Compitino di Probabilità e Statistica del 17 febbraio 2005 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Vi siete persi nel parco nazionale di Bandrika. I turisti sono i 2/3 dei visitatori del parco, e ad una richiesta di direzioni danno una risposta esatta con probabilità 3/4 (le risposte a richieste successive sono indipendenti, anche se fornite dalla stessa persona!). Gli abitanti del parco, invece, rispondono sempre il falso.

a) Chiedi ad un passante dove è l’uscita dal parco, e ti risponde che è ad est. Qual è la probabilità che sia corretta?

b) Chiedi allo stesso passante, e la risposta è la stessa. Dimostrare che la probabilità che sia corretta è 1/2.

c) Chiedi allo stesso passante per la terza volta, e la risposta è la stessa. Qual è la probabilità che sia corretta?

d) Chiedi per la quarta volta, e la risposta è sempre est. Mostrare che la probabilità che sia corretta è 27/70.

e) Mostrare che, se la risposta alla quarta domanda è diversa da est, la probabilità che est sia comunque corretta è di 9/10.

Suggerimento: definiamo gli eventi

S_{r} := {si ricevono r risposte simili}
T := {sono corrette}
V := {l’interlocutore è un turista}

Dimostrare prima che

P (T |S_{r}) = \frac{P (T ∩ S_{r}|V)P (V)}{P (S_{r})}

Esercizio 2. In alcuni telefilm polizieschi, si sente dire “il criminale ha questa inusuale caratteristica … trovare questa persona e avrete il vostro uomo”. Supponiamo che ogni dato individuo abbia questa inusuale caratteristica con probabilità 10^{−7} indipendentemente dagli altri individui, e che la città in questione abbia 10^{7} abitanti.

a) Calcolare il numero medio di tali individui nella città.

b) Supponendo che l’ispettore trovi una tale persona, calcolare la probabilità che ce ne sia almeno un’altra.

c) Supponendo che l’ispettore ne trovi due, calcolare la probabilità che ce ne sia almeno un’altra ancora.

Esercizio 3. Siano X_{1}, …, X_{n} variabili aleatorie indipendenti di Bernoulli, rispettivamente di parametro p_{k}. Definiamo poi

Y := ∑_{k=1}^{n} X_{n}

a) Calcolare media e varianza di Y.

b) Mostrare che, fissata E[Y] = np, la varianza è massima quando p_{k} ≡ p per ogni k = 1, …, n.

Suggerimento: esprimere p_{n} in funzione di p_{1}, …, p_{n−1}.

Soluzioni

Esercizio 1. Innanzitutto scriviamo le probabilità date nel testo. Innanzitutto abbiamo P (V) = \frac{2}{3}, P (V^{c}) = \frac{1}{3}. Inoltre, l’indipendenza delle risposte dei turisti dà le relazioni:

P (S_{r} ∩ T |V) = (P (S_{1} ∩ T |V))^{r} = (\frac{3}{4})^{r} , P (S_{r} ∩ T^{c}|V) = (\frac{1}{4})^{r}

mentre il fatto che gli abitanti rispondono sempre il falso si traduce in

P (S_{r} ∩ T |V^{c}) = 0, P (S_{r} ∩ T^{c}|V^{c}) = 1

Dimostriamo ora il suggerimento. Per la formula della probabilità totale abbiamo

P (T |S_{r}) = \frac{P (T ∩ S_{r})}{P (S_{r})} = \frac{P (T ∩ S_{r}|V)P (V) + P (T ∩ S_{r}|V^{c})P (V^{c})}{P (S_{r})}

e la formula finale segue da P (S_{r} ∩ T |V^{c}) = 0. Per risolvere i primi 4 punti ci manca infine

P (S_{r}) = P (S_{r}|V)P (V) + P (S_{r}|V^{c})P (V^{c}) = (P (S_{r} ∩ T |V) + P (S_{r} ∩ T^{c}|V))P (V) + P (V^{c})

Mettendo tutto insieme, si ottiene la formula

P (T |S_{r}) = \frac{(\frac{3}{4})^{r} · \frac{2}{3}}{((\frac{3}{4})^{r} + (\frac{1}{4})^{r}) · \frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

a,b,c,d) Usando l’ultima formula, le probabilità cercate sono rispettivamente

P (T |S_{1}) = \frac{1}{2},  P (T |S_{2}) = \frac{1}{2},  P (T |S_{3}) = \frac{9}{20},  P (T |S_{4}) = \frac{27}{70}

e) In questo caso si è sicuri che si sia in presenza di un turista! Possiamo tradurre questo dicendo che P (S_{3} ∩ S̃_{1}|V^{c}) = 0, dove chiamiamo S_{3} ∩ S̃_{1} l’evento “riceviamo 3 risposte uguali e 1 diversa”. Abbiamo allora che

P (T |S_{3} ∩ S̃_{1}) = \frac{P (T ∩ S_{3} ∩ S̃_{1})}{P (S_{3} ∩ S̃_{1})} = \frac{P (T ∩ S_{3} ∩ S̃_{1}|V)P (V)}{P (S_{3} ∩ S̃_{1}|V)P (V)} =
= \frac{P (T ∩ S_{3} ∩ S̃_{1}|V)}{P (S_{3} ∩ S̃_{1}|V)} = \frac{P (T ∩ S_{3} ∩ S̃_{1}|V)}{P (T ∩ S_{3} ∩ S̃_{1}|V) + P (T^{c} ∩ S_{3} ∩ S̃_{1}|V)} =

= \frac{(\frac{3}{4})^{3} · \frac{1}{4}}{(\frac{3}{4})^{3} · \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{3} · \frac{3}{4}} = \frac{9}{10}

Esercizio 2. Per ogni persona della città, definiamo la variabile aleatoria

X_{i} = \{ \begin{matrix}1 & se l’i-esima persona presenta la caratteristica \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

Allora X_{i} ∼ Be(p), con p = 10^{−7}. Definiamo poi S = ∑_{i=1}^{10^{7}} X_{i} = n. di persone della città con la caratteristica sotto esame. Allora S ∼ B(10^{7}, 10^{−7}). Se applichiamo l’approssimazione di Poisson, possiamo dire che S ≈ P o(λ), con λ = 10^{7} · 10^{−7} = 1 (2 punti).

a) Per le proprietà delle variabili aleatorie binomiali si ha

𝔼[S] = 10^{7} · 10^{−7} = 1 (2 punti)

Anche l’approssimazione di Poisson ci dà:

𝔼[S] = λ = 1

b) Questo punto e il seguente, se svolti con la distribuzione esatta B(10^{7}, 10^{−7}) danno luogo a calcoli complessi. Conviene quindi utilizzare l’approssimazione di Poisson. Calcoliamo:

ℙ\{S ≥ 2 | S ≥ 1\} = \frac{ℙ\{S ≥ 2\}}{ℙ\{S ≥ 1\}} = \frac{1 − ℙ\{S < 2\}}{1 − ℙ\{S < 1\}} = \frac{1 − ℙ\{S = 0\} − ℙ\{S = 1\}}{1 − ℙ\{S = 0\}} =
= \frac{1 − e^{−1} − e^{−1} \frac{1}{1}}{1 − e^{−1}} = 0, 418 (3 punti)

c) Calcoliamo:

ℙ\{S ≥ 3 | S ≥ 2\} = \frac{ℙ\{S ≥ 3\}}{ℙ\{S ≥ 2\}} = \frac{1 − ℙ\{S < 3\}}{1 − ℙ\{S < 2\}} =
= \frac{1 − e^{−1} − e^{−1} \frac{1}{1} − e^{−1} \frac{1}{2}}{1 − 2e^{−1}} = 0, 303 (3 punti)

Esercizio 3.

a) Le X_{k}, k = 1, …, n sono di Bernoulli e indipendenti, ma non hanno lo stesso parametro, quindi Y potrebbe non essere binomiale. In particolare si ha:

E[Y] = E [∑_{k=1}^{n} X_{k}] = ∑_{k=1}^{n} E[X_{k}] = ∑_{k=1}^{n} p_{k}

Var [Y] = Var [∑_{k=1}^{n} X_{k}] = ∑_{k=1}^{n} Var [X_{k}] = ∑_{k=1}^{n} p_{k}(1 − p_{k})

b) Seguendo il suggerimento, si ha che

p_{n} = np − ∑_{k=1}^{n−1} p_{k}

Bisogna allora minimizzare la funzione

f(p_{1}, …, p_{n−1}) := Var [Y] = ∑_{k=1}^{n} p_{k} − ∑_{k=1}^{n} p_{k}^{2} = np − ∑_{k=1}^{n−1} p_{k}^{2} − (np − ∑_{k=1}^{n−1} p_{k})^{2}

Dato che f è un polinomio di secondo grado con la parte di grado massimo definita negativa, avrà solo punti di massimo relativo dove il gradiente è nullo. Calcoliamo quindi le derivate parziali di f:

\frac{∂f}{∂p_{i}} = −2p_{i} + 2 (np − ∑_{k=1}^{n−1} p_{k})

e imponendo che il gradiente sia nullo si trova

np = p_{i} + ∑_{k=1}^{n−1} p_{k} ∀i = 1, …, n − 1

Sommando queste n − 1 equazioni si ottiene

n(n − 1)p = ∑_{i=1}^{n−1} p_{i} + (n − 1) ∑_{k=1}^{n−1} p_{k} = n ∑_{k=1}^{n−1} p_{k}

cioè (n − 1)p = ∑_{k=1}^{n−1} p_{k}. Sottraendo questa equazione dalle precedenti si trova

np = p_{i} + (n − 1)p

che dà p_{i} = p per ogni i = 1, …, n − 1. Infine si ha

p_{n} = np − ∑_{k=1}^{n−1} p_{k} = np − (n − 1)p = p

Allo stesso risultato si poteva arrivare usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Compitino di Probabilità e Statistica del 17 febbraio 2005 (Corso di Laurea

Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Hanno superato la prova:

Alessio Davide  18
Barichello Marica  18
Bettin Sandro  27
Bortoletto Giulio  16
Corsi Lara  20
De Rossi Giulia  22
Garonzi Martino  16
Gonzato Francesco 18
Maino Paola  27
Marigo Raffaele  21
Rebellato Marta  18
Trevisan Marco  22
Valente Giulia Erica 20

Visione compiti corretti: martedì 22 febbraio ore 13.00 aula P200