Esame di Probabilità e Statistica del 4 aprile 2005 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Siano A, B, C eventi indipendenti in uno spazio di probabilità (Ω, A, ℙ).

a) Dimostrare che le seguenti coppie di eventi sono indipendenti: (A^{c}, B); (A ∩ B, C^{c}); (A ∪ B, C);

b) Come cambiano le risposte del punto a) se gli eventi A, B, C sono solo indipendenti a 2 a 2? Giustificare le risposte con dimostrazioni e/o controesempi.

Esercizio 2. Siano X_{1}, X_{2} variabili aleatorie indipendenti, entrambe di legge P o(λ).

a) Fissati n ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n, calcolare P {X_{1} = k|X_{1} + X_{2} = n}

b) Supponendo n fissato, si dimostri che l’espressione sopra è il valore della densità di una variabile aleatoria binomiale.

c) Siano X_{1}, …, X_{m} variabili aleatorie i.i.d. di legge P o(λ). Si calcoli P {X_{1} = k|X_{1} + ⋯ X_{m} = n}

Esercizio 3. La densità congiunta di X e Y è data da

f(x, y) = \{ \begin{matrix}2e^{−x}e^{−2y} & per 0 < x < +∞, 0 < y < +∞ \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

Calcolare:

a) ℙ{X > 1, Y < 1}, ℙ{X < a};

b) ℙ{X < Y };

c) la densità della variabile aleatoria X/Y.

Esercizio 4. Su uno spazio probabilizzato (Ω, A, P) siano (X_{n})_{n} variabili aleatorie reali i.i.d. di legge N(0, 1). Posto S_{n} := X_{1}^{2} + … + X_{n}^{2}, si risponda alle seguenti domande:

a) che legge ha S_{n}?

b) calcolare lim_{n→∞} P \{S_{n} > \sqrt{n}\}

c) calcolare lim_{n→∞} P {S_{n} > n}

d) calcolare lim_{n→∞} P \{S_{n} > n + \sqrt{2n}\} Suggerimento: per il punto b), usare la legge dei grandi numeri. Per i punti c) e d), usare il fatto che E[X_{1}^{4}] = 3.

Soluzioni

Esercizio 1.

a) L’indipendenza della prima coppia segue dalla Proposizione 1.4.6 delle dispense, oppure dall’unione disgiunta B = (A ∩ B) ∪ (A^{c} ∩ B) e da

P (A^{c} ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B) = P (B)(1 − P (A)) = P (B)P (A^{c})

Per la seconda coppia basta dimostrare che C è indipendente da A ∩ B (e poi ci si riconduce alla prima coppia): ma per l’indipendenza di A, B, C si ha:

P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) = P (A ∩ B)P (C)

Per la terza coppia si ha che

P ((A ∪ B) ∩ C) = P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) =
= P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) =
= P (C)(P (A) + P (B) − P (A ∩ B)) = P (C)P (A ∪ B)

oppure si può ragionare nel seguente modo: la tesi è equivalente a dire che (A ∪ B)^{c} e C sono indipendenti. Ma (A ∪ B)^{c} = A^{c} ∩ B^{c}; siccome A^{c}, B^{c}, C sono indipendenti, ci si riconduce al caso precedente.

b) Ovviamente la prima risposta non cambia. Per le altre due risposte, consideriamo lo spazio probabilizzato Ω = {a, b, c, d} dotato della probabilità uniforme, e gli eventi A = {a, b}, B = {b, c}, C = {a, c}. Allora A, B, C sono indipendenti a due a due, ma si ha

P (A ∩ B ∩ C) = P (∅) = 0 ≠ \frac{1}{8} = P (A ∩ B)P (C)

quindi (A ∩ B) e C non sono indipendenti, e quindi neppure (A ∩ B) e C^{c} lo possono essere; infine

P ((A ∪ B) ∩ C) = P (C) = \frac{1}{2} ≠ \frac{3}{8} = P (A ∪ B)P (C)

Esercizio 2.

a) Usando il fatto che X_{1} + X_{2} ∼ P o(2λ), si ha

P \{X_{1} = k|X_{1} + X_{2} = n\} = \frac{P \{X_{1} = k, X_{1} + X_{2} = n\}}{P \{X_{1} + X_{2} = n\}} =

= \frac{P \{X_{1} = k\}P \{X_{2} = n − k\}}{P \{X_{1} + X_{2} = n\}} = \frac{e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} \frac{λ^{n−k}}{(n−k)!}}{e^{−2λ} \frac{(2λ)^{n}}{n!}} = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^{n}

b) Se fissiamo n, il valore trovato sopra è la densità discreta di una legge B(n, \frac{1}{2}). c) Dato che X_{1}, …, X_{m} sono i.i.d. di legge P o(λ), la variabile aleatoria Y := X_{2}+…+X_{m}

ha legge P o((m − 1)λ), e la variabile aleatoria X_{1} + Y ha legge P o(mλ),. Allora, con calcoli analoghi al punto a) si ha:

P \{X_{1} = k|X_{1} + Y = n\} = \frac{P \{X_{1} = k, Y = n − k\}}{P \{X_{1} + Y = n\}} = \frac{P \{X_{1} = k\}P \{Y = n − k\}}{P \{X_{1} + Y = n\}} =

= \frac{e^{−λ} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−(m−1)λ} \frac{((m−1)λ)^{n−k}}{(n−k)!}}{e^{−mλ} \frac{(mλ)^{n}}{n!}} = \binom{n}{k} (\frac{1}{m})^{k} (1 − \frac{1}{m})^{n−k}

Esercizio 3. Innanzitutto notiamo che la densità è fattorizzabile nella forma f(x, y) = f_{X}(x)f_{Y} (y), con f_{X}(x) = e^{−x}1_{(0,∞)} e f_{Y} (x) = 2e^{−2x}1_{(0,∞)} quindi possiamo subito dire che X e Y sono indipendenti.

a) Ricordando che la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria di legge Exp(λ) è uguale a 1 − e^{−λt}, calcoliamo:

P {X > 1, Y < 1} = P {X > 1}P {Y < 1} = (1 − F_{X}(1))F_{Y} (1) = e^{−1}(1 − e^{−2})

Inoltre:

P {X < a} = F_{X}(a) = 1 − e^{−a}

b) Calcoliamo:

P \{X < Y \} = ∫_{0}^{+∞} ∫_{0}^{y} 2e^{−x}e^{−2y} dx dy = \frac{1}{3}

c) Questo punto si può fare in due modi: uno è considerare il diffeomorfismo φ(x, y) := (\frac{x}{y}, y) definito da (0, +∞)^{2} in sè: questa trasformazione è invertibile, con inversa φ^{−1}(w, z) := (wz, z). Inoltre, entrambe le trasformazioni sono differenziabili, e

det Jac φ^{−1}(w, z) = det ( \begin{matrix}z & w \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = z

che è diverso da 0 per ogni (z, w) ∈ (0, +∞)^{2}. Allora la densità congiunta di (X/Y, Y) è

f_{\frac{X}{Y} ,Y} (w, z) = | det Jac φ^{−1}(w, z)|f_{X,Y} (φ^{−1}(w, z)) = 2ze^{−wz}e^{−2z}

per (z, w) ∈ (0, +∞)^{2}, e la densità marginale di X/Y è quindi

f_{X}(w) = ∫_{0}^{+∞} f_{\frac{X}{Y} ,Y} (w, z) dz = ∫_{0}^{+∞} 2ze^{−(2+w)z} dz = \frac{2}{(2 + w)^{2}}

per w > 0.

L’altro modo è il seguente. La densità di X/Y sarà uguale alla derivata della sua funzione di ripartizione. Dato che Y > 0 quasi certamente, si ha che per ogni t > 0:

F_{X/Y} (t) = P \{X/Y ≤ t\} = P \{X ≤ tY \} = ∫_{0}^{+∞} ∫_{0}^{ty} 2e^{−x}e^{−2y} dx dy = 1 − \frac{2}{2 + t}

Derivando si ha:

f_{X/Y} (t) = F′_{X/Y} (t) = \frac{2}{(2 + t)^{2}}

Esercizio 4.

a) Sappiamo che il quadrato di una variabile aleatoria gaussiana ha legge Γ(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = χ^{2}(1). Siccome X_{1}, …, X_{n} sono indipendenti, allora S_{n} ha legge Γ(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) = χ^{2}(n).

b) Sappiamo che E[X_{i}^{2}] = Var [X_{i}] + E[X_{i}]^{2} = 1 + 0 = 1. Allora, per la legge dei grandi numeri sappiamo che per ogni ε > 0

lim_{n→∞} P \{|\frac{S_{n}}{n} − 1| > ε\} = 0

Allora abbiamo che:

P \{S_{n} > \sqrt{n}\} = P \{1 − \frac{S_{n}}{n} < 1 − \frac{1}{\sqrt{n}}\} ≥ P \{|1 − \frac{S_{n}}{n} | < 1 − \frac{1}{\sqrt{n}}\}

e quindi, passando ai complementari per n > 4 si ha che

lim_{n→∞} P \{S_{n} ≤ \sqrt{n}\} ≤ lim_{n→∞} P \{|1 − \frac{S_{n}}{n} | ≥ 1 − \frac{1}{\sqrt{n}}\} < lim_{n→∞} P \{|1 − \frac{S_{n}}{n} | > \frac{1}{2}\} = 0

Infine

lim_{n→∞} P \{S_{n} > \sqrt{n}\} = lim_{n→∞}(1 − P \{S_{n} ≤ \sqrt{n}\}) = 1 − lim_{n→∞} P \{S_{n} ≤ \sqrt{n}\} = 1 − 0 = 1

c) Per calcolare questa probabilità bisogna usare il teorema limite centrale, per cui ci serve la varianza delle X_{i}^{2}: grazie al suggerimento, si ha che Var [X_{i}^{2}] = 𝔼[X_{i}^{4}] − 𝔼[X_{i}^{2}]^{2} = 3 − 1 = 2. Allora

lim_{n→∞} ℙ\{S_{n} > n\} = lim_{n→∞} ℙ \{\frac{S_{n} − n}{\sqrt{2n}} > 0\} = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{4π}} e^{− \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}} dx = \frac{1}{2}

d) Con calcoli analoghi al punto c), abbiamo

lim_{n→∞} ℙ\{S_{n} > n + \sqrt{2n}\} = lim_{n→∞} ℙ \{\frac{S_{n} − n}{\sqrt{2n}} > \begin{matrix}√ & \overline{2n} \\ √ & \overline{2n} \end{matrix}\} = ∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{4π}} e^{− \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}} dx =
= 1 − F_{Z}(1) = 1 − 0.84134 = 0.15826

dove Z è una generica variabile aleatoria di legge N(0, 1).

Esame di Calcolo delle Probabilità del 4 aprile 2005

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Alessio Davide  20
Bertolotti Ilaria  18,5
Bettin Sandro  25,5
Catalano Michela  18
Da Vià Marco  17,5
De Rossi Giulia  32
Garonzi Martino  23
Marchioni Marcello 25
Marigo Raffaele  23,5
Nicchio Giulia  18
Pasetto Damiano  22,5
Pegoraro Patrizia  18
Piazzon Federico  18
Pinton Stefano  28,5
Rossignolo Eleonora 19,5
Trevisan Marco  31
Varotto Aurora  18
???  21

Visione compiti e orali: venerdì 8 aprile ore 10 aula P100