Esame di Istituzioni di Matematica II del 5 febbraio 2001 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Supponiamo che il tasso annuale di mortalità per incidenti automobilistici nel 1980 sia stato di 10 ogni 100.000 abitanti nelle aree urbane degli USA. Supponiamo inoltre che il tasso annuale di mortalità per incidenti automobilistici nelle aree rurali degli USA sia stato di 100 ogni 100.000 abitanti.

1. In uno stato urbano con 2 milioni di abitanti, qual è la probabilità di non osservare più di 150 vittime automobilistiche in un dato anno?

2. In uno stato rurale con 100.000 abitanti, qual è la probabilità di non osservare più di 80 vittime automobilistiche in un dato anno?

3. Quanto deve valere x perchè la probabilità di non osservare più di x vittime automobilistiche in un dato anno in uno stato rurale con 100.000 abitanti sia del 5%?

4. Quanto deve valere x perchè la probabilità di non osservare più di x vittime automobilistiche in un dato anno in uno stato urbano con 500.000 abitanti sia del 10%?

Esercizio 2. È stato notato che c’è una relazione inversa tra consumo moderato di alcool e livello di colesterolo. Per testare questa ipotesi, è stato fatto uno studio coi seguenti risultati:

numero media dev. standard
gruppo A (non bevitori)  23  205,6  25,3
gruppo B (≤ 50 g/giorno)  15  182,7  21,9
gruppo C (≥ 50 g/giorno)  12  199,8  30,3

1. Testare l’ipotesi che ci sia una differenza nella media dei livelli di colesterolo tra questi tre gruppi (usare α = 0,05).

2. Eseguire tests di confronto multipli per capire quali delle medie sono differenti.

Esercizio 3. In uno studio del 1985, 89 donne su 283 con infertilità tubale primaria e 640 donne su 3833 di un gruppo di donne sane hanno dichiarato di aver usato un dispositivo intrauterino (IUD).

1. Qual è la stima del tasso di uso di un IUD nei gruppi di donne non fertili e sane, rispettivamente?

2. Fornire un intervallo di confidenza al 95% per le stime del punto 1.

3. Eseguire un test per verificare se il rischio di infertilità tubale primaria può dipendere dall’uso di un IUD: riportare limitazioni per il valore P.

Esercizio 4. È un luogo comune che i bambini molto piccoli abbiano un metabolismo più alto che gli dà più energia rispetto agli altri bambini e agli adulti. Testiamo questa ipotesi misurando le pulsazioni cardiache al minuto di diversi bambini, con questo risultato:

Età (x)  1  0  3 3 5 5 6 6 9 8
Pulsazioni/minuto (y) 103 125 102 86 88 78 77 78 90 75

1. Trovare la retta di regressione per i dati in tabella.

2. Che test si può eseguire per vedere se in effeti il metabolismo è più alto (supponendo un effetto lineare rispetto all’età)?

3. Eseguire il test del punto 2; riportare il valore P.

Soluzioni

Esercizio 1. Definiamo la variabile aleatoria

X_{i} = \{ \begin{matrix}1 & se l’i-esimo abitante di uno Stato è vittima di un incidente \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

Allora X_{i} ∼ B(1, p), con p = 10/1.000.000 = 10^{−4} nelle aree urbane, e p = 100/1.000.000 = 10^{−3} nelle aree rurali. Definiamo poi S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} = n. di incidenti in un anno in uno Stato di n abitanti. Allora S_{n} ∼ B(n, p). Fare i calcoli con questa distribuzione sarebbe molto laborioso (e anche usare una approssimazione di Poisson); siccome np > 5 in tutti i punti, possiamo approssimare la legge di S_{n} con una legge N(np, np(1−p)). Siccome poi il fattore 1−p é dell’ordine di 1−10^{−3}, si può approssimare tranquillamente ad 1 ed approssimare quindi la legge di S_{n} con una legge N(np, np) (2 punti).

1. Abbiamo n = 2.000.000, e S_{n} ha legge approssimabile con N(200; 200). Calcoliamo:

ℙ\{S_{n} ≤ 150\} ≃ ℙ \{\frac{S_{n} − 200}{\sqrt{200}} ≤ \frac{150 − 200}{\sqrt{200}}\} = ℙ \{Z ≤ −\frac{5}{\sqrt{2}}\} =
= F_{Z}(−3, 54) = 1 − F_{Z}(3, 54) < 1 − 0, 998 = 0, 002  (1, 5 punti)

2. Abbiamo n = 100.000, e S_{n} ha legge approssimabile con N(100; 100). Calcoliamo:

ℙ\{S_{n} ≤ 80\} ≃ ℙ \{\frac{S_{n} − 100}{\sqrt{100}} ≤ \frac{80 − 100}{\sqrt{100}}\} = ℙ \{Z ≤ −2\} =
= F_{Z}(−2) = 1 − F_{Z}(2) = 1 − 0, 977 = 0, 023  (1, 5 punti)

3. Abbiamo ancora n = 100.000, eS_{n} ha legge approssimabile con N(100; 100). Calcoliamo:

0, 05 = ℙ\{S_{n} ≤ x\} ≃ ℙ \{\frac{S_{n} − 100}{\sqrt{100}} ≤ \frac{x − 100}{\sqrt{100}}\} = ℙ \{Z ≤ \frac{x − 100}{10}\} = F_{Z} (\frac{x − 100}{10})

Abbiamo quindi:

\frac{x − 100}{10} = q_{0,05} = −q_{0,95} = −1, 64

e quindi x = −16, 4 + 100 = 83, 6 ≃ 84 (1,5 punti).

4. Abbiamo n = 500.000, eS_{n} ha legge approssimabile con N(50; 50). Calcoliamo:

0, 1 = ℙ\{S_{n} ≤ x\} ≃ ℙ \{\frac{S_{n} − 50}{\sqrt{50}} ≤ \frac{x − 50}{\sqrt{50}}\} = ℙ \{Z ≤ \frac{x − 50}{\sqrt{50}}\} = F_{Z} (\frac{x − 50}{\sqrt{50}})

Abbiamo quindi:

\frac{x − 50}{\sqrt{50}} = q_{0,1} = −q_{0,9} = −1, 28

e quindi x = −1, 28 · \sqrt{50} + 50 = 40, 95 ≃ 41 (1,5 punti).

Esercizio 2.

1. Facciamo un test F con ipotesi H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = μ_{3}, alternativa H_{1} : ∃i, j tali che μ_{i} ≠ μ_{j} e livello α = 0,05 (1 punto). Abbiamo:

s_{e}^{2} = \frac{1}{23 + 15 + 12 − 3}(22 · 25, 3^{2} + 14 · 21, 9^{2} + 11 · 30, 3^{2}) = 657, 3  (1 punto)
X̄ = \frac{23 · 205, 6 + 15 · 182, 7 + 12 · 199, 8}{23 + 15 + 12} = 197, 3  (1 punto)
s_{a}^{2} = \frac{1}{3 − 1}(23(205, 6 − 197, 3)^{2} + 15(182, 7 − 197, 3)^{2} + 12(199, 8 − 197, 3)^{2}) = 2421, 2  (1 punto)

Abbiamo allora:

F = \frac{s_{a}^{2}}{s_{e}^{2}} = \frac{2421, 2}{657, 3} = 3, 68

I gradi di libertà stavolta sono ν_{a} = 3 − 1 = 2, e ν_{e} = 47, che si può approssimare con ν_{e} = 40. Il valore critico è quindi F_{1−α}(ν_{a}, ν_{e}) = F_{0,95}(2, 47) ≃ F_{0,95}(2, 40) = 3,23. Siccome F > 3,23, rifiutiamo l’ipotesi (1 punto).

2. Facciamo ora i test di Bonferroni per i diversi campioni, usando α′ = α/3 = 0,016; approssimiamo 1 − α′/2 = 0,992 ≃ 0,99 (1 punto). Abbiamo:

• A contro B:

t = \frac{205, 6 − 182, 7}{\sqrt{\frac{25,3^{2}}{23} + \frac{21,9^{2}}{15}}} = 2, 96

da confrontare con il valore critico t_{0,99}(36) ≃ t_{0,99}(40) = 2,42. Siccome |t| > 2,42, concludiamo che μ_{A} ≠ μ_{B} (0,5 punti).

• A contro C:

t = \frac{205, 6 − 199, 8}{\sqrt{\frac{25,3^{2}}{23} + \frac{30,3^{2}}{12}}} = 0, 56

da confrontare con il valore critico t_{0,99}(33) ≃ t_{0,99}(30) = 2,45. Siccome |t| < 2,45, concludiamo che μ_{A} = μ_{C} (0,5 punti).

• B contro C:

t = \frac{199, 8 − 182, 7}{\sqrt{\frac{21,9^{2}}{15} + \frac{30,3^{2}}{12}}} = 1, 64

da confrontare con il valore critico t_{0,99}(25) ≃ t_{0,99}(30) = 2,48. Siccome |t| < 2,48, concludiamo che μ_{B} = μ_{C} (0,5 punti).

Arriviamo quindi alla conclusione contraddittoria μ_{A} = μ_{C} = μ_{B} ma μ_{A} ≠ μ_{C}. Ricordiamo però che il test di Bonferroni è conservativo, quindi la conclusione più plausibile è che μ_{A} = μ_{C} ≠ μ_{B}: in altre parole, il consumo moderato di alcool (meno di 50 g/giorno) abbassa il livello di colesterolo in modo significativo (0,5 punti).

Esercizio 3.

1. Donne non fertili: p̂_{A} = 89/283 = 0,314; donne sane: p̂_{B} = 640/3833 = 0,167 (1 punto)

2. Donne non fertili: l’intervallo di confidenza ha estremi

p̂_{A} ± q_{1−0,05/2}\sqrt{\frac{p̂_{A}(1 − p̂_{A})}{n}} = 0, 314 ± 1, 96 · \sqrt{\frac{0, 314 · 0, 686}{283}} = 0, 314 ± 0, 054

quindi l’intervallo è [0, 260; 0, 369] (1 punto).

Donne sane: l’intervallo di confidenza ha estremi

p̂_{B} ± q_{1−0,05/2}\sqrt{\frac{p̂_{B}(1 − p̂_{B})}{n}} = 0, 167 ± 1, 96 · \sqrt{\frac{0, 167 · 0, 833}{3833}} = 0, 167 ± 0, 012

quindi l’intervallo è [0, 155; 0, 179] (1 punto).

3. Per rispondere alla domanda, dobbiamo ordinare i dati in questo modo:

non fertili sane totale
IUD 89 640 729

non IUD

totale  283  3833 4116

Vogliamo fare un test di ipotesi H_{0} : p_{IUD} = p_{no−IUD} contro l’alternativa H_{1} : p_{IUD} ≠ p_{no_{I}UD}, dove p_{i} è la probabilità che una donna del gruppo i = IUD, no-IUD, non sia fertile (in altre parole, i calcoli fatti nei punti 1 e 2 sono inutili ai fini del nostro test). Riempiamo quindi la tabella in alto e calcoliamo la tabella attesa (2,5 punti): per fare questo ci serve p̂ = \frac{283}{4116} = 0,068. Abbiamo

IUD  89 (50) 640 (679) 729
non IUD 194 (233) 3193 (3154) 3387
totale  283  3833  4116

Siccome tutti i numeri della tabella attesa sono maggiori di 5, si puó usare il metodo del χ^{2} (0,5 punti):

χ^{2} = \frac{(89 − 50)^{2}}{50} + \frac{(194 − 233)^{2}}{233} + \frac{(640 − 679)^{2}}{679} + \frac{(3193 − 3154)^{2}}{3154} = 39, 67 (1 punto)

L’ultimo valore in tavola è χ_{0,999}^{2}(1) = 10,828 < 39,67, quindi riportiamo P < 0,001. Questo ci spinge a rifiutare l’ipotesi H_{0} e ad accettare l’alternativa H_{1}: in altre parole, l’infertilità tubale primaria può dipendere anche dall’uso di un IUD (1 punto).

Esercizio 4. Facendo i calcoli, troviamo che

∑_{i=1}^{10} X_{i} = 46,  ∑_{i=1}^{10} Y_{i} = 902,  ∑_{i=1}^{10} X_{i}^{2} = 286,  ∑_{i=1}^{10} Y_{i}^{2} = 83600,  ∑_{i=1}^{10} X_{i}Y_{i} = 3837

Calcoliamo poi le quantità:

X̄ = \frac{46}{10} = 4, 6 (0, 5 punti),  Ȳ = \frac{902}{10} = 90, 2 (0, 5 punti),
s_{X}^{2} = \frac{1}{9}(286 − 10 · 4, 6^{2}) = 8, 26 (0, 5 punti),
s_{Y}^{2} = \frac{1}{9}(83600 − 10 · 90, 2^{2}) = 248, 84 (0, 5 punti),
s_{XY} = \frac{1}{9}(3837 − 10 · 90, 2 · 4, 6) = 34, 69 (0, 5 punti)

1. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione:

b_{1} = \frac{s_{XY}}{s_{X}^{2}} = −4, 19, b_{0} = Ȳ − b_{1}X̄ = 109, 47

La retta di regressione è quindi y = −4, 19x + 109, 47 ( punto).

2. Bisogna fare un test di ipotesi H_{0} : β_{1} = 0 e alternativa H_{1} : β_{1} ≠ 0. Se H_{0} viene accettata, significa che il metabolismo non dipende (linearmente) dall’età (1 punto).

3. Per eseguire il test, bisogna calcolare:

s_{Y |X} = \sqrt{\frac{n − 1}{n − 2}(s_{Y}^{2} − b_{1}^{2}s_{X}^{2})} = 10, 8 (1 punto)
s_{b_{1}} = \frac{s_{Y |X}}{\sqrt{9 · s_{X}^{2}}} = 1, 25 (1 punto)

Costruiamo t:

t = \frac{b_{1} − 0}{s_{b_{1}}} = \frac{−4, 19}{1, 25} = −3, 35 (0, 5 punti)

Nelle tavole della legge t(8), t è compreso tra t_{0,99}(8) = 2,89 e t_{0,995}(8) = 3,35, quindi riportiamo 0,01 < P < 0,02 (1 punto). La conclusione è che sembra esserci una relazione lineare tra le due quantità. In realtà, i dati sono stati presi da un esperimento più grande, in cui le età arrivavano a 21 anni, e l’effetto lineare era molto meno evidente: probabilmente la dipendenza è quindi più complessa.

Esame di Istituzioni di Matematica II del 5 febbraio 2001 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Sono ammessi all’orale:

Barison Erika  23,5
Boldrin Francesca  19
Carnio Silvia  23,5
Casagrande Silvia  21
Celegato Marta  18
Cuba Chiara  21,5
Faggionato Davide 18
Ferro Ambra  24,5
Fontebasso Yari  26
Gallelli Annarita  25,5
Gani Anna  22,5
Litteri Gaia  29
Lombardi Raffaele  26
Loro Emanuele  21,5
Magrini Elena  26,5
Marangoni Chiara  18
Monaco Giovanni  22,5
Nalesso Giovanna  23
Pendin Diana  21,5
Pianalto Anna  17,5
Rossato Christian  17
Sommaggio Roberta 19
Stella Roberto  26,5
Terenzio Marco  27,5
Urbanet Riccardo  24
Ventura Marcello  17
Vettori Francesca  20,5
Vivona Sandro  18
Zampetti Stefania  20,5