Esame di Istituzioni di Matematica II del 18 gennaio 2001 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Il tasso di infarti cardiaci in 5 anni in donne sane tra i 50 e i 59 anni è 10 su 1000. Supponiamo che tra 1000 donne sane tra i 50 e i 59 anni che abbiano assunto ormoni post-menopausa, si siano osservati 3 infarti in 5 anni.

1. Calcolare la probabilità di osservare un numero di infarti minore o uguale a 3 usando la distribuzione binomiale.

2. Rispondere alla domanda 1 usando l’approssimazione di Poisson.

3. Confrontate le quantità delle domande 1 e 2.

Esercizio 2. É stato fatto uno studio sulle ore settimanali di attività fisica moderata in gruppi di uomini di diverse età, con i seguenti risultati:

età  n media ore dev. st. ore
20-34 487  8,1  1,4
35-49 233  9,7  1,2
50-64 191  7,9  1,2

1. Fare una analisi della varianza per confrontare le medie dei 3 gruppi, usando il livello α = 0,01.

2. Se necessario, fare una procedura di confronto multipla per identificare quali specifiche medie sono differenti.

Esercizio 3. Supponiamo di voler studiare l’aggregazione familiare di malattie respiratorie sulla base di malattie specifiche. Sono identificate 100 famiglie in cui uno dei due genitori ha l’asma (famiglie di tipo A) e 200 famiglie in cui nessuno dei genitori ha l’asma (famiglie di tipo B). Supponiamo che nelle famiglie del tipo A, in 15 il primogenito abbia l’asma e in 9 il primogenito abbia un altro tipo di malattia respiratoria. Inoltre, supponiamo che nelle famiglie del tipo B, in 4 il primogenito abbia l’asma e in 6 il primogenito abbia un altro tipo di malattia respiratoria.

1. Dire se il tasso di primogeniti malati di asma nei due tipi di famiglie può ritenersi uguale: fare un test con α = 0,01 e fornire il valore P (esatto o con delle limitazioni).

2. Dire se il tasso di primogeniti con malattie respiratorie non asmatiche nei due tipi di famiglie può ritenersi uguale: fare un test con α = 0,01 e fornire il valore P (esatto o con delle limitazioni).

Esercizio 4. I dati nella tabella seguente sono misure da un gruppo di 11 uomini con una malattia cardiaca prese all’autopsia:

∑ x_{i} = 611, 7, ∑ x_{i}^{2} = 35.350, 49, ∑ x_{i}y_{i} = 280.031, 5
∑ y_{i} = 4950, ∑ y_{i}^{2} = 2.421.650,

dove abbiamo indicato con x_{i} il peso corporeo totale e con y_{i} il peso del cuore dell’i-esimo individuo.

1. Costruire un intervallo di confidenza al 90% per il peso del cuore.

2. Trovare la retta di regressione tra il peso corporeo totale e il peso del cuore.

3. Fare un test per vedere se c’é una relazione lineare tra le due quantità di cui sopra; riportare il valore P.

Soluzioni

Esercizio 1. Definiamo la variabile aleatoria

X_{i} = \{ \begin{matrix}1 & se l’i-esima donna ha un infarto in 5 anni \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

Allora X_{i} ∼ B(1, p), con p = 10/1000 = 0,01. Definiamo poi S_{1000} = ∑_{i=1}^{1000} X_{i} = n. di donne inizialmente sane che hanno un infarto in 5 anni (1 punto).

1. Calcoliamo:

ℙ{S_{1000} ≤ 3} = ∑_{k=0}^{3} ℙ{S_{1000} = k} =

= \binom{1000}{0}(1 − p)^{1000} + \binom{1000}{1}p(1 − p)^{999} + \binom{1000}{2}p^{2}(1 − p)^{998} + \binom{1000}{3}p^{3}(1 − p)^{997} =
= 0, 99^{1000} + \frac{1000}{1} · 0, 01 · 0, 99^{999} + \frac{1000 · 999}{1 · 2} · 0, 01^{2} · 0, 99^{998} + \frac{1000 · 999 · 998}{1 · 2 · 3} · 0, 01^{3} · 0, 99^{997} =
= 0, 00004 + 0, 00043 + 0, 00220 + 0, 00739 = 0, 01006 (3 punti)

2. Abbiamo np = 1000· 0,01 = 10 > 5; approssimiamo quindi S_{1000} ∼ ℙ(10):

ℙ\{S_{1000} ≤ 3\} = ∑_{k=0}^{3} ℙ\{S_{1000} = k\} ≃ ∑_{k=0}^{3} e^{−10} \frac{10^{k}}{k!} =

= e^{−10} (1 + \frac{10}{1} + \frac{100}{1 · 2} + \frac{1000}{1 · 2 · 3}) = 0, 0000454 · 227, 6 = 0, 01033 (3 punti)

3. I risultati sono uguali fino alla quinta cifra decimale; ciò non stupisce, poiché per “n grande” e “p piccolo” una variabilie aleatoria binomiale può essere approssimata da una variabile di Poisson (1 punto).

Esercizio 2.

1. Facciamo un test F con ipotesi H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = μ_{3}, alternativa H_{1} : ∃i, j tali che μ_{i} ≠ μ_{j} e livello α = 0,01. Abbiamo:

s_{e}^{2} = \frac{1}{487 + 233 + 191 − 3}(486 · 1, 4^{2} + 232 · 1, 2^{2} + 190 · 1, 2^{2}) = 1, 718
X̄ = \frac{487 · 8, 1 + 233 · 9, 7 + 191 · 7, 9}{457 + 233 + 191} = 8, 46
s_{a}^{2} = \frac{1}{3 − 1}(487(8, 1 − 8, 46)^{2} + 233(9, 7 − 8, 46)^{2} + 191(7, 9 − 8, 46)^{2}) = 240, 61

Abbiamo allora:

F = \frac{s_{a}^{2}}{s_{e}^{2}} = \frac{240, 61}{1, 718} = 140

I gradi di libertà stavolta sono ν_{a} = 3 − 1 = 2, e ν_{e} = 908, che si può approssimare con ν_{e} = ∞. Il valore critico è quindi F_{1−α}(ν_{a}, ν_{e}) = F_{0,99}(2, 908) ≃ F_{0,99}(2, ∞) = 4,60. Siccome F > 4,60, rifiutiamo l’ipotesi (5 punti).

2. Facciamo ora i test di Bonferroni per i diversi campioni; abbiamo:

• 20-34 contro 35-49:

t = \frac{8, 1 − 9, 7}{\sqrt{\frac{1,4^{2}}{487} + \frac{1,2^{2}}{233}}} = −15, 8

• 35-49 contro 50-64:

t = \frac{9, 7 − 7, 9}{\sqrt{\frac{1,2^{2}}{233} + \frac{1,2^{2}}{191}}} = 15, 36

• 20-34 contro 50-64:

t = \frac{8, 1 − 7, 9}{\sqrt{\frac{1,4^{2}}{487} + \frac{1,2^{2}}{191}}} = 1, 85

Questi valori vanno confrontati con i quantili t_{1−α′/2}(ν), che non sono sulle tavole: infatti ν = 487 + 233 − 2, 233 + 191 − 2 o 487 + 191 − 2, e tutti e tre questi numeri sono approssimabili con ∞; inoltre si ha che α′ = α/3 = 0, 0033, quindi 1 − α′/2 = 0,9983. Siccome la distribuzione t(ν) si puó approssimare con una N(0, 1) per ν abbastanza grande (cioè approssimabile con ∞), otteniamo che t_{0,9983}(ν) ≃ q_{0,9983} = 2, 94. In alternativa, si possono approssimare i quantili con t_{0,9975}(∞) = 2,807 o t_{0,999}(∞) = 3,090. Qualunque quantile si usi, si vede che 20-34 contro 50-64 non hanno una differenza significativa (|1, 85| < t_{0,9983}(ν)), mentre 20-34 contro 35-49 e 35-49 contro 50-64 sì (|15, 36| > t_{0,9983}(ν) e | − 15, 8| > t_{0,9983}(ν)). Il risultato finale é quindi che si può ritenere che μ_{1} = μ_{3} ≠ μ_{2} (3 punti).

Esercizio 3. Raccogliamo i dati nella tabella:

asma altro sani totale
A 15  9  76  100
B  4  6  190 200
19  15 266 300

In entrambe le domande, bisognerà confrontare due campioni ognuno con due caratteristiche; si potrà quindi usare indifferentemente il test Z o il test χ^{2}. Per mostrare entrambi gli approcci, risolviamo il primo punto usando il χ^{2} e il secondo usando il test Z.

1. Vogliamo fare un test di ipotesi H_{0} : p_{1} = p_{2} contro l’alternativa H_{1} : p_{1} ≠ p_{2}, dove p_{1} indica la proporzione dei primogeniti asmatici nel gruppo A e p_{2} indica la proporzione dei primogeniti asmatici nel gruppo B. Raccogliamo i dati (osservati ed attesi) nella seguente tabella:

asma  non asma  totale
A 15  (6,3)  85  (93,7) 100
B  4  (12,6)  196  (187,4) 200
19  281  300

Per costruire la tabella attesa, abbiamo usato p̂ = 19/300 = 0,063. Siccome tutti i numeri della tabella attesa sono maggiori di 5, si puó usare il metodo del χ^{2}:

χ^{2} = \frac{(15 − 6, 3)^{2}}{6, 3} + \frac{(4 − 12, 6)^{2}}{12, 6} + \frac{(85 − 93, 7)^{2}}{93, 7} + \frac{(196 − 187, 4)^{2}}{187, 4} = 19, 06

Il valore critico è χ_{0,99}^{2}(1) = 6,63; siccome χ^{2} > χ_{0,99}^{2}(1), rifiutiamo H_{0} e accettiamo H_{1}. Siccome dalle tavole risulta χ_{0,999}^{2}(1) = 10,828, riportiamo P < 0,001 (4 punti). Se invece avessimo fatto un test Z, saremmo riusciti a concludere solo che P < 0,00278.

2. Vogliamo ora fare un test di ipotesi H_{0} : p_{3} = p_{4} contro l’alternativa H_{1} : p_{3} ≠ p_{4}, dove p_{3} indica la proporzione dei primogeniti con malattie non asmatiche nel gruppo A e p_{4} indica la proporzione dei primogeniti con malattie non asmatiche nel gruppo B. Abbiamo:

p̂_{3} = \frac{9}{100} = 0, 09, p̂_{4} = \frac{6}{200} = 0, 03, p̂ = \frac{9 + 6}{100 + 200} = 0, 05

Abbiamo n_{A}p̂ = 100 · 0, 05 = 5 ≥ 5 e n_{B}p̂ = 200 · 0, 05 = 10 > 5. Siccome p̂ < 1/2, sicuramente anche n_{A}(1 − p̂) e n_{B}(1 − p̂) saranno maggiori di 5, e quindi si può fare il test Z. Abbiamo:

Z = \frac{0, 09 − 0, 03}{\sqrt{0, 05(1 − 0, 05) (\frac{1}{100} + \frac{1}{200})}} = 2, 25

Il valore critico è q_{1−α/2} = q_{0,995} = 2,58; siccome |Z| < 2,58, accettiamo H_{0}. Stavolta possiamo fare il calcolo preciso di P:

P = ℙ{|Z| > 2, 25} = 2ℙ{Z > 2, 25} = 2(1 − ℙ{Z ≤ 2, 25}) =
= 2(1 − F_{Z}(2, 25)) = 2(1 − 0, 98778) ≃ 0, 0244 (4 punti)

Se avessimo usato il test χ^{2} avremmo potuto concludere solo che 0,01 < P < 0,025.

Esercizio 4. Partiamo calcolando le quantità:

X̄ = \frac{611, 7}{11} = 55, 6 (0, 5 punti),  Ȳ = \frac{4950}{11} = 450 (0, 5 punti),
s_{X}^{2} = \frac{1}{10}(35350, 49 − 11 · 55, 6^{2}) = 133, 44 (0, 5 punti),
s_{Y}^{2} = \frac{1}{10}(2421650 − 11 · 450^{2}) = 19415 (0, 5 punti),
s_{XY} = \frac{1}{10}(280031, 5 − 11 · 450 · 55, 6) = 481, 15 (0, 5 punti)

1. L’errore standard della media del peso del cuore è sȲ = \sqrt{s_{Y}^{2} /11} = \sqrt{19415/11} = 42,011, e gli estremi dell’intervallo sono quindi Ȳ ±t_{1−α/2}(ν) = 450±t_{0,95}(10)·42, 011 = 450±1, 812·42, 011 = 450±76, 12, e l’intervallo è I = [373, 87; 526, 12] (1,5 punti).

2. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione:

b_{1} = \frac{s_{XY}}{s_{X}^{2}} = 3, 60
b_{0} = Ȳ − b_{1}X̄ = 249, 52

La retta di regressione è quindi y = 3, 60x + 249, 52 (2 punti). Notiamo che in realtà la variabile y è espressa in grammi, e la variabile x in chilogrammi; volendo quindi tenere le stesse unità per entrambe le variabili, la retta di regressione sarebbe (ad esempio in g) y = 0, 0036x + 249, 52 g.

3. Bisogna fare un test di ipotesi H_{0} : β_{1} = 0 e alternativa H_{1} : β_{1} ≠ 0. Se H_{0} viene accettata, significa che non c’è dipendenza lineare. Per eseguire il test, bisogna calcolare:

s_{Y |X} = \sqrt{\frac{10}{9}(19415 − 3, 60^{2} · 133, 44)} = 140, 18
s_{b_{1}} = \frac{s_{Y |X}}{\sqrt{11 · s_{X}^{2}}} = \frac{140, 18}{\sqrt{11 · 133, 44}} = 3, 66

Costruiamo t:

t = \frac{b_{1} − 0}{s_{b_{1}}} = \frac{3, 60}{3, 66} = 0, 984

Il più piccolo quantile nelle tavole della legge t(9) è t_{0,95}(9) = 1,833 > |t|, quindi riportiamo P > 0,10. Siccome gli α comunemente usati sono tutti minori di 0,10, sicuramente accetteremmo un test, con la conclusione che non c’è una relazione lineare tra le due quantità (2 punti).

Esame di Istituzioni di Matematica II del 18 gennaio 2001 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Condini Chiara  27
Damesin Alessandro 20,5
Fiocco Francesca  28
Fogal Stefano  27,5
Manfrin Giampaolo 24
Meneghello Giulia  29
Minetto Silvia  22,5
Nalesso Giovanna  18
Pinato Odra  22,5
Rossi Alessandro  23,5
Solito Samantha  20,5
Sommaggio Roberta 17
Turato Cristian  18

Visione compiti corretti: a ricevimento, oppure mercoledì 25 gennaio aula D piano terra Vallisneri.