Esame di Probabilità e Statistica del 21 marzo 2007 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Un amico sceglie a caso due carte, senza rimpiazzo, da un mazzo di 52 carte. In ognuna delle situazioni che seguono, determinare la probabilità condizionata che entrambe le carte siano assi, se sappiamo che:

1. Una delle carte è l’asso di picche.

2. La prima carta è un asso.

3. La seconda carta è un asso.

4. Una delle carte è un asso.

Esercizio 2. Il trasporto di 148 alunni di una scuola presso un campo sportivo viene realizzato tramite 4 autobus, sui quali salgono 40, 33, 25 e 50 ragazzini. Si sceglie un alunno a caso e si denota con X il numero totale di quelli saliti sul suo stesso autobus. Si sceglie poi, indipendentemente, uno dei quattro autisti e si denota con Y il numero totale di alunni saliti sull’autobus da lui portato.

1. Che legge hanno X e Y?

2. Calcola 𝔼[X] ed 𝔼[Y].

3. Calcola Var [X] e Var [Y].

Esercizio 3. Vogliamo costruire due centri assistenza veicoli su un’autostrada, che per semplicità supponiamo di lunghezza unitaria. Supponiamo che un veicolo che si guasta si trovi nella posizione X ∼ U(0, 1) nell’autostrada, e che il carro attrezzi possa uscire dal più vicino dei due centri, che si trovano nelle posizioni a e b, con 0 < a < b < 1.

1. Dimostrare che la distanza media che il carro attrezzi percorrerà è uguale a f(a, b) := E[min(|X − a|, |X − b|)].

2. Calcolare f(a, b).

3. Trovare la coppia (a, b) che minimizza f(a, b).

Esercizio 4. Un docente sa dall’esperienza passata che il punteggio all’esame finale degli studenti del suo corso è distribuito con media 77 e deviazione standard 15. Attualmente egli ha due classi diverse, una di 64 e una di 25 studenti.

1. Quanto vale la probabilità che la media aritmetica dei punteggi della classe di 25 studenti X̄_{25} sia compresa tra 72 e 82?

2. E per l’altra classe? (chiamiamo Ȳ_{64} la media aritmetica in questo caso)

3. Quanto vale approssimativamente la probabilità che il punteggio medio della classe da 25 superi quello della classe da 64?

4. Supponiamo che i punteggi medi delle due classi siano 76 e 83. Quale delle due classi è più probabile abbia ottenuto il punteggio di 83? Per rispondere a questa domanda, calcolare ℙ{X̄_{25} ≤ 76, Ȳ_{64} ≥ 83} e ℙ{Ȳ_{64} ≤ 76, X̄_{25} ≥ 83}.

Soluzioni

Esercizio 1. Dato che nei punti 2. e 3. viene considerato l’ordine con cui escono le carte, lo spazio probabilizzato più adatto è

Ω := D_{2}^{52} = {((i, x), (j, y)) | i, j = 1, …, 13, x, y = C, Q, F, P }

Come di consueto, poniamo A := P(Ω) e ℙ la legge uniforme, che assegna probabilità uguale a 1/|Ω| = \frac{1}{52·51} ad ogni singoletto. Poniamo poi

B := {((1, x), (1, y)) | x, y = C, Q, F, P, x ≠ y},  A_{1} := {((i, x), (j, y)) ∋ (1, P)},
A_{2} := {((1, x), (j, y))},  A_{3} := {((i, x), (1, y))},
A_{4} := {((i, x), (j, y)) | i = 1 o j = 1}

1. Abbiamo |A_{1}| = 51 + 51 = 102, e B ∩ A_{1} = {((1, x), (1, y)) | x = P o y = P }, quindi |B ∩ A_{1}| = 3 + 3. Allora

ℙ(B|A_{1}) = \frac{ℙ(B ∩ A_{1})}{ℙ(A_{1})} = \frac{\frac{6}{52·51}}{\frac{102}{52·51}} = \frac{1}{17} = 0.059

2. Abbiamo |A_{2}| = 4 · 51, e B ∩ A_{2} = B, con |B| = 4 · 3, quindi

ℙ(B|A_{2}) = \frac{ℙ(B)}{ℙ(A_{2})} = \frac{\frac{4·3}{52·51}}{\frac{4·51}{52·51}} = \frac{1}{17} = 0.059

3. Abbiamo |A_{3}| = 4 · 51, e B ∩ A_{3} = B, quindi come prima

ℙ(B|A_{3}) = \frac{ℙ(B)}{ℙ(A_{3})} = \frac{\frac{4·3}{52·51}}{\frac{4·51}{52·51}} = \frac{1}{17} = 0.059

4. Abbiamo A_{4} = A_{2}∪A_{3} = (A_{2}^{c}∩A_{3}^{c})^{c}, quindi calcolando direttamente questa probabilità oppure usando il fatto che B = A_{2} ∩ A_{3} e che quindi ℙ(A_{4}) = ℙ(A_{2}) + ℙ(A_{3}) − ℙ(B) = \frac{2·4·51−4·3}{52·51}, e ovviamente B ∩ A_{4} = B, si ha che

ℙ(B|A_{4}) = \frac{ℙ(B)}{ℙ(A_{4})} = \frac{\frac{4·3}{52·51}}{\frac{2·4·51−4·3}{52·51}} = \frac{1}{33} = 0.030

Esercizio 2.

1. Entrambe le variabili aleatorie assumono valori nell’insieme E := {40, 33, 25, 50}. Supponendo che la scelta dell’alunno venga fatta con legge uniforme, la probabilità che venga scelto un alunno dell’autobus 1, 2, 3, 4 è rispettivamente uguale a \frac{40}{148}, \frac{33}{148}, \frac{25}{148}, \frac{50}{148}, quindi p_{X}(x) = ℙ\{X = x\} = \frac{x}{148} per ogni x ∈ E. Supponendo che anche la scelta degli autisti avvenga in modo uniforme, si ha che p_{Y} (y) = ℙ\{Y = y\} = \frac{1}{4} per ogni y ∈ E.

2. Dato che X e Y possono assumere un numero finito di possibili valori, hanno entrambe speranza finita; abbiamo allora

𝔼[X] = ∑_{x∈E} xp_{X}(x) = 40 · \frac{40}{148} + 33 · \frac{33}{148} + 25 · \frac{25}{148} + 50 · \frac{50}{148} = 39.28

e

𝔼[Y] = ∑_{y∈E} yp_{Y} (y) = 40 · \frac{1}{4} + 33 · \frac{1}{4} + 25 · \frac{1}{4} + 50 · \frac{1}{4} = 37

3. Abbiamo

Var [X] = 𝔼[X^{2}]−𝔼[X]^{2} = 40^{2} · \frac{40}{148} +33^{2} · \frac{33}{148} +25^{2} · \frac{25}{148} +50^{2} · \frac{50}{148} −(39.28)^{2} = 82.50

e per Y possiamo invece usare la definizione della varianza

Var [Y] = (40 − 37)^{2} · \frac{1}{4} + (33 − 37)^{2} · \frac{1}{4} + (25 − 37)^{2} · \frac{1}{4} + (50 − 37)^{2} · \frac{1}{4} = 84.5

Esercizio 3.

1. Se il veicolo si trova nella posizione X, allora il carro attrezzi percorrerà la distanza |X − a| se parte da a e |X − b| se parte da b; poichè uscirà dal più vicino dei due centri, la distanza percorsa sarà min(|X − a|, |X − b|), e quindi la sua media è in effetti uguale a f(a, b) := 𝔼[min(|X − a|, |X − b|)].

2. Dato che X è una variabile aleatoria quasi certamente limitata e x → min(|x−a|, |x−b|) è continua, sicuramente min(|X − a|, |X − b|) è limitata e quindi in L^{1}(Ω, A, ℙ). Si ha allora

f(a, b) = 𝔼[min(|X − a|, |X − b|)] = ∫_{0}^{1} min(|x − a|, |x − b|) dx =
= ∫_{0}^{a}(a − x) dx + ∫a^{\frac{a+b}{2}} (x − a) dx + ∫ b_{\frac{a+b}{2}} (b − x) dx + ∫_{b}^{1}(x − b) dx =
= \frac{a^{2}}{2} + \frac{(b − a)^{2}}{4} + \frac{(1 − b)^{2}}{2}

3. Calcolando le derivate parziali di f si ha

f_{a}(a, b) = a − \frac{b − a}{2} = \frac{3}{2}a − \frac{1}{2}b, f_{b}(a, b) = \frac{b − a}{2} − (1 − b) = −\frac{1}{2}a + \frac{3}{2}b − 1

Ponendo il gradiente uguale a 0 si ottiene la soluzione (a, b) = (1/4, 3/4). Calcolando l’hessiano di f si ha poi

Hf(a, b) = ( \begin{matrix}3/2 & −1/2 \\ −1/2 & 3/2 \end{matrix} )

per ogni a, b, che è sempre definito positivo. Questo significa che il punto (1/4, 3/4) è un punto di minimo locale, ed essendo l’unico, anche globale.

Esercizio 4. Consideriamo variabili aleatorie (X_{i})_{i=1,...,25} e (Y_{i})_{i=1,...,64}, i.i.d. e con media 𝔼[X_{i}] = 𝔼[Y_{i}] = 77 e varianza Var [X_{i}] = Var [Y_{i}] = 15^{2}.

1. Supponendo di utilizzare l’approssimazione normale, calcoliamo

ℙ\{72 ≤ X̄_{25} ≤ 82\} = ℙ \{\frac{72 − 77}{15/\sqrt{25}} ≤ \frac{X̄_{25} − 77}{15/\sqrt{25}} ≤ \frac{82 − 77}{15/\sqrt{25}}\} =

= ℙ \{−\frac{5}{3} ≤ S_{25}^{∗} ≤ \frac{5}{3}\} ≃ Φ (\frac{5}{3}) − Φ (−\frac{5}{3}) = Φ (\frac{5}{3}) − (1 − Φ (\frac{5}{3})) =
= 2Φ (\frac{5}{3}) − 1 = 2 · 0.95154 − 1 = 0.90308

Volendo applicare anche la correzione di continuità per il fatto che i voti possono essere solo numeri interi, bisogna tener presente che X̄_{25} può assumere solo valori della forma k/25, con k ∈ ℕ, quindi bisogna calcolare ℙ{71.98 ≤ X̄_{25} ≤ 82.02}, che (nei limiti dell’approssimazione delle tavole della legge normale) dà un risultato uguale al precedente.

2. Supponendo di utilizzare l’approssimazione normale, calcoliamo

ℙ\{72 ≤ Ȳ_{64} ≤ 82\} = ℙ \{\frac{72 − 77}{15/\sqrt{64}} ≤ \frac{Ȳ_{64} − 77}{15/\sqrt{64}} ≤ \frac{82 − 77}{15/\sqrt{64}}\} =
= ℙ \{−\frac{8}{3} ≤ S_{64}^{∗} ≤ \frac{8}{3}\} ≃ 2Φ (\frac{8}{3}) − 1 = 0.99218

3. Usando l’approssimazione normale, possiamo approssimare la legge di X̄_{25} con una legge N(77; \frac{15^{2}}{25} ) e la legge di Ȳ_{64} con una legge N(77; \frac{15^{2}}{64} ). Allora, siccome le (X_{i})_{i} e le (Y_{i})_{i} sono indipendenti, possiamo approssimare la legge di X̄_{25} − Ȳ_{64} con N(0; σ_{X̄−Ȳ}^{2} ), con σ_{X̄−Ȳ}^{2} := 15(\frac{1}{25} + \frac{1}{64}), quindi

ℙ\{X̄_{25} > Ȳ_{64}\} = ℙ\{X̄_{25} − Ȳ_{64} > 0\} = ℙ \{\frac{X̄_{25} − Ȳ_{64}}{σ_{X̄−Ȳ}} > 0\} = 1 − Φ(0) = 0.5

4. Usando l’indipendenza di (X_{i})_{i} e (Y_{i})_{i}, calcoliamo:

ℙ{X̄_{25} ≤ 76, Ȳ_{64} ≥ 83} = ℙ{X̄_{25} ≤ 76}ℙ{Ȳ_{64} ≥ 83} =

= ℙ \{\frac{X̄_{25} − 77}{15/\sqrt{25}} ≤ \frac{76 − 77}{15/\sqrt{25}}\} ℙ \{\frac{Ȳ_{64} − 77}{15/\sqrt{64}} ≥ \frac{83 − 77}{15/\sqrt{64}}\} ≃
≃ Φ (−\frac{1}{3}) (1 − Φ (\frac{16}{5})) ≤ (1 − Φ(0.33))(1 − Φ(2.99)) = 0.0004782

e

ℙ{X̄_{25} ≥ 83, Ȳ_{64} ≤ 76} = ℙ{X̄_{25} ≥ 83}ℙ{Ȳ_{64} ≤ 76} =
= ℙ \{\frac{X̄_{25} − 77}{15/\sqrt{25}} ≥ \frac{83 − 77}{15/\sqrt{25}}\} ℙ \{\frac{Ȳ_{64} − 77}{15/\sqrt{64}} ≤ \frac{76 − 77}{15/\sqrt{64}}\} ≃
≃ (1 − Φ(2))Φ (−\frac{8}{15}) = (1 − Φ(2))(1 − Φ(0.53)) = 0.00678

Siccome questa seconda probabilità è più elevata, riteniamo più probabile che la votazione media che si discosta maggiormente dalla speranza (cioè quella di 83) sia della classe meno numerosa (quella da 25).

Esame di Calcolo delle Probabilità del 21 marzo 2007

(Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Hanno superato la prova:

Bacco Andrea  14 + 3^{+}
Bettin Marta  17 + 3^{−}
Brentegagni Laura 14.5 + 3^{−}
Chinellato Sara  19.5 + 3^{+}
Consarino Maria  14 + 3^{+}
Ferro Daniele  16 + 3^{+}
Fuson Sara  16 + 3^{−}
Gemin Stefano  20 + 3^{−}
Lazzarini Giovanni 26 + 3^{+}
Padoan Roberta  23.5 + 3^{+}
Parolin Catia  14.5 + 3^{+}
Pastro Valerio  20 + 3^{−}
Sala Valentina  24.5 + 3^{−}
Sambin Nicola  25 + 3^{+}
Semenzato Chiara 14 + 3^{+}
Semenzato Manuela 15.5 + 3^{−}
Siviero Andrea  22.5 + 3^{+}
Zanibellato Andrea 23.5 + 3^{+}
Zordan Michele  23.5 + 3^{−}
Zottarel Angela  23 + 3^{+}

Visione compiti, registrazione voti e orali: mercoledì 28 marzo ore 16 aula 1BC/50, oppure giovedì 29 ore 15 aula 1BC/50. Verrà data precedenza alla registrazione voti a chi accetta il voto dello scritto e ha il bonus di + 3.