ora l’integrale a tutte le funzioni in L^{+}.

Definizione 2.20 Se f è una funzione in L^{+}, definiamo l’integrale di f su X rispetto a μ come

∫_{X} f dμ = sup {∫_{X} φ dμ | φ semplice, 0 ≤ φ ≤ f}

Per la proposizione 2.19(c), le due definizioni di ∫_{X} f dμ coincidono quando f è semplice. Inoltre, la proposizione 2.19 resta valida nei punti (a) e (c) (che si dimostrano usando la definizione di integrale) anche se le φ e ψ non sono semplici, ma in L^{+}. Vediamo ora i teoremi fondamentali della teoria dell’integrazione secondo Lebesgue.

Teorema 2.21 (di Beppo Levi, o della convergenza monotona) Se (f_{n})_{n} è una successione di funzioni in L^{+} tale che f_{n} ≤ f_{n+1} per ogni n, e f = lim_{n→∞} f_{n}(= sup_{n} f_{n}), allora ∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. La successione reale (∫_{X} f_{n} dμ)_{n} è monotona, quindi ha limite (anche uguale a +∞). Inoltre, ∫_{X} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f dμ per ogni n, quindi lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f dμ. Per la disuguaglianza inversa, fissiamo α ∈ (0, 1), prendiamo una funzione semplice φ tale che 0 ≤ φ ≤ f, e poniamo E_{n} = {x | f_{n}(x) ≥ αφ(x)}. Allora (E_{n})_{n} è una successione crescente di insiemi misurabili la cui unione è X, e abbiamo ∫_{X} f_{n} dμ ≥ ∫_{E_{n}} f_{n} dμ ≥ α ∫_{E_{n}} φ dμ. Per la proposizione 2.19 e la continuità dal basso delle misure, abbiamo che lim_{n→∞} ∫_{E_{n}} φ dμ = ∫_{X} φ dμ, quindi ∫_{X} f_{n} dμ ≥ α ∫_{X} φ dμ. Siccome questo è vero per ogni α < 1, allora è vero anche per α = 1. Prendendo poi l’estremo superiore sulle φ semplici minori di f, si ottiene che ∫_{X} f_{n} dμ ≥ α ∫_{X} f dμ. □

Possiamo ora dimostrare l’additività dell’integrale.

Teorema 2.22 Se (f_{n})_{n} è una successione finita o infinita in L^{+} e f = ∑_{n} f_{n}, allora ∫_{X} f dμ = ∑_{n} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. Consideriamo all’inizio due funzioni f_{1} e f_{2}. Per il teorema 2.14 possiamo trovare due successioni crescenti (φ_{n})_{n} e (ψ_{n})_{n} di funzioni positive semplici che tendono a f_{1} e f_{2}. Allora (φ_{n} + ψ_{n})_{n} è una successione crescente che tende a f_{1} + f_{2}, e per il teorema di Beppo Levi:

∫_{X}(f_{1} + f_{2}) dμ = lim_{n→∞} ∫_{X}(φ_{n} + ψ_{n}) dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} φ_{n} dμ + lim_{n→∞} ∫_{X} ψ_{n} dμ =
= ∫_{X} f_{1} dμ + ∫_{X} f_{2} dμ

Per induzione si ha che ∫_{X}(∑_{n=1}^{N} f_{n}) dμ = ∑_{n=1}^{N} ∫_{X} f_{n} dμ, e quindi facendo tendere N → ∞ e applicando ancora Beppo Levi, si ottiene la tesi. □

Vediamo ora un risultato, che darà anche una leggera generalizzazione del teorema di Beppo Levi.

Proposizione 2.23 Se f ∈ L^{+}, allora ∫_{X} f dμ = 0 se e solo se f = 0 q.o. Inoltre, se ∫_{X} f dμ < +∞, allora l’insieme E = {x | f(x) = +∞} è trascurabile.

Dimostrazione. Se f è semplice, questo è ovvio: se f = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, con a_{i} ≥ 0, allora si ha che ∫_{X} f dμ = 0 se e solo se per ogni i si ha che a_{i} = 0 oppure che μ(E_{i}) = 0. In generale, se f = 0 q.o. e φ è una funzione semplice tale che 0 ≤ φ ≤ f, allora φ = 0 q.o., quindi ∫_{X} f dμ = sup_{n} ∫_{X} φ dμ = 0. Viceversa, abbiamo che {x | f(x) > 0} = ⋃_{n=1}^{∞} E_{n}, dove E_{n} = {x | f(x) > 1/n}, quindi se fosse falso che f = 0 q.o., dovremmo avere che μ(E_{n}) > 0 per qualche n. Ma siccome f > 1_{E_{n}}/n, allora ∫_{X} f dμ > μ(E_{n})/n > 0, e abbiamo una contraddizione. Per la seconda parte, basta notare che f > +∞1_{E}, quindi ∫_{X} f dμ > ∫_{X} ∞1_{E} dμ = ∞μ(E). Ma siccome ∫_{X} f dμ < +∞, allora bisogna avere per forza che μ(E) = 0. □

Corollario 2.24 Se (f_{n})_{n} è una successione in L^{+}, f ∈ L^{+} e f_{n} ↗ f q.o., allora ∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. Se E ∈ M è tale che μ(E^{c}) = 0, allora f = f1_{E} q.o. e f_{n} = f_{n}1_{E} q.o.; se poi f_{n} ↗ f su un tale E, allora si ha che ∫_{X} f dμ = ∫_{X} f1_{E}dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}1_{E}dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ. □

Nota 2.25 Se M è completa rispetto a μ, l’ipotesi f ∈ L^{+} si ottiene automaticamente dal fatto che (f_{n})_{n} ⊆ L^{+} e dalla proposizione 2.15.

L’ipotesi che la successione delle f_{n} sia crescente è essenziale per il teorema di Beppo Levi. Infatti, se ad esempio prendiamo (X, M, μ) = (ℝ, B(ℝ), m_{1}) (dove m_{1} è la misura di Lebesgue), abbiamo che 1_{(n,n+1)} → 0 puntualmente, ma ∫_{ℝ} 1_{(n,n+1)}(x) dx = 1 per ogni n, quindi il teorema di Beppo Levi in questo caso non è verificato. Abbiamo però questo risultato.

Lemma 2.26 (di Fatou) Se (f_{n})_{n} è una successione in L^{+}, allora

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n} dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

Dimostrazione. Per ogni k abbiamo che inf_{n≥k} f_{n} ≤ f_{j} per ogni j ≥ k, quindi ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f_{j} dμ; da qui ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ inf_{j≥k} ∫_{X} f_{j} dμ. Se ora si fa tendere k → ∞ e si applica il teorema della convergenza monotona, si ha:

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n} dμ = ∫_{X} lim_{k→∞} inf_{n≥k} f_{n} dμ = lim_{k→∞} ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

□

2.3 Integrale di funzioni reali

Estendiamo ora l’integrale a funzioni misurabili reali.

Definizione 2.27 Sia f una funzione misurabile reale. Se f^{+} e f^{−} sono rispettivamente la parte positiva e la parte negativa di f, e almeno uno tra ∫_{X} f^{+} dμ e ∫_{X} f^{−} dμ é finito, definiamo integrale di f il numero

∫_{X} f dμ = ∫_{X} f^{+} dμ − ∫_{X} f^{−} dμ

che può quindi essere anche uguale a +∞ o a −∞. Se però l’integrale di f è un numero finito, allora diciamo che f é integrabile.

Notiamo che f^{+}, f^{−} ≤ |f| ≤ f^{+} + f^{−}; da questo si deduce che f è integrabile se e solo se ∫_{X} |f| dμ < +∞.

Proposizione 2.28 L’insieme delle funzioni reali integrabili è uno spazio vettoriale reale, e l’integrale è un funzionale reale su di esso. Infine, se f è integrabile, allora | ∫_{X} f dμ| ≤ ∫_{X} |f| dμ.

Dimostrazione. La prima parte della tesi segue dal fatto che si ha |af +bg| ≤ |a||f|+|b||g|. Per la seconda parte, si può dimostrare che a ∫_{X} f dμ = ∫_{X} af dμ usando la proposizione (2.19)(a). Inoltre, se f e g sono integrabili, e chiamiamo h = f + g, allora h^{+} − h^{−} = f^{+} − f^{−} + g^{+} − g^{−}, quindi h^{+} + f^{−} + g^{−} = h^{−} + f^{+} + g^{+}. Per il teorema (2.22), si ha

∫_{X} h^{+} dμ + ∫_{X} f^{−} dμ + ∫_{X} g^{−} dμ = ∫_{X} h^{−} dμ + ∫_{X} f^{+} dμ + ∫_{X} g^{+} dμ

e da questo segue che ∫_{X} h dμ = ∫_{X} f dμ + ∫_{X} g dμ. Infine abbiamo che

|∫_{X} f dμ| = |∫_{X} f^{+} dμ − ∫_{X} f^{−} dμ| ≤ ∫_{X} f^{+} dμ + ∫_{X} f^{−} dμ = ∫_{X} |f| dμ
□

Proposizione 2.29 Se f e g sono integrabili, allora sono equivalenti:

i) ∫_{E} f dμ = ∫_{E} g dμ per ogni E ∈ M

ii) ∫_{X} |f − g| dμ = 0

iii) f = g q.o.

Dimostrazione. L’equivalenza (ii) ⟺ (iii) segue dal fatto che |f − g| è una funzione positiva e dalla proposizione 2.23. Inoltre, se ∫_{X} |f − g| dμ = 0, allora per ogni E ∈ M si ha che

|∫_{E} f dμ − ∫_{E} g dμ| ≤ ∫_{X} 1_{E}|f − g| dμ ≤ ∫_{X} |f − g| dμ = 0

e quindi (ii) ⇒ (i). D’altra parte, se è falso che f = g q.o., e chiamiamo h = f − g, allora h^{+} o h^{−} deve essere diversa da zero in un insieme non trascurabile. Se ad esempio E = {x | h^{+}(x) > 0} è non trascurabile, allora ∫_{E} f dμ − ∫_{E} g dμ = ∫_{E} h^{+} dμ > 0, poiché h^{−} = 0 su E, e abbiamo una contraddizione. Questo prova che (i) ⇒ (iii). □

Questa proposizione mostra che l’integrale non cambia se cambiamo la funzione su insiemi di misura nulla. Questo significa che possiamo integrare delle funzioni f definite solo su insiemi E il cui complementare è trascurabile, semplicemente definendo f = 0 (o qualsiasi altra cosa) su E^{c}. Possiamo quindi trattare, per quanto riguarda l’integrazione, le funzioni a valori in ℝ̄ che siano finite q.o. semplicemente come funzioni reali.

Definizione 2.30 Definiamo L^{1} = L^{1}(X, M, μ) l’insieme delle classi di equivalenza delle funzioni integrabili su X rispetto a μ, dove f ≡ g se e solo se f = g μ-q.o.

Come lo spazio delle funzioni integrabili, questo spazio è uno spazio vettoriale reale, ed è anche uno spazio normato rispetto alla norma ∥f − g∥_{L^{1}} = ∫_{X} |f − g| dμ. Pur essendo L^{1} uno spazio definito come classe di equivalenza di funzioni, useremo lo stesso la notazione f ∈ L^{1} per indicare che f è una funzione integrabile definita q.o. Questo leggero abuso di notazione é universalmente accettato e non causa quasi mai ambiguità.

Presentiamo ora l’ultimo dei tre più importanti teoremi di convergenza dell’integrazione secondo Lebesgue.

Teorema 2.31 (della convergenza dominata di Lebesgue) Se (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} tale che f_{n} → f q.o. ed esiste g ∈ L^{1} tale che |f_{n}| ≤ g per ogni n, allora f ∈ L^{1} e lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X} f dμ.

Dimostrazione. Per le proposizioni 2.15 e 2.16, f è misurabile (eventualmente dopo una ridefinizione su un insieme di misura nulla); inoltre |f| ≤ g q.o., quindi f ∈ L^{1}. Inoltre q.o. abbiamo che g + f_{n} ≥ 0 e g − f_{n} ≥ 0, quindi per il lemma di Fatou:

∫_{X} g dμ + ∫_{X} f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X}(g + f_{n}) dμ = ∫_{X} g dμ + lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ
∫_{X} g dμ − ∫_{X} f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X}(g − f_{n}) dμ = ∫_{X} g dμ − lim sup_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

quindi lim inf_{n} ∫_{X} f_{n} dμ ≥ ∫_{X} f dμ ≥ lim sup_{n} ∫_{X} f_{n} dμ, e segue la tesi. □

Una applicazione di questo teorema è il seguente risultato, che é una estensione del teorema 2.22.

Teorema 2.32 Se (f_{n})_{n} è una successione in L^{1} tale che ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, allora ∑_{n=1}^{∞} f_{n} converge q.o. a una funzione in L^{1}, e ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ.

Dimostrazione. Per il teorema 2.22, ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} |f_{n}|) dμ = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, quindi ∑_{n=1}^{∞} |f_{n}| ∈ L^{1}. In particolare, per la proposizione 2.23, ∑_{n=1}^{∞} |f_{n}(x)| è finita per q.o. x, e quindi per ognuno di questi x la serie ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) converge. Inoltre, | ∑_{n=1}^{N} f_{n}| ≤ ∑_{n=1}^{N} |f_{n}| per ogni N, quindi possiamo applicare il teorema della convergenza dominata e ottenere ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ. □

Corollario 2.33 Lo spazio L^{1} è uno spazio di Banach.

Dimostrazione. Rimane solo da provare che se una successione (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} é di Cauchy rispetto alla norma ∥ · ∥_{L^{1}} allora converge ad una f ∈ L^{1}. Definiamo

n_{k} = min{n | ∥f_{m} − f_{m′}∥_{L^{1}} < 2^{−k} ∀m, m′ ≥ n}

e poniamo g_{1} = f_{n_{1}} e g_{k} = f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}} per k > 1. Allora ∑_{i=1}^{k} g_{i} = f_{n_{k+1}}, e

∑_{k=1}^{∞} ∫_{X} |g_{k}| dμ ≤ ∥f_{n_{1}}∥_{L^{1}} + ∑_{k=2}^{∞} 2^{−k} = ∥f_{n_{1}}∥_{L^{1}} + 1 < +∞

e quindi per il teorema 2.32 esiste una f ∈ L^{1} tale che

f = ∑_{k=1}^{∞} g_{k} = lim_{k→∞} f_{n_{k}}

Siccome (f_{n})_{n} è di Cauchy, si ha che f_{n} → f in L^{1}; infatti ∀ε∃n tale che ∥f_{m} − f_{m′}∥_{L^{1}} < ε per ogni m, m′ ≥ n. Allora basta porre m′ = 2^{−k}, e fare tendere k → ∞, e si ha che ∀ε∃n tale che ∥f_{m} − f∥_{L^{1}} < ε per ogni m ≥ n, e quindi abbiamo la tesi. □

2.4 Convergenza in misura

Se (f_{n})_{n} è una successione di funzioni misurabili, abbiamo visto che ci sono diversi tipi di convergenze; in particolare abbiamo già incontrato la convergenza quasi ovunque e la convergenza in L^{1}. Possiamo inoltre notare che se f_{n} → f q.o. e |f_{n}| ≤ g, allora il teorema della convergenza dominata implica f_{n} → f in L^{1}; infatti (f_{n} − f)_{n} è una successione dominata da 2g e che converge q.o. a zero. Ora introduciamo un altro tipo di convergenza, che permetterà di passare dalla convergenza in L^{1} alla convergenza quasi ovunque.

Definizione 2.34 Diciamo che una successione (f_{n})_{n} di funzioni misurabili su (X, M, μ) è di Cauchy in misura se per ogni ε > 0

μ{x : |f_{m}(x) − f_{n}(x)| ≥ ε} → 0 per m, n → ∞

e diciamo che (f_{n})_{n} converge in misura a f (scritto anche f_{n} →^{μ} f) se per ogni ε > 0

μ{x : |f_{n}(x) − f(x)| ≥ ε} → 0 per n → ∞

Proposizione 2.35 Se f_{n} → f in L^{1}, allora f_{n} → f in misura.

Dimostrazione. Definiamo E_{n,ε} = {x : |f_{n}(x) − f(x)| ≥ ε}. Allora

∫_{X} |f_{n} − f| dμ ≥ ∫_{E_{n,ε}} |f_{n} − f| dμ ≥ εμ(E_{n,ε})

quindi μ(E_{n,ε}) ≤ ∫_{X} |f_{n} − f| dμ/ε → 0 e segue la tesi. □

L’inverso è falso, come mostra il seguente esempio.

Esempio 2.36 Sullo spazio (ℝ, B(ℝ), m) consideriamo la successione f_{n} = n1_{[0,1/n]}. Allora f_{n} → 0 in misura, ma siccome ∥f_{n}∥_{L^{1}} = 1, non converge a 0 in L^{1}.

Teorema 2.37 Supponiamo che (f_{n})_{n} sia di Cauchy in misura. Allora esiste una f misurabile tale che f_{n} → f in misura, e una sottosuccessione (f_{n_{j}})_{j} che converge a f q.c. Inoltre, se anche f_{n} → g in misura, allora g = f q.c.

Dimostrazione. Possiamo scegliere una sottosuccessione (g_{j})_{j} = (f_{n_{j}})_{j} tale che se E_{j} = {x : |g_{j}(x) − g_{j+1}(x)| ≥ 2^{−j}} allora μ(E_{j}) ≤ 2^{−j}. Se poniamo F_{k} = ⋃_{k=j}^{∞} E_{j}, allora μ(F_{k}) ≤ ∑_{j=k}^{∞} 2^{−j} = 2^{1−k} e se x ∉ F_{k}, per i ≥ j ≥ k abbiamo

|g_{j}(x) − g_{i}(x)| ≤ ∑_{l=j}^{i−1} |g_{l+1}(x) − g_{l}(x)| ≤ ∑_{l=j}^{i−1} 2^{−l} ≤ 2^{1−j}

cioé (g_{j})_{j} è di Cauchy puntualmente su F_{k}^{c}. Poniamo F = ⋂_{k=1}^{∞} F_{k} = lim sup_{n→∞} E_{j}; allora μ(F) = 0, e se poniamo f = lim_{n→∞} g_{j} su F e f = 0 su F^{c}, allora f è misurabile e g_{j} → f q.o. Inoltre, la relazione sopra mostra che |g_{j}(x) − f(x)| ≤ 2^{2−j} per j ≥ k, x ∉ F_{k}. Siccome μ(F_{k}) → 0, segue che g_{n} → f in misura; ma allora f_{n} → f in misura, dato che

{x : |f_{n}(x) − f(x)| ≥ ε} ⊂ {x : |f_{n}(x) − g_{j}(x)| ≥ ε/2} ∪ {x : |g_{j}(x) − f(x)| ≥ ε/2}

ed entrambi gli insiemi a destra hanno misura piccola quando n e j sono grandi. Inoltre, se f_{n} → g in misura, allora

{x : |f(x) − g(x)| ≥ ε} ⊂ {x : |f_{n}(x) − g(x)| ≥ ε/2} ∪ {x : |f_{n}(x) − f(x)| ≥ ε/2}

per ogni n, quindi μ{x : |f(x) − g(x)| ≥ ε} = 0 per ogni ε. Ma questo significa che f = g q.o. □

Corollario 2.38 Se f_{n} → f in L^{1}, allora esiste una sottosuccessione (f_{n_{j}})_{j} che converge a f q.o.

Se f_{n} → f q.c., non segue in generale che f_{n} → f in misura (come si può vedere considerando le funzioni f_{n} = 1_{(n,n+1)}). Se però lo spazio ha misura finita, è verificato un risultato molto più forte.

Teorema 2.39 (di Egorov) Se μ(X) < ∞ e f_{n} ed f sono funzioni misurabili tali che f_{n} → f q.o., allora per ogni ε > 0 esiste E ∈ M tale che μ(E) < ε e f_{n} → f uniformemente su E^{c}.

Dimostrazione. Senza perdita di generalità possiamo assumere che f_{n} → f ovunque su X. Per k, n ∈ ℕ poniamo E_{n}(k) = ⋃_{m=n}^{∞}{x : |f_{m}(x) − f(x)| ≥ 1/k}. Allora, per k fissato, E_{n}(k) è decrescente rispetto a n, e ⋂_{n=1}^{∞} E_{n}(k) = ∅, quindi siccome μ(X) < ∞ abbiamo che μ(E_{n}(k)) → 0 per n → ∞. Preso ε > 0 e k ∈ ℕ, possiamo prendere n_{k} tale che μ(E_{n_{k}}(k)) < ε2^{−k} e porre E = ⋃_{k=1}^{∞} E_{n_{k}}(k). Allora μ(E) < ε, e abbiamo |f_{n}(x) − f(x)| < 1/k per n > n_{k} e x ∉ E. Questo implica che f_{n} → f uniformemente su E. □ Il tipo di convergenza nel teorema di Egorov è spesso chiamato convergenza quasi uniforme. Non è difficile vedere che la convergenza quasi uniforme implica la convergenza quasi ovunque e la convergenza in misura.

2.5 Integrale di Lebesgue

Un caso molto particolare della teoria vista sopra è il caso (X, M, μ) = (ℝ, B(ℝ), m), dove m è la misura di Lebesgue. Infatti questo è il caso che storicamente é stato il primo ad essere sviluppato nella teoria dell’integrazione, con lo scopo iniziale di estendere la teoria dell’integrazione di Riemann. Dall’integrazione con la misura di Lebesgue poi è nata la teoria dell’integrazione astratta come generalizzazione. Per questa ragione, si usa anche una notazione particolare.

Definizione 2.40 L’integrale ∫_{ℝ} f dm si indica semplicemente come integrale di Lebesgue di f. Allo stesso modo, se ∫_{ℝ} |f| dm < +∞, allora f si dice integrabile secondo Lebesgue.

Confrontiamo ora l’integrale di Riemann e l’integrale rispetto alla misura di Lebesgue. A questo scopo, ricordiamo la costruzione dell’integrale di Riemann.

Sia [a, b] un intervallo, con a, b numeri reali. Chiamiamo partizione di [a, b] una successione finita P = (t_{i})_{i=0,...,n} tale che a = t_{0} < … < t_{n} = b, e chiamiamo ampiezza della partizione P il numero |P | = sup_{i} |t_{i} − t_{i−1}|. Diciamo inoltre che P = (t_{i})_{i=0,...,n} è un raffinamento di Q = (s_{j})_{j=0,...,k} se {s_{j} | j = 0, …, k} ⊂ {t_{i} | i = 0, …, n}. Sia f una funzione reale limitata arbitraria, e per ogni partizione P poniamo

S_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} M_{i}(t_{i} − t_{i−1}), s_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} ℓ_{i}(t_{i} − t_{i−1})

dove M_{i} = sup_{x∈(t_{i−1},t_{i}]} f(x), ℓ_{i} = inf_{x∈(t_{i−1},t_{i}]} f(x). Definiamo poi:

I^{+}(f) = inf_{P} S_{P} (f), I^{−}(f) = sup_{P} s_{P} (f)

Quando I^{+}(f) = I^{−}(f), chiamiamo integrale di Riemann il loro valore comune, e lo indichiamo con ∫_{a}^{b} f(x) dx; diciamo inoltre che f è integrabile secondo Riemann.

Diamo ora questo risultato, di cui proviamo solo la prima parte.

Teorema 2.41 Se f è una funzione limitata in [a, b], allora:

i) se f è integrabile secondo Riemann, allora é misurabile (e quindi integrabile rispetto alla misura di Lebesgue m dato che è limitata) e ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{[a,b]} f dm;

ii) f è integrabile secondo Riemann se e solo se m({x ∈ [a, b] | f è discontinua in x}) = 0

Dimostrazione. Supponiamo che f sia integrabile secondo Riemann. Per ogni partizione P poniamo:

G_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} M_{i}1_{(t_{i−1},t_{i}]}, g_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} ℓ_{i}1_{(t_{i−1},t_{i}]}

allora S_{P} (f) = ∫_{[a,b]} G_{P} (f) dm e s_{P} (f) = ∫_{[a,b]} g_{P} (f) dm. Inoltre esiste una sequenza (P_{k})_{k} di partizioni, la cui ampiezza tende a 0, che sono ognuna un raffinamento della precedente (e quindi tali che le g_{P_{k}} crescono e le G_{P_{k}} decrescono con k) e tali che S_{P_{k}}(f) e s_{P_{k}}(f) convergono a ∫_{a}^{b} f(x) dx. Poniamo G = lim_{k→∞} G_{P_{k}} e g = lim_{k→∞} g_{P_{k}}. Allora g ≤ f ≤ G, e per il teorema della convergenza dominata ∫_{[a,b]} g dm = ∫_{[a,b]} G dm = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Allora ∫_{[a,b]}(G − g) dm = 0, quindi G = g q.o., cioé G = g = f q.o. Siccome G é misurabile (poiché limite di funzioni misurabili), e m é completa, allora anche f è misurabile; inoltre si ha che ∫_{[a,b]} f dm = ∫_{[a,b]} G dm = ∫_{a}^{b} f(x) dx. □

Da questo teorema si ricava che l’integrale di Lebesgue estende l’integrale di Riemann proprio. Infatti tutte le funzioni integrabili secondo Riemann in un intervallo sono anche integrabili secondo Lebesgue, e i due integrali coincidono. Questo in particolare permette di usare tutte le tecniche di calcolo degli integrali di Riemann (teorema fondamentale del calcolo, integrazione per sostituzione e per parti) per calcolare gli integrali di Lebesgue. Inoltre questo risultato vale anche per una generica dimensione n. Per questo motivo per indicare l’integrale rispetto alla misura di Lebesgue si usano comunemente le notazioni ∫_{a}^{b} f(x) dx (su un intervallo [a, b]) o ∫_{E} f(x) dx (su un boreliano E ⊆ ℝ^{n}). Tuttavia, se tentiamo di generalizzare le ipotesi di questo teorema per trattare l’integrale di Riemann improprio, potremmo trovare che l’integrale improprio di Riemann di f è definito, ma f non é integrabile secondo Lebesgue (esempio: f = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}1_{(n,n+1)}/n). Per questo motivo, ci vuole sempre una certa cautela quando si trattano degli integrali di Lebesgue di funzioni non limitate o su intervalli non limitati.

2.6 Misure prodotto

Supponiamo di avere degli spazi misurati (X_{α}, M_{α}, μ_{α}), dove α ∈ A è un parametro. Abbiamo già visto come costruire la σ-algebra prodotto M = ⨂_{α∈A} M_{α} sullo spazio prodotto X = Π_{α∈A}X_{α}. Vogliamo ora costruire una misura sullo spazio (Π_{α}X_{α}, ⊗_{α∈A}M_{α}), con A insieme finito. Per semplicità di notazioni, ci limiteremo al caso A = {1, 2}. Nel seguito indicheremo con π_{α} : X → X_{α} la proiezione canonica sulla α-esima coordinata.

Chiamiamo rettangolo un insieme A_{1} × A_{2}, con A_{i} ∈ M_{i}. Allora la classe A delle unioni finite disgiunte di rettangoli é un’algebra, e M_{1} ⊗ M_{2} è generata da A.

Definizione 2.42 Se μ_{i} sono misure σ-finite sugli spazi X_{i}, chiamiamo misura prodotto di μ_{1} e μ_{2} l’unica misura tale che

μ_{1} ⊗ μ_{2}(A_{1} × A_{2}) = μ_{1}(A_{1})μ_{2}(A_{2})  (2.1)

per ogni rettangolo A_{1} × A_{2}.

Proposizione 2.43 La misura prodotto è ben definita. In altre parole, se μ_{i} sono misure σ-finite sugli spazi X_{i}, allora esiste un’unica misura tale che (2.1) sia verificata.

Dimostrazione. Possiamo definire μ_{1} ⊗ μ_{2} su A in questo modo:

μ_{1} ⊗ μ_{2} (⋃_{i=1}^{n} A_{1}^{i} × A_{2}^{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ_{1}(A_{1}^{i})μ_{2}(A_{2}^{i})

allora μ_{1} ⊗ μ_{2} è ben definita ed è una premisura su A. Allora, come conseguenza del teorema di Caratheodory, μ_{1} ⊗ μ_{2} genera una misura esterna su X_{1} × X_{2} la cui restrizione a M_{1} ⊗ M_{2} è una misura. In più, questa estensione è unica. □

Esempio 2.44 (misura di Lebesgue n-dimensionale) Prendiamo A = {1, …, n} e (X_{i}, M_{i}, μ_{i}) = (ℝ, B(ℝ), m_{1}), i = 1, …, n (dove chiamiamo m_{1} la misura di Lebesgue). La misura prodotto m_{n} = m_{1} ⊗ … ⊗ m_{1} (indicata anche con m^{⊗n} si chiama misura di Lebesgue n-dimensionale, o misura di Lebesgue su ℝ^{n}, e assegna ad ogni rettangolo n-dimensionale il suo volume, nel senso che

m_{n} (∏_{i=1}^{n}[a_{i}, b_{i}]) = ∏_{i=1}^{n}(b_{i} − a_{i})

Analogamente al caso n = 1, anche B(ℝ^{n}) non è completa rispetto alla misura di Lebesgue m_{n}. Questo implica che m_{n} si può estendere ad una σ-algebra L^{n} che contiene strettamente B(ℝ^{n}). In questo caso è facile vedere esempi di insiemi misurabili non boreliani. Prendiamo ad esempio un rettangolo B = {x ∈ ℝ^{n} | x_{1} = 0, −a ≤ x_{i} ≤ a, i = 2, …, n}, con a > 0. Allora B ∈ B(ℝ^{n}), e m_{n}(B) = 0·a^{n−1} = 0. Se consideriamo la classe P(B), essa ha la stessa cardinalità di P(ℝ). Si può dimostrare che B(ℝ^{n}) ha la cardinalità del continuo, cioé ha cardinalità minore di P(B). Questo significa che devono esistere degli insiemi in P(B) (e sono “la maggior parte”) che non sono boreliani. Siccome m_{n}(B) = 0, la misura di Lebesgue può essere estesa a tutti i sottoinsiemi di B ponendo m_{n}(C) = 0 per ogni C ∈ P(B). Abbiamo quindi ottenuto che L^{n} è strettamente maggiore di B(ℝ^{n}). Il risultato può essere esteso facilmente: infatti si può dimostrare che una qualsiasi varietà k-dimensionale, con k < n, immersa in ℝ^{n}, è boreliana ed ha misura di Lebesgue n-dimensionale nulla, ma non tutti i sottoinsiemi della varietà sono boreliani; tuttavia, essi sono misurabili (cioé appartengono a L^{n}), ed hanno misura nulla.

Riassumiamo ora (senza dimostrazioni) alcuni risultati sull’integrale di Lebesgue ndimensionale. Chiamiamo L^{n} il completamento di B(ℝ^{n}) rispetto alla misura di Lebesgue m_{n}.

Teorema 2.45 La misura di Lebesgue è invariante per traslazione. Cioé, se E ∈ L^{n} e x ∈ ℝ^{n} e definiamo E + x = {y + x : x ∈ E}, allora E + x ∈ L^{n} e m_{n}(E + x) = m_{n}(E).

Vediamo ora un risultato (senza dimostrazione) che permette di calcolare operativamente gli integrali in dimensione n.

Teorema 2.46 (Fubini - Tonelli) Supponiamo che (X, M, μ) e (Y, N , ν) siano spazi misurati, con μ e ν misure σ-finite. Allora:

Fubini: se f ∈ L^{1}(X × Y, M ⊗ N , μ ⊗ ν), allora f(x, ·) ∈ L^{1}(Y, N , ν) per q.o. x ∈ X, f(·, y) ∈ L^{1}(X, M, μ) per q.o. y ∈ Y, le funzioni (definite q.o.) ∫_{Y} f(x, ·) dν e

∫_{X} f(·, y) dμ sono rispettivamente in L^{1}(X, M, μ) e in L^{1}(Y, N , ν) e vale
∫_{X×Y} f(x, y) d(μ ⊗ ν)(x, y) = ∫_{X} (∫_{Y} f(x, y) dν(y)) dμ(x) =  (2.2)
= ∫_{Y} (∫_{X} f(x, y) dμ(x)) dν(y)

Tonelli: se f ∈ L^{+}(X × Y, M ⊗ N , μ ⊗ ν), allora le funzioni ∫_{Y} f(x, ·) dν e ∫_{X} f(·, y) dμ sono rispettivamente in L^{+}(X, M, μ) e in L^{+}(Y, N , ν) e vale la (2.2).

Corollario 2.47 Il teorema di Fubini-Tonelli vale anche nel caso (X, M, μ) = (ℝ^{m}, B(ℝ^{m}), m_{m}) e (Y, N , ν) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n}), m_{n}).

Dal corollario si ricava anche che è possibile calcolare l’integrale di una funzione su ℝ^{n} iterando gli integrali su ogni componente. Inoltre il teorema 2.41 e il corollario 2.47 permettono di usare tutte le tecniche di calcolo degli integrali di Riemann (teorema fondamentale del calcolo, integrazione per sostituzione e per parti, cambiamenti di variabili, ecc.) per calcolare gli integrali di Lebesgue.

2.7 Integrale di Lebesgue n-dimensionale

Abbiamo visto che il calcolo degli integrali di Lebesgue in dimensione 1 può essere ridotto al calcolo degli integrali di Riemann. Una conclusione analoga vale anche in dimensione n. Per vederlo, si procederà per passi successivi. Come nel caso della misura di Lebesgue in dimensione 1, anche nel caso della misura di Lebesgue m_{n} si usa una notazione particolare.

Definizione 2.48 L’integrale ∫_{ℝ^{n}} f dm_{n} si indica semplicemente come integrale di Lebesgue n-dimensionale di f. Allo stesso modo, se ∫_{ℝ^{n}} |f| dm_{n} < +∞, allora f si dice integrabile secondo Lebesgue.

Un primo risultato è il seguente.

Teorema 2.49 Se ∫ f dx è definito (anche uguale a ∞), allora ∫_{ℝ^{n}} f(x) dx = ∫_{ℝ^{n}} f(x + y) dx per ogni y ∈ ℝ^{n}.

Vediamo ora qual è il comportamento dell’integrale di Lebesgue sotto trasformazioni lineari. Chiamiamo GL(n, ℝ) il gruppo delle trasformazioni lineari invertibili su ℝ^{n}.

Teorema 2.50 Supponiamo che T ∈ GL(n, ℝ). Allora:

a) se E ∈ L^{n}, allora T (E) ∈ L^{n} e m_{n}(T (E)) = | det T | m_{n}(E).

b) se f è misurabile secondo Lebesgue, allora anche f ∘ T lo é; inoltre, se ∫_{ℝ^{n}} f dx è definito, allora

∫_{ℝ^{n}} f(x) dx = | det T | ∫_{ℝ^{n}} f ∘ T (x) dx

Corollario 2.51 La misura di Lebesgue è invariante per rotazioni e per simmetrie.

Diamo ora una generalizzazione di questo risultato, che è il classico teorema di cambiamento di variabile in dimensione n. Ricordiamo che se Ω è un aperto in ℝ^{n} e una funzione G : Ω → ℝ^{n} è differenziabile, possiamo indicare con il simbolo D_{x}G il differenziale, definito dalla matrice (∂g_{i}/∂x_{j}(x))_{ij} delle sue derivate nel punto x. Ricordiamo inoltre che G si dice diffeomorfismo di classe C^{1} se é biiettiva e se D_{x}G è una matrice invertibile per ogni x ∈ Ω.

Teorema 2.52 Supponiamo che Ω sia un aperto in ℝ^{n} e che G : Ω → ℝ^{n} sia un diffeomorfismo di classe C^{1}. Allora:

a) se E ⊂ Ω ed E ∈ L^{n}, allora G(E) ∈ L^{n} e m_{n}(G(E)) = ∫_{E} | det D_{x}G(x)| dx.

b) se f : G(Ω) → ℝ è misurabile secondo Lebesgue, allora anche f ∘ G lo é; inoltre, se ∫_{G(Ω)} f dx è definito, allora

∫_{G(Ω)} f(x) dx = ∫_{Ω} f ∘ G(x)| det D_{x}G(x)| dx

I sistemi di coordinate non lineari più importanti su ℝ^{2} ed ℝ^{3} sono le coordinate polari e le coordinate sferiche. Il teorema precedente, applicato a questi due casi, portano alle note formule “dx dy = r dr dθ” e “dx dy dz = r^{2} sin φdr dθ dφ”. Sistemi di coordinate simili possono essere definiti in dimensioni più alte, ma diventano sempre più complicati al crescere della dimensione. Per molti scopi è sufficiente sapere che la misura di Lebesgue è il prodotto della misura ρ(E) = ∫_{E} r^{n−1} dr su [0, +∞) per una opportuna misura sulla sfera unitaria (dθ su S^{1}, sin φdθ dφ su S^{2}):

Teorema 2.53 Esiste un’unica misura σ = σ_{n−1} su S^{n−1} tale che m_{n} = ρ ⊗ σ_{n−1}. Se f è misurabile secondo Lebesgue su ℝ^{n} e ∫_{ℝ^{n}} f dx è definito, allora

∫_{ℝ^{n}} f(x) dx = ∫_{0}^{∞} ∫_{S^{n−1}} f(rx′)r^{n−1} dσ(x′) dr

Corollario 2.54 Se f è misurabile secondo Lebesgue su ℝ^{n}, ∫_{ℝ^{n}} f dx é definito, ed f è della forma f(x) = g(|x|), allora

∫_{ℝ^{n}} f(x) dx = σ(S^{n−1}) ∫_{0}^{∞} g(r)r^{n−1} dr

Corollario 2.55 Fissato a > 0, poniamo B = B(0, a) in ℝ^{n}, e sia f una funzione misurabile su ℝ^{n}. Allora:

a) se |f(x)| ≤ Cx^{−α} su B per qualche C > 0 e α < n, allora f ∈ L^{1}(B); se |f(x)| ≥ Cx^{−n} su B, allora f ∉ L^{1}(B)

a) se |f(x)| ≤ Cx^{−α} su B^{c} per qualche C > 0 e α > n, allora f ∈ L^{1}(B^{c}); se |f(x)| ≥ Cx^{−n} su B^{c}, allora f ∉ L^{1}(B^{c})

2.8 Integrali dipendenti da parametro

Alcune volte può capitare di avere a che fare con funzioni della forma

F (y) = ∫_{X} f(x, y) dμ(x)  (2.3)

dove (X, M, μ) è uno spazio misurabile e y è un parametro che può variare in vari tipi di spazi. In questa sezione vedremo alcune proprietà di queste funzioni.

Supponiamo che f : X × E → ℂ, dove E è un aperto di uno spazio vettoriale reale Y che sia anche normato, e che la funzione F : E → ℂ sia definita da (2.3). Può allora essere interessante vedere se le proprietà di continuità e di differenziabilità di f si possono estendere anche a F.

Teorema 2.56 Supponiamo che per ogni y fissato la funzione f(·, y) ∈ L^{1}(X, M, μ; ℂ). Allora:

a) supponiamo che per ȳ ∈ E esista un intorno U di ȳ e una g ∈ L^{1}(X, M, μ; ℂ) tale che per ogni y ∈ U, |f(x, y)| ≤ g(x) per quasi ogni x ∈ X; allora se lim_{y→ȳ} f(x, y) = f(x, ȳ) per quasi ogni x ∈ X, anche lim_{y→ȳ} F (y) = F (ȳ)

b) supponiamo che per un vettore u ∈ Y esista ∂_{u}f(x, y) per ogni y ∈ E e per q.o. x; se per un ȳ ∈ E esistono un intorno U di ȳ e una g ∈ L^{1}(X, M, μ; ℂ) tale che per ogni y ∈ U, |∂_{u}f(x, y)| ≤ g(x) per quasi ogni x ∈ X, allora

∂_{u}F (y) = ∫_{X} ∂_{u}f(x, y) dμ(x)

Dimostrazione. a) prendiamo una successione (y_{n})_{n} in U convergente a ȳ, e consideriamo le funzioni f_{n}(x) = f(x, y_{n}). Allora le f_{n} sono dominate da g, quindi segue la tesi.

b) supponiamo che U sia convesso, e che (h_{n})_{n} sia una successione reale infinitesima di numeri non nulli. Il teorema del valor medio, applicato alla funzione h → f(x, ȳ + hu) − f(x, ȳ) (definita in un intorno di 0 in ℝ) ci dice che

|\frac{f(x, ȳ + h_{n}u) − f(x, ȳ)}{h_{n}} | ≤ sup_{y∈U} |∂_{u}f(x, y)| ≤ g(x)

per q.o. x ∈ X. Definiamo ora

f_{n}(x) = \frac{f(x, ȳ + h_{n}u) − f(x, ȳ)}{h_{n}}

Allora per il teorema della convergenza dominata si ha:

∂_{u}F (ȳ) = lim_{n→∞} \frac{F (ȳ + h_{n}u) − F (ȳ)}{h_{n}} = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x) dμ = ∫_{X} ∂_{u}f(x, ȳ) dμ

e segue la tesi. □

Appendice A

Complementi

In questo capitolo vogliamo riprendere alcuni argomenti che per mancanza di tempo non sono stati trattati nei primi due capitoli.

A.1 Insieme di Cantor

In questa sezione vogliamo fare un esempio di insiemi non boreliani sulla retta reale, ma misurabili secondo Lebesgue. Per questo, abbiamo bisogno di introdurre il seguente insieme.

Esempio A.1 (insieme di Cantor) Definiamo C_{0} = [0, 1], e C_{n+1} = C_{n} \ ⋃_{i=0}^{3^{n−1}−1}(\frac{3k+1}{3^{n}}, \frac{3k+2}{3^{n}}); definiamo insieme di Cantor l’insieme C = ⋂_{n=1}^{∞} C_{n}. L’insieme C può essere definito anche in questo modo: per un generico x ∈ [0, 1] consideriamo la sua espansione decimale x = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}/3^{n} in base 3, con a_{n} = 0, 1 o 2, e facciamo la convenzione che i numeri della forma p3^{−k} abbiano la rappresentazione a_{n} = 2 per n > k; allora C è l’insieme degli x ∈ [0, 1] che non hanno la cifra 1 nella loro rappresentazione decimale. C ha le seguenti proprietà notevoli:

a) C è compatto

b) se x, y ∈ C e x < y, allora esiste z ∉ C tale che x < z < y (C è totalmente sconnesso)

c) C non ha punti isolati

d) m(C) = 0

e) C è in corrispondenza biunivoca con l’intervallo [0, 1]; in particolare C ha la cardinalità del continuo

Proveremo solo le ultime due proprietà. Per provare (d), basta notare che m(C_{n}) = (2/3)^{n}, e quindi m(C) = lim_{n→∞} m(C_{n}) = 0. Per provare (e), notiamo che se x ∈ C, allora x = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}/3^{n}, con a_{n} = 0 o 2; definiamo allora b_{n} = a_{n}/2 (che corrisponde a sostituire un 2 con un 1 nella rappresentazione decimale) e definiamo f(x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}/2^{n}. Allora f(x) è l’espansione in base 2 di un numero. Siccome ogni elemento di [0, 1] può essere ottenuto in questo modo, f è bigettiva da C a [0, 1].

Abbiamo appena visto che l’insieme di Cantor C ha misura di Lebesgue nulla e ha la cardinalità del continuo. Ciò significa che la classe delle sue parti P(C) ha la stessa cardinalità di P(ℝ). Si può dimostrare che B(ℝ) ha la cardinalità del continuo, cioé ha cardinalità minore di P(C). Questo significa che la maggior parte degli insiemi in P(C) non è boreliana. Siccome m(C) = 0, la misura di Lebesgue può essere estesa a tutti gli insiemi in P(C), quindi abbiamo ottenuto che L è strettamente maggiore di B(ℝ). Per questo motivo, la terminologia che si usa per le funzioni misurabili reali è quella della definizione 2.2, invece di essere quella standard della definizione 2.1.

Riprendiamo in esame la funzione f definita nell’esempio. Notiamo che f è monotona crescente da C in [0, 1]; in particolare, f(x) < f(y) per ogni x < y che non siano estremi di un intervallo che non appartiene a C (quelli che sono stati tolti per ottenerlo); in questo caso, f(x) = f(y) = p2^{−k} per qualche p, k. Possiamo quindi estendere f ad una funzione da [0, 1] in sé definendo il suo valore in ogni intervallo mancante da C come il valore ai suoi estremi. Questa funzione (che continuiamo a chiamare f) è ancora crescente, e siccome la sua immagine è tutto [0, 1], non può avere discontinuità di salto; questo, insieme alla monotonia, implica la sua continuità. La funzione f è comunemente conosciuta come funzione di Cantor, o scala di Cantor.

A.2 Integrazione di funzioni complesse

All’inizio del capitolo 2 abbiamo notato che la teoria dell’integrazione di Lebesgue poteva essere costruita anche nel caso di funzioni a valori complessi. Qui enunciamo i teoremi corrispondenti a questo caso; le dimostrazioni non verranno svolte, essendo per la maggior parte generalizzazioni di quelle del capitolo 2; per maggiori dettagli, il lettore interessato può vedere [2].

Per tutta la sezione faremo la convenzione che una funzione f : X → ℂ sia misurabile quando è (M, B(ℂ))-misurabile.

Dalla proposizione 2.10 si ricavano i due seguenti corollari:

Corollario A.2 Una funzione complessa f è misurabile se e solo se ℜf e ℑf lo sono.

Corollario A.3 Se f, g : X → ℂ sono misurabili, allora anche f + g e fg lo sono.

Dalla proposizione 2.12 (il limite di funzioni misurabili é una funzione misurabile) segue questo risultato:

Corollario A.4 Se (f_{n})_{n} è una successione di funzioni complesse misurabili e f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) esiste per ogni x, allora f é misurabile.

Analogamente alla decomposizione f = f^{+} − f^{−} delle funzioni reali, anche nel caso delle funzioni complesse c’é una utile decomposizione, chiamata decomposizione polare. Se z è un numero complesso, indichiamo con |z| la sua norma in ℂ e definiamo la funzione segno in questo modo:

sgn z = \{ \begin{matrix}z/|z| & se z ≠ 0 \\ 0 & se z = 0 \end{matrix}

Allora possiamo scrivere f = (sgn f)|f| per una generica funzione complessa f. Siccome l funzione segno e il modulo sono boreliane, abbiamo che f è misurabile se e solo se sgn f e |f| lo sono.

Come nel caso reale, chiamiamo funzione semplice una combinazione lineare finita a coefficienti complessi di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili, che sarà della forma φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x), con a_{i} ∈ ℂ; se a_{i} ≠ a_{j} per i ≠ j, allora diciamo che φ è scritta in rappresentazione standard. Anche nel caso di funzioni a valori complessi, una funzione misurabile può essere opportunamente approssimata con funzioni semplici in questo modo:

Teorema A.5 Se (X, M) è uno spazio misurabile, e f : X → ℂ é misurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici (φ_{n})_{n} tali che 0 ≤ |φ_{1}| ≤ … ≤ |φ_{n}| ≤ … ≤ |f|, φ_{n} → f puntualmente, e φ_{n} → f uniformemente su ogni insieme su cui f è limitata.

Se f è una funzione complessa misurabile, diciamo che f è integrabile se la funzione reale |f| lo é. Siccome |f| ≤ |ℜf| + |ℑf| ≤ 2|f|, otteniamo che f è integrabile se e solo se ℜf e ℑf lo sono; definiamo poi l’integrale di f in questo modo:

∫_{X} f dμ = ∫_{X} ℜf dμ + i ∫_{X} ℑf dμ

Da questo segue facilmente che lo spazio delle funzioni integrabili complesse è uno spazio vettoriale e l’integrale è un funzionale lineare su di esso; inoltre abbiamo che | ∫_{X} f dμ| ≤ ∫_{X} |f| dμ per ogni f integrabile. Anche in questo caso possiamo mettere su questo spazio la relazione di equivalenza f ≡ g se e solo se ∫_{X} |f − g| dμ = 0. Lo spazio ottenuto in questo modo viene indicato con L^{1}(X, M, μ; ℂ) (rispetto al caso reale, si specifica anche lo spazio di arrivo). Valgono le seguenti generalizzazioni di risultati del capitolo 2:

Proposizione A.6 Se f e g sono integrabili, allora sono equivalenti:

i) ∫_{E} f dμ = ∫_{E} g dμ per ogni E ∈ M

ii) ∫_{X} |f − g| dμ = 0

iii) f = g q.o.

Teorema A.7 (della convergenza dominata di Lebesgue) Se (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} tale che f_{n} → f q.o. ed esiste g ∈ L^{1} tale che |f_{n}| ≤ g per ogni n, allora f ∈ L^{1} e lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X} f dμ.

Teorema A.8 Se (f_{n})_{n} è una successione in L^{1} tale che ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, allora ∑_{n=1}^{∞} f_{n} converge q.o. a una funzione in L^{1}, e ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ.

Appendice B

Temi di esame con soluzioni

B.1 Prova scritta del 28 gennaio 1999

1. Se f ∈ L^{+}(X, M), poniamo:

λ(E) = ∫_{E} f dμ

Dimostrare che λ è una misura su (X, M) e che ∫_{X} g dλ = ∫_{X} fg dμ per ogni g ∈ L^{+}(X, M) (suggerimento: prima supporre g semplice)

2. Dimostrare che f(x) = x^{−α} è integrabile secondo Lebesgue su (0, 1) per α ∈ (0, 1) e calcolare ∫_{0}^{x} f(t) dt (suggerimento: usare il punto 1 o il teorema di Beppo Levi)

Soluzione

1. λ(∅) = 0, e se A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}, con A_{n} ∈ M, allora:

λ(A) = ∫_{A} f dμ = ∫_{X} 1_{A}f dμ = ∫_{X} ∑_{n=1}^{∞} 1_{A_{n}}f dμ = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} 1_{A_{n}}f dμ = ∑_{n=1}^{∞} λ(A_{n})

dove si è usato il teorema di integrazione per serie. (2 punti)

Se g = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}} è una funzione semplice, allora:

∫_{X} g dλ = ∫_{X} ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}} dλ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}λ(E_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i} ∫_{X} 1_{E_{i}}f dμ =

= ∫_{X} ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}f dμ = ∫_{X} gf dμ

Se g ∈ L^{+}, allora esiste una successione (g_{n})_{n} di funzioni semplici in L^{+} tale che g_{n} ↗ g. Allora anche fg_{n} ↗ fg, e per Beppo Levi si ha:

∫_{X} g dλ = lim_{n→∞} ∫_{X} g_{n} dλ = lim_{n→∞} ∫_{X} g_{n}f dμ = ∫_{X} gf dμ (3 punti)

2. λ(E) = ∫_{E} f(x) dx è una misura su (0, 1), quindi per la continuità dal basso si ha lim_{n→∞} λ((1/n, x)) = λ((0, x)) per ogni x ≤ 1. Ma λ((1/n, x)) = ∫_{1/n}^{x} t^{−α} dt è l’integrale di una funzione integrabile secondo Riemann (perché continua e limitata); allora:

λ((1/n, x)) = [\frac{1}{1 − α}t^{1−α}]_{1/n}^{x} = \frac{x^{1−α} − (1/n)^{1−α}}{1 − α} →^{n→∞} \frac{x^{1−α}}{1 − α} = ∫_{0}^{x} t^{−α} dt

da questo si ricava in particolare che ∫_{0}^{1} f(x) dx = λ((0, 1)) = \frac{1}{1−α} < +∞, e quindi f è integrabile secondo Lebesgue. Si poteva anche usare il teorema di Beppo Levi in questo modo: costruiamo la successione f_{n} = f1_{(1/n,1)}. Allora f_{n} ↗ f e quindi

∫_{0}^{x} f(t) dt = lim_{n→∞} ∫_{0}^{x} f_{n}(t) dt = lim_{n→∞} ∫_{1/n}^{x} t^{−α} dt

e si ha il risultato visto prima (2 punti per f ∈ L^{1}((0, 1)) e 2 punti per ∫_{0}^{x} f(t) dt).

B.2 Prova scritta del 18 febbraio 1999

Sia f(x) = x^{−1/2} se x ∈ (0, 1), f(x) = 0 altrove; sia inoltre (r_{n})_{n=1,...,∞} una enumerazione dei razionali, e poniamo g(x) = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n}f(x − r_{n}).

1. Enunciare il teorema di integrazione per serie di funzioni positive e il teorema di Beppo-Levi. Dimostrare che:

2. g ∈ L^{1}(ℝ, B(ℝ), m) (dove m è la misura di Lebesgue), e in particolare g < ∞ quasi ovunque (suggerimento: usare i teoremi di integrazione per serie e di Beppo Levi)

3. g è non limitata in ogni intervallo, e quindi é discontinua in ogni punto (suggerimento: calcolare il limite della funzione in un punto razionale dell’intervallo)

4. g^{2} < ∞ q.o., ma g^{2} ∉ L^{2}(ℝ, B(ℝ), m)

Soluzione

1. vedi dispense

2. f, g ∈ L^{+}, quindi si puo’ integrare per serie:

∫_{ℝ} g dx = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n} ∫_{ℝ} f(x − r_{n}) dx = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n} ∫_{ℝ} f(x) dx = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n} ∫_{0}^{1} x^{−1/2} dx =

= ∫_{0}^{1} x^{−1/2} dx = lim_{k→∞} ∫_{1/k}^{1} x^{−1/2} dx = lim_{k→∞}[2x^{1/2}]_{1/k}^{1} = 2 < ∞

(dove abbiamo anche usato Beppo Levi), quindi g ∈ L^{1}. Questo implica che g è quasi certamente finita. (2 punti)

3. prendiamo un intervallo (a, b) ⊆ (0, 1); allora esiste un r_{m} razionale in (a, b), e si ha che per ogni x ∈ (r_{m}, b) si ha f(x − r_{m}) = (x − r_{m})^{−1/2}, e quindi g(x) ≥ 2^{−m}(x − r_{m})^{−1/2}, e lim_{x↘r_{m}} g(x) ≥ +∞; questo implica che g non è limitata in (a, b) (e che g quindi non può essere continua in (a, b)). (3 punti)

4. g^{2} < ∞ q.o. per il punto (1) (0,5 punti); ma:

∫_{ℝ} g^{2} dx = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−2n} ∫_{ℝ} f^{2}(x − r_{n}) dx = ∑_{n=1}^{∞} 2^{−2n} ∫_{0}^{1} x^{−1} dx =

= \frac{1}{3} ∫_{0}^{1} x^{−1} dx = \frac{1}{3} lim_{k→∞} ∫_{1/k}^{1} x^{−1} dx = \frac{1}{3} lim_{k→∞}[log x]_{1/k}^{1} = +∞

quindi g ∉ L^{2}. (1,5 punti)

B.3 Prova scritta dell’11 giugno 1999

Siano (X, M, μ) e (Y, N , ν) spazi misurati σ-finiti.

1. Se f : X → ℝ è M-misurabile e g : Y → ℝ é N -misurabile, e h = f ⊗ g (cioé h è definita su X × Y come h(x, y) = f(x)g(y)), allora h è M ⊗ N -misurabile.

2. Enunciare i teoremi di Fubini e di Tonelli.

3. Se f ∈ L^{1}(X, M, μ) e g ∈ L^{1}(Y, N , ν), allora h ∈ L^{1}(X × Y, M ⊗ N , μ ⊗ ν) e

∫_{X×Y} h dμ ⊗ ν = ∫_{X} f dμ ∫_{Y} g dν

(suggerimento: usare il teorema di Tonelli per dimostrare che h ∈ L^{1} e il teorema di Fubini per il resto della tesi).

Soluzione

1. h è composizione delle proiezioni su X e Y, delle f e g e della funzione prodotto da ℝ^{2} a ℝ. Tutte queste funzioni sono misurabili, quindi h è misurabile (nota: h era definita come h : X × Y ∈ ℝ) . (3 punti)

2. Vedi dispense (2 punti)

3. Dire che h ∈ L^{1} è equivalente a dire che ∫ |h| < ∞. Siccome |h| ∈ L^{+}, per Tonelli si ha:

∫_{X×Y} |h| dμ ⊗ ν = ∫_{X} (∫_{Y} |f(x)||g(y)| dν(y)) dμ(x) =
= ∫_{X} |f(x)| (∫_{Y} |g(y)| dν(y)) dμ(x) =
= ∫_{X} |f(x)|∥g∥_{L^{1}} dμ(x) = ∥f∥_{L^{1}}∥g∥_{L^{1}} < +∞

e quindi h ∈ L^{1}. A questo punto basta applicare il teorema di Fubini in modo analogo e si ottiene il resto della tesi. (3 punti)

B.4 Prova scritta del 2 luglio 1999

Sia dato uno spazio misurabile (X, M). Se μ e ν sono misure definite su (X, M), diciamo che μ è assolutamente continua rispetto a ν (e lo indichiamo con μ << ν) se ν(A) = 0 implica μ(A) = 0. Diciamo che μ e ν sono equivalenti (e lo indichiamo con μ ∼ ν) se μ << ν e ν << μ.

1. Se λ è un’altra misura su (X, M), provare che λ << μ e μ << ν implica λ << ν e che λ ∼ μ e μ ∼ ν implica λ ∼ ν

2. Provare che se μ è una misura definita da μ(A) = ∫_{A} f dν, con f ∈ L^{+}(X, M), allora μ << ν.

3. Provare che se nel punto (2) f > 0 ν-quasi ovunque, allora μ ∼ ν.

4. Provare che se f = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}1_{E_{n}}, con a_{n} > 0 ed (E_{n})_{n} disgiunti e tali che ⋃_{n=1}^{∞} E_{n} = X, allora

ν(A) = ∫_{A} \frac{1}{f} dμ

Soluzione

1. Se λ << μ e μ << ν, allora la seconda relazione implica che se ν(A) = 0, allora μ(A) = 0; allora per la prima relazione si ha che λ(A) = 0, e quindi abbiamo che ν(A) = 0 implica λ(A) = 0, cioé che λ << ν. Se poi λ ∼ μ e μ ∼ ν, allora abbiamo che λ << μ e μ << ν, quindi λ << ν per quanto appena dimostrato, e che μ << λ e ν << μ, quindi ν << λ; mettendo assieme le due relazioni si ha la tesi. (2 punti)

2. Se ν(A) = 0, allora μ(A) = ∫_{X} f1_{A} dν; ma f1_{A} = 0 μ-quasi ovunque, quindi μ(A) = 0. (2 punti)

3. Se μ(A) = 0, allora ∫_{X} f1_{A} dν = 0; siccome f1_{A} ∈ L^{+}, questo implica che f1_{A} = 0 μ-quasi ovunque; siccome f > 0, questo significa che 1_{A} = 0 μ-quasi ovunque, e abbiamo la tesi. (2 punti)

4. Siccome f vale a_{n} > 0 su E_{n}, allora 1/f vale 1/a_{n} su E_{n}. Allora:

∫_{A} \frac{1}{f} dμ = ∫_{A} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} 1_{E_{n}} dμ = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} \frac{1}{a_{n}} 1_{E_{n}∩A} dμ = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} μ(E_{n} ∩ A) =

= ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} ∫_{E_{n}∩A} f dν = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} ∫_{E_{n}∩A} a_{n} dν =

= ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} a_{n}ν(E_{n} ∩ A) = ∑_{n=1}^{∞} ν(E_{n} ∩ A) = ν(A) (2 punti)

B.5 Prova scritta del 10 settembre 1999

1. Si enuncino i teoremi di Beppo Levi e della convergenza dominata di Lebesgue.

2. Se μ(X) < +∞, (f_{n})_{n} ⊂ L^{1}(X, M, μ) e f_{n} → f uniformemente, mostrare che f ∈ L^{1}(X, M, μ) e che ∫_{X} f_{n} dμ → ∫_{X} f_{n} dμ.

Soluzione

1. Vedi dispense (4 punti).

2. f_{n} → f uniformemente, quindi f_{n} → f μ-quasi ovunque, quindi f è misurabile. Inoltre per ogni n, |f| ≤ |f − f_{n}| + |f_{n}|, e per ogni ε esiste n tale che |f − f_{n}| < ε su X. Allora |f| ≤ |f − f_{n}| + |f_{n}| < ε + |f_{n}|, e quindi ∫_{X} |f| dμ < εμ(X) + ∫_{X} |f_{n}| dμ. Siccome f_{n} ∈ L^{1}, allora ∫_{X} |f| dμ < +∞, quindi f ∈ L^{1}. Infine | ∫_{X} f dμ−∫_{X} f_{n} dμ| = | ∫_{X}(f −f_{n}) dμ| ≤ ∫_{X} |f −f_{n}| dμ ≤ εμ(X). Da questo si ricava che ∫_{X} f_{n} dμ → ∫_{X} f dμ (4 punti).

B.6 Prova scritta del 27 settembre 1999

1. Si enuncino i teoremi di Beppo Levi e della convergenza dominata di Lebesgue.

2. Calcolare il limite

lim_{n→∞} ∫_{a}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx

per a > 0, a = 0 e a < 0.

Suggerimento: ∫_{−∞}^{+∞} \frac{dy}{1+y^{2}} = π.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti)

2. Se a > 0, abbiamo:

f_{n}(x) = \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} ≤ \frac{1}{nx^{2}} ≤ \frac{1}{x^{2}} ∈ L^{1}(a, +∞)

e quindi possiamo applicare Lebesgue; siccome f_{n} → 0 q.o. su [a, +∞), il limite vale 0 (2 punti).

Se a = 0, siccome le f_{n} sono pari si ha:

∫_{0}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{1 + y^{2}} dy = \frac{π}{2}

e quindi il limite vale π/2 (2 punti).

Se a < 0, si ha:

∫_{a}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = ∫_{−∞}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx − ∫_{−∞}^{a} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = π − ∫_{−∞}^{a} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx

Il secondo addendo tende a 0 per un ragionamento analogo al caso a > 0, quindi il limite vale π. (2 punti)

Gli integrali si potevano anche calcolare esplicitamente nel seguente modo:

∫_{a}^{+∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = ∫_{a}^{+∞} lim_{k→∞} 1_{[a,k]}(x)\frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx =

= lim_{k→∞} ∫_{a}^{+∞} 1_{[a,k]}(x)\frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx = lim_{k→∞} ∫_{na}^{nk} \frac{1}{1 + y^{2}} dy =
= lim_{k→∞}[arctg y]_{na}^{nk} = lim_{k→∞}(arctg nk − arctg na) = arctg \frac{π}{2} − arctg na

dove l’inversione di limite e integrale si è potuta fare grazie a Beppo Levi, e si è potuto usare la primitiva di \frac{1}{1+y^{2}} grazie al fatto che si stava integrando una funzione limitata su un dominio limitato. A questo punto il limite per n → ∞ ha i risultati visti sopra a seconda che a > 0, a = 0 o a < 0.

B.7 Prova scritta del 26 gennaio 2000

Supponiamo che f_{n} e f siano funzioni misurabili da uno spazio (X, M, μ) a valori complessi e φ : ℂ → ℂ.

1. Se φ è continua e f_{n} → f quasi ovunque, allora anche φ ∘ f_{n} → φ ∘ f quasi ovunque.

2. Enunciare la definizione di convergenza in misura e quali sono le implicazioni tra le convergenze in misura, in L^{1}, quasi ovunque e uniforme.

3. Se φ è uniformemente continua e f_{n} → f uniformemente (risp. in misura), allora φ ∘ f_{n} → φ ∘ f uniformemente (risp. in misura).

4. (facoltativo) Esibire controesempi nel caso che φ non sia continua o uniformemente continua.

Soluzione

1. f_{n} → f q.o. significa che esiste E ∈ M tale che μ(E^{c}) = 0 e f_{n}(x) → f(x) per ogni x ∈ E. Siccome φ è continua, è continua per successioni, e quindi φ(f_{n}(x)) → φ(f(x)) (2 punti)

2. Vedi dispense (2 punti).

3. φ uniformemente continua significa che ∀ε∃δ tale che |y_{1} − y_{2}| < δ implica |φ(y_{1}) − φ(y_{2})| < ε; allora se f_{n} → f uniformemente significa che ∃n^{∗} tale che per ogni x ∈ X, |f_{n}(x) − f(x)| < δ ∀n > n^{∗}, e quindi |φ(f_{n}(x)) − φ(f(x))| < ε (1 punto). Se invece f_{n} →^{μ} f, questo implica che μ{x : |f_{n}(x) − f(x)| > δ} → 0; siccome |f_{n}(x) − f(x)| < δ implica |φ(f_{n}(x)) − φ(f(x))| < ε, abbiamo che |φ(f_{n}(x)) − φ(f(x))| > ε implica |f_{n}(x) − f(x)| > δ, quindi {x : |φ(f_{n}(x)) − φ(f(x))| > δ} ⊆ {x : |f_{n}(x) − f(x)| > δ}, e quindi μ{x : |φ(f_{n}(x)) − φ(f(x))| > δ} ⊆ μ{x : |f_{n}(x) − f(x)| > δ} → 0 (3 punti)

4. Prendiamo f_{n} ≡ 1/n, f ≡ 0 e φ = 1_{{0}}; allora φ non è continua e φ ∘ f_{n} ≡ 0 e φ ∘ f = 1, e non si ha convergenza quasi ovunque. Prendiamo poi f_{n}(x) = x + 1/n, f(x) = x e φ(x) = x^{2}. Allora φ ∘ f_{n} − φ ∘ f = 2x/n + 1/n^{2}, e quindi non si ha né convergenza uniforme né in misura (1 punto a controesempio per un totale di 3)

B.8 Prova scritta del 18 febbraio 2000

1. Enunciare i teoremi di Fubini e di Tonelli.

2. Se f è integrabile secondo Lebesgue su (0, a) e g(x) = ∫_{x}^{a} f(t)/t dt, allora g è integrabile su (0, a) e ∫_{0}^{a} g(x) dx = ∫_{0}^{a} f(x) dx.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Per potere applicare Fubini bisogna dimostrare che 1_{A}f(t)/t ∈ L^{1}(ℝ^{2}, B(ℝ^{2}), m_{2}), dove abbiamo posto A = {(x, t)|0 < x ≤ t < a}. Siccome A e f sono misurabili, |1_{A}f(t)/t| ∈ L^{+}(ℝ^{2}, B(ℝ^{2}), m_{2}), e per il teorema di Tonelli abbiamo

∫_{A} |\frac{f(t)}{t}| dt = ∫_{0}^{a} ∫_{0}^{t} \frac{|f(t)|}{t} dx dt = ∫_{0}^{a} \frac{|f(t)|}{t} ∫_{0}^{t} dx dt = ∫_{0}^{a} |f(t)| dt < +∞

quindi 1_{A}f(t)/t ∈ L^{1}(ℝ^{2}, B(ℝ^{2}), m_{2}). Questo implica che

∫_{0}^{a} |g(x)| dx ≤ ∫_{0}^{a} ∫_{x}^{a} |\frac{f(t)}{t}| dt = ∫_{A} |\frac{f(t)}{t}| dt < +∞

cioé g è integrabile su (0, a) (l’uguaglianza segue dal teorema di Tonelli) (3 punti). Siccome 1_{A}f(t)/t ∈ L^{1}(ℝ^{2}, B(ℝ^{2}), m_{2}), si può applicare il teorema di Fubini e si ha

∫_{0}^{a} g(x) dx ≤ ∫_{0}^{a} ∫_{x}^{a} \frac{f(t)}{t} dt = ∫_{0}^{a} ∫_{0}^{t} \frac{f(t)}{t} dx dt = ∫_{0}^{a} f(t) dt

(3 punti)

B.9 Prova scritta del 14 giugno 2000

Consideriamo gli spazi misurabili (X, M) = (Y, N) = (ℝ, B(ℝ)), dotati rispettivamente delle misure μ = misura di Lebesgue e ν = misura che conta i punti (definita come ν(A) = cardinalità di A).

1. Enunciare i teoremi di Fubini e di Tonelli.

2. Posto D = {(x, y) ∈ X × Y | x = y}, calcolare i due integrali ∫ ∫ 1_{D} dμ dν e ∫ ∫ 1_{D} dν dμ.

3. Come si concilia il risultato del punto (2) con i teoremi di Fubini e Tonelli?

4. (facoltativo e difficile) Calcolare l’integrale ∫ 1_{D} d(μ ⊗ ν).

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2.

∫_{[0,1]} ∫_{[0,1]} 1_{D}(x, y) dμ(x) dν(y) = ∫_{[0,1]} (∫_{[0,1]} 1_{x=y} dμ(x)) dν(y) =
= ∫_{[0,1]} μ({y}) dν(y) = ∫_{[0,1]} 0 dν(y) = 0 (2 punti)

∫_{[0,1]} ∫_{[0,1]} 1_{D}(x, y) dν(x) dμ(y) = ∫_{[0,1]} (∫_{[0,1]} 1_{x=y} dν(x)) dμ(y) =
= ∫_{[0,1]} ν({x}) dμ(y) = ∫_{[0,1]} 1 dμ(y) = 1 (2 punti)

3. Y non è σ-finito, quindi le ipotesi dei due teoremi non sono verificate, e quindi non dobbiamo attenderci che la tesi sia vera (2 punti).

4. La misura prodotto μ ⊗ ν è la restrizione a M ⊗ N della misura esterna

(μ ⊗ ν)^{∗}(A) = inf {∑_{n=1}^{∞} ρ(E_{n}) | E_{n} ∈ M ⊗ N , A ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} E_{n}}

Se D ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} E_{n}, questo significa che esistono x < y tali che [x, y]^{2} ∩D ⊆ E_{n}, e quindi [x, y] ⊗ [x, y] ⊆ E_{n}. Ma si ha che μ ⊗ ν([x, y]^{2}) = μ([x, y])ν([x, y]) = (y − x) · (+∞) = +∞, quindi abbiamo

(μ ⊗ ν)^{∗}(D) = inf{+∞} = +∞

B.10 Prova scritta del 5 luglio 2000

Supponiamo di avere lo spazio misurato completo (X, M, μ).

1. Enunciare la definizione di convergenza in misura e quali sono le implicazioni tra le convergenze in misura, in L^{1}, quasi ovunque e uniforme.

2. Provare che se μ(E_{n}) < ∞ per ogni n ∈ ℕ e 1_{E_{n}} → f in L^{1}, allora f è uguale (quasi certamente) alla funzione indicatrice di un insieme.

3. Provare che l’insieme del punto (2) è misurabile.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. 1_{E_{n}} → f in L^{1} implica che 1_{E_{n}} → f in misura, quindi esiste una sottosuccessione (1_{E_{n_{k}}})_{k} tale che 1_{E_{n_{k}}} → f quasi ovunque. Questo significa che per quasi ogni x ∈ X, f(x) = lim_{n→∞} 1_{E_{n_{k}}} (x); ma 1_{E_{n_{k}}} (x) è uguale a 0 o a 1, quindi f(x) è quasi ovunque uguale a 0 o a 1. Se definiamo E = {x ∈ X | f(x) = 1}, allora f = 1_{E} quasi ovunque (4 punti).

3. f è limite quasi ovunque di funzioni misurabili, quindi è misurabile. Siccome {1} ∈ B(ℝ), questo significa che E = f^{−1}({1}) ∈ M (2 punti).

B.11 Prova scritta del 21 settembre 2000

Supponiamo di avere lo spazio misurato completo (X, M, μ).

1. Enunciare la definizione di convergenza in misura e quali sono le implicazioni tra le convergenze in misura, in L^{1}, quasi ovunque e uniforme.

2. Sia X = ℕ, M = P(ℕ), μ = misura che conta i punti (cioé μ(B) = |B| per ogni B ∈ M). Provare che f_{n} → f in misura se e solo se f_{n} → f uniformemente.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. ⇒) sappiamo che ∀ε, lim_{n→∞} μ{k : |f_{n}(k) − f(k)| > ε} = 0. Ma la successione (μ{k : |f_{n}(k) − f(k)| > ε})_{n} è a valori interi, quindi se ha limite nullo deve necessariamente accadere che ∃n^{∗} tale che per ogni n > n^{∗}, μ{k : |f_{n}(k) − f(k)| > ε} = 0; questo significa che |f_{n}(k) − f(k)| < ε μ-quasi ovunque; siccome μ è la misura che conta i punti, |f_{n}(k) − f(k)| < ε per ogni k ∈ N (4 punti).

3. ⇐) sappiamo che ∀ε∃n^{∗} tale che n > n^{∗} implica |f_{n}(k) − f(k)| < ε per ogni k ∈ N; allora μ{k : |f_{n}(k) − f(k)| > ε} = μ(∅) = 0 per ogni n > n^{∗}; questo implica che

f_{n} →^{μ} f (2 punti)

B.12 Prova scritta del 16 novembre 2000

1. Enunciare il teorema di integrazione per serie di funzioni reali generiche.

Se f_{n}(x) = ae^{−nax} − be^{−nbx}, con 0 < a < b, provare che:

2. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} |f_{n}(x)| dx = +∞

3. ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(x) dx ≠ ∫_{0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) dx

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Per ogni n, l’integrale di Lebesgue ∫_{0}^{∞} |ae^{−nax} −be^{−nbx}| dx è un numero positivo finito o è uguale a +∞. In entrambi i casi, è uguale all’integrale di Riemann di |f_{n}|, quindi possiamo fare il cambio di variabile y = nx, ottenendo:

∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} |f_{n}(x)| dx = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ∫_{0}^{∞} |ae^{−ny} − be^{−ny}| dy

L’integrale ∫_{0}^{∞} |ae^{−y} − be^{−y}| dy si puó raccogliere, sia che sia un numero finito che sia infinito. Si ottiene quindi:

∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} |f_{n}(x)| dx = (∫_{0}^{∞} |ae^{−y} − be^{−y}| dy) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}

Siccome la serie armonica diverge e l’integrale è un numero diverso da zero, abbiamo la tesi (5 punti).

3. f_{n} è somma di due funzioni in L^{1}(ℝ, B(ℝ), m): infatti e^{−nλx} é una funzione misurabile e positiva per λ = a, b e quindi i suoi integrali di Riemann e di Lebesgue coincidono, e si ha:

∫_{0}^{∞} λe^{−nλx} dx = [−\frac{1}{n}e^{−nλx}]_{0}^{∞} = \frac{1}{n}

quindi f_{n} ∈ L^{1} e ∫_{0}^{∞} ae^{−nax} − be^{−nbx} dx = \frac{1}{n} − \frac{1}{n} = 0 per ogni n ∈ N; allora ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(x) dx = ∑_{n=1}^{∞} 0 = 0 (2 punti).

Calcoliamo ora ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x). Per ogni x ∈ (0, ∞), la serie ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) è la differenza di due serie assolutamente convergenti perché positive. Allora:

∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) = ∑_{n=1}^{∞} ae^{−nax} − ∑_{n=1}^{∞} be^{−nbx} = a ∑_{n=1}^{∞}(e^{−ax})^{n} − b ∑_{n=1}^{∞}(e^{−bx})^{n} =
= \frac{a}{1 − e^{−ax}} − \frac{b}{1 − e^{−bx}} := f(x)

Abbiamo che lim_{x→∞} f(x) = a − b < 0, quindi per ogni ε > 0 esiste M tale che f(x) < a − b + ε per x > M. Allora

∫_{0}^{∞} f^{−}(x) dx > ∫_{0}^{∞}(b − a − ε)1_{(M,+∞)}(x) dx = (b − a − ε)m((M, +∞)) =
= (b − a − ε) · ∞ = +∞

quindi se l’integrale di f esiste, sicuramente non è uguale a 0, e si ha la tesi (3 punti).

In realtà, l’integrale di f non esiste, poiché f in 0 è positiva ed ha un andamento asintotico simile a 1/x, e quindi anche ∫_{0}^{∞} f^{+}(x) dx = +∞.

B.13 Prova scritta del 21 dicembre 2000

Sia (X, M, μ) uno spazio misurato, E un aperto di uno spazio vettoriale normato e f : X × E → ℝ.

1. Enunciare condizioni sufficienti su f affinché la funzione

F (y) = ∫_{X} f(x, y) dμ(y)

sia continua, e si abbia

lim_{y→ȳ} F (y) = ∫_{X} lim_{y→ȳ} f(x, y) dμ(y)

2. Dimostrare che per ogni n ∈ ℕ,

lim_{y→∞} ∫_{0}^{y} x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} dx = n!

(dare per noto che ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x} dx = n!).

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Abbiamo:

∫_{0}^{y} x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} dx = ∫_{0}^{∞} 1_{[0,y]}(x)x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} dx

Ponendo f(x, y) = 1_{[0,y]}(x)x^{n}(1 − x/y)^{y}, possiamo tentare di applicare il teorema del punto 1. Abbiamo che:

lim_{y→∞} 1_{[0,y]}(x)x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} = x^{n}e^{−x}

Inoltre abbiamo che per ogni y ≥ 1, la funzione x → 1_{[0,y]}(x)x^{n}(1 − x/y)^{y} è dominata da x^{n}e^{−x} ∈ L^{1}(0, ∞). Infatti per ogni y ≥ 1 si ha che (1−x/y)^{y} ≤ e^{−x} é equivalente a 1 − x/y ≤ e^{−x/y}. Ma la funzione x → e^{−x/y} é convessa per ogni y ∈ ℝ, e x → 1 − x/y é la sua tangente in zero, quindi abbiamo che 1 − x/y ≤ e^{−x/y} per ogni x, y ∈ ℝ, quindi in particolare (1 − x/y)^{y} ≤ e^{−x} per x ∈ [0, y]. Allora |1_{[0,y]}(x)x^{n}(1 − x/y)^{y}| ≤ x^{n}(1 − x/y)^{y} ≤ x^{n}e^{−x}. Possiamo quindi applicare il teorema, e otteniamo:

lim_{y→∞} ∫_{0}^{y} x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} dx = ∫_{0}^{∞} lim_{y→∞} 1_{[0,y]}(x)x^{n} (1 − \frac{x}{y})^{y} dx = ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x} dx = n!

dove abbiamo usato il suggerimento del testo (6 punti).

B.14 Prova scritta del 20 febbraio 2001

Sia (X, M, μ) uno spazio misurato, con μ(X) < +∞, e definiamo

ρ(f) = ∫_{X} \frac{|f|}{1 + |f|} dμ

1. Enunciare la definizione di convergenza in misura.

2. Dimostrare che la funzione (f, g) → ρ(f − g) è una metrica sullo spazio delle funzioni misurabili su X (se identifichiamo due funzioni uguali q.o.).

3. Dimostrare che ρ(f_{n}) → 0 se e solo se f_{n} → 0 in misura.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Bisogna verificare che ρ(f) ≥ 0, con l’uguaglianza se e solo se f = 0 q.o., e la disuguaglianza triangolare. Si ha che ρ(f) = 0 ⇔ \frac{|f|}{1+|f|} = 0 μ-q.o. (dato che \frac{|f|}{1+|f|} ∈ L^{+}) ⇔ f = 0 μ-q.o. (dato che 1 + |f| > 0) (1 punto). Inoltre, la funzione x → \frac{x}{1+x} è crescente, quindi abbiamo:

\frac{|x + y|}{1 + |x + y|} ≤ \frac{|x| + |y|}{1 + |x| + |y|} = \frac{|x|}{1 + |x| + |y|} + \frac{|y|}{1 + |x| + |y|} ≤ \frac{|x|}{1 + |x|} + \frac{|y|}{1 + |y|}

per ogni x, y ∈ ℝ. Abbiamo quindi per ogni f, g, h funzioni misurabili:

\frac{|f − g|}{1 + |f − g|} = \frac{|f − h + h − g|}{1 + |f − h + h − g|} ≤ \frac{|f − h|}{1 + |f − h|} + \frac{|h − g|}{1 + |h − g|}

Integrando entrambi i membri, si ottiene ρ(f − g) ≤ ρ(f − h) + ρ(h − g) (2 punti).

3. ⇐) f_{n} → 0 in misura, allora per ogni δ > 0 e per ogni ε > 0 esiste un n̄ tale che n > n̄ implica μ{x : |f_{n}(x)| > δ} < ε. Allora per n > n̄ si ha:

ρ(f_{n}) = ∫_{X} \frac{|f_{n}|}{1 + |f_{n}|} dμ = ∫_{\{|f_{n}|>δ\}} \frac{|f_{n}|}{1 + |f_{n}|} dμ + ∫_{\{|f_{n}|≤δ\}} \frac{|f_{n}|}{1 + |f_{n}|} dμ ≤
≤ ∫_{{|f_{n}|>δ}} 1 dμ + ∫_{{|f_{n}|≤δ}} δ dμ < ε + δμ(X)

Siccome possiamo fissare ε e δ in modo arbitrariamente piccolo, segue che ρ(f_{n}) → 0 (3 punti).

⇒) Se ρ(f_{n}) → 0, prendiamo δ > 0; siccome la funzione x → \frac{x}{1+x} è crescente, si ha

ρ(f_{n}) = ∫_{\{|f_{n}|>δ\}} \frac{|f_{n}|}{1 + |f_{n}|} dμ + ∫_{\{|f_{n}|≤δ\}} \frac{|f_{n}|}{1 + |f_{n}|} dμ ≥
≥ ∫_{\{|f_{n}|>δ\}} \frac{δ}{1 + δ} dμ = \frac{δ}{1 + δ} μ\{x : |f_{n}(x)| > δ\}

Siccome ρ(f_{n}) → 0, allora anche μ{x : |f_{n}(x)| > δ} → 0 (2 punti).

B.15 Prova scritta del 7 luglio 2001

1. Enunciare i teoremi di Fubini e di Tonelli.

2. Poniamo (X, M, μ) = (Y, N , ν) = ([0, 1], B([0, 1]), m), dove m é la misura di Lebesgue sulla retta. Definiamo inoltre f : X × Y → ℝ in questo modo:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} & se 0 < y < |x − \frac{1}{2}| \\ 0 & altrove \end{matrix}

Dire (giustificando la risposta) se le quantità

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy,  ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dy dx,  ∫_{[0,1]^{2}} f(x, y) dm_{2}(x, y)

sono uguali, dove m_{2} é la misura di Lebesgue bidimensionale.

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Se f ∈ L^{1}([0, 1]^{2}, B([0, 1]^{2}), m_{2}), allora i tre integrali sono uguali. Siccome f è simmetrica rispetto alla retta x = 1/2 (cioè f(1/2 + x) = −f(1/2 − x)) ed è positiva per x > 1/2 e negativa per x < 1/2, per verificare se f ∈ L^{1}([0, 1]^{2}, B([0, 1]^{2}), m_{2}) basta verificare che f ∈ L^{1}([0, 1/2)×[0, 1], B([0, 1/2)×[0, 1]), m_{2}). Per il teorema di Tonelli, l’integrale sull’insieme [0, 1/2) × [0, 1] è uguale all’integrale calcolato prima rispetto ad una variabile, poi rispetto all’altra:

∫_{[0,1/2)×[0,1]} f(x, y) dm_{2}(x, y) = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy =

= ∫_{0}^{1/2} ∫_{0}^{y} \frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} dx dy = ∫_{0}^{1/2} [\frac{−1}{2(x − \frac{1}{2})^{2}} ]_{0}^{y} dy =

= ∫_{0}^{1/2} (2 − \frac{1}{2(y − \frac{1}{2})^{2}} ) dy = −∞

pertanto f ∉ L^{1}([0, 1/2) × [0, 1], B([0, 1/2) × [0, 1]), m_{2}), e di conseguenza f ∉ L^{1}([0, 1]^{2}, B([0, 1]^{2}), m_{2}), e l’integrale ∫_{[0,1]^{2}} f(x, y) dm_{2}(x, y) non è definito (3 punti).

È facile vedere che ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy = 0: infatti

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1/2} (∫_{0}^{y} \frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} dx + ∫_{1−y}^{1} \frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} dx) dy =

= ∫_{0}^{1/2} g(y) dy = 0

dove g(y) = ∫_{0}^{y} _{\frac{1}{(x− \frac{1}{2} )^{3}}} dx + ∫_{1−y}^{1} _{\frac{1}{(x− \frac{1}{2} )^{3}}} dx = 0 su (0, 1/2] e non è definita su 0 (2

punti). Infine, ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dy dx non è definito: infatti

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dy dx = ∫_{0}^{1/2} ∫_{0}^{x} \frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} dy dx + ∫_{1/2}^{1} ∫_{0}^{x−1/2} \frac{1}{(x − \frac{1}{2})^{3}} dy dx

Avevamo però già visto che il primo addendo risultava uguale a −∞, e per simmetria il secondo addendo risulta uguale a +∞ (1 punto).

B.16 Prova scritta del 9 settembre 2001

1. Enunciare le definizioni di convergenza quasi ovunque e in misura per uno spazio misurato (X, M, μ).

2. Supponiamo che f_{n} → f e g_{n} → g in misura. Dimostrare che f_{n} + g_{n} → f + g in misura.

3. Supponiamo che f_{n} → f e g_{n} → g quasi ovunque. Dimostrare che f_{n}g_{n} → fg quasi ovunque.

Soluzione

1. Vedi dispense (4 punti).

2. Fissiamo ε > 0, e chiamiamo A_{n} = {x ∈ X : |f_{n}(x) − f(x)| > ε}, B_{n} = {x ∈ X : |g_{n}(x) − g(x)| > ε} e C_{n} = {x ∈ X : |f_{n}(x) + g_{n} − f(x) − g(x)| > ε}. Abbiamo allora C_{n} ⊆ A_{n} ∪ B_{n}, quindi

μ(C_{n}) ≤ μ(A_{n} ∪ B_{n}) ≤ μ(A_{n}) + μ(B_{n})

L’ultimo membro tende a zero per n → ∞, e quindi μ(C_{n}) tende a zero per n → ∞, e quindi si ha la tesi (2 punti).

3. Chiamiamo A l’insieme su cui (f_{n})_{n} non converge a f e B l’insieme su cui (g_{n})_{n} non converge a g. Allora μ(A) = μ(B) = 0. Si ha poi che su A^{c} ∩B^{c} la successione (f_{n}g_{n})_{n} converge puntualmente a fg. Abbiamo che

μ((A^{c} ∩ B^{c})^{c}) = μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B) = 0

e quindi abbiamo la tesi (2 punti).

B.17 Prova scritta del 19 settembre 2001

1. Enunciare i teoremi di Fubini e di Tonelli.

2. Poniamo (X, M, μ) = (Y, N , ν) = ([0, 1], B([0, 1]), m), dove m é la misura di Lebesgue sulla retta. Definiamo inoltre f : X × Y → ℝ in questo modo:

f(x, y) = (1 − xy)^{−a}

dove a > 0. Dire (giustificando la risposta) se le quantità

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy,  ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dy dx,  ∫_{[0,1]^{2}} f(x, y) dm_{2}(x, y)

sono uguali, dove m_{2} é la misura di Lebesgue bidimensionale.

3. Dire per quali a esiste finito

∫_{[0,1]^{2}} f(x, y) dm_{2}(x, y)

Soluzione

1. Vedi dispense (2 punti).

2. Siccome f ∈ L^{+}([0, 1]^{2}, B([0, 1]^{2}), m_{2}), per il teorema di Tonelli sicuramente i tre integrali sono uguali, sia che abbiano valore finito, sia che abbiano valore infinito (2 punti).

3. Per il punto 2, è sufficiente eseguire l’integrale calcolato prima rispetto ad una variabile, poi rispetto all’altra e vedere per quali a converge (1 punto). Se a ≠ 1 si ha:

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1}(1 − xy)^{−a} dx dy = ∫_{0}^{1} [−\frac{(1 − xy)^{1−a}}{y(1 − a)} ]_{0}^{1} dy =
= ∫_{0}^{1} \frac{1 − (1 − y)^{1−a}}{y(1 − a)} dy

Per y → 0, la funzione integranda è indeterminata. Calcoliamone l’andamento asintotico con De l’Hôpital:

lim_{y→0} \frac{1 − (1 − y)^{1−a}}{y(1 − a)} = lim_{y→0} \frac{(1 − a)(1 − y)^{−a}}{(1 − a)} = lim_{y→0}(1 − y)^{−a}

quindi l’integrale converge in 0 per a < 1 (ricordiamo che a > 0 per ipotesi). Con questa ipotesi addizionale, in 1 la funzione integranda non ha singolarità, e quindi per a ∈ (0, 1) l’integrale esiste finito (2 punti). Esaminiamo ora il caso a = 1:

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} f(x, y) dx dy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} \frac{1}{1 − xy} dx dy = ∫_{0}^{1} [−\frac{log(1 − xy)}{y}]_{0}^{1} dy =
= ∫_{0}^{1} −\frac{log(1 − y)}{y} dy

La funzione integranda converge a 1 per y → 0, e tende a infinito per y → 1; tuttavia, l’andamento asintotico per y → 1 è logaritmico, pertanto l’integrale converge (1 punto). Possiamo quindi dire che l’integrale converge per a ∈ (0, 1].

Bibliografia

[1] H. Brezis, Analisi funzionale: teoria e applicazioni, Liguori, 1986

[2] G. Folland, Real analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, 1984