Esame di Statistica del 12 febbraio 2007 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova).

Cognome  Nome  Matricola

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale

Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

Esercizio 1. Un’azienda produce occhiali utilizzando tre diversi macchinari. Il primo macchinario produce mediamente un paio di occhiali difettosi ogni 100, il secondo ogni 200, il terzo ogni 300. Gli occhiali vengono imballati in scatole identiche, contenenti 100 paia. Ogni scatola contiene occhiali scelti a caso tra quelli prodotti da una sola delle tre macchine. Si supponga che il primo macchinario abbia una produzione doppia rispetto agli altri due, cioè una scatola scelta a caso ha probabilità 1/2 di essere prodotta dal primo macchinario, 1/4 da secondo e 1/4 dal terzo. Un ottico riceve una di queste scatole.

1. Qual è la probabilità che trovi almeno un paio di occhiali difettoso?

2. Se l’ottico trova esattamente due paia difettose, qual è la probabilità che gli occhiali siano stati prodotti dal primo macchinario?

Esercizio 2. In un esperimento del 1943, 10 ratti albini furono usati per studiare l’efficacia del tetracloruro di carbonio nel trattamento dei vermi. Le cavie furono infettate con larve e dopo 10 giorni divise a caso in due gruppi da 5, trattati con dosi diverse della sostanza. Due giorni dopo i ratti furono soppressi e i vermi contati, coi seguenti risultati:

0.032 cc 421 462 400 378 413 0.063 cc 207 17 412 74 116

1. Calcolare gli intervalli di confidenza al 95% per entrambi i campioni.

2. Supponendo che la varianza tra le popolazioni sia la stessa, dire se questi dati dimostrano che il dosaggio superiore è stato più efficace. Riportare limitazioni al valore P.

Esercizio 3. Un campione aleatorio di 500 famiglie degli Stati Uniti è stato classificato per regione e reddito (in migliaia di dollari), ottenendo i risultati seguenti:

reddito sud nord
0–10  42 53
10–30 102 178
30 o più 36 89

1. Ci sono differenze tra le diverse classi di reddito nel fatto di appartenere agli Stati del nord o agli Stati del sud? Effettuare il test con un livello α = 0.05 e riportare un valore P.

2. Stabilire quali sono le classi di reddito in cui il tasso di appartenenza geografica si può ritenere uguale.

Esercizio 4. Le cifre che seguono sono le medie annuali dei prezzi di tutti i libri recensiti dalla rivista Science dal 1990 al 1996.

anno (−1900) (x) 90 91 92 93 94 95 96 ; dollari (y) 54.43 54.08 57.58 51.21 59.96 60.52 62.13

con le seguenti statistiche aggregate:

∑_{i=1}^{7} x_{i} = 651,  ∑_{i=1}^{7} y_{i} = 399.91, ∑_{i=1}^{7} x_{i}^{2} = 60571,  ∑_{i=1}^{7} y_{i}^{2} = 22943.20,  ∑_{i=1}^{7} x_{i}y_{i} = 37229.99

1. Trovare la retta di regressione del prezzo medio dei libri rispetto all’anno.

2. Eseguire un test per vedere se in effetti c’è una relazione lineare. Riportare limitazioni al valore P.

3. Fornire un intervallo di confidenza al 95% della media dei prezzi di tutti i libri recensiti nel 1997.

Soluzioni

Esercizio 1. Definiamo gli eventi A_{j} := { la scatola proviene dal j-esimo macchinario}, j = 1, 2, 3. Allora Ω = A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3}, e l’unione è disgiunta, e si ha ℙ(A_{1}) = 1/2, ℙ(A_{2}) = ℙ(A_{3}) = 1/4. Modellizziamo inoltre i difetti degli occhiali con delle variabili aleatorie di Bernoulli definite da

X_{i} := \{ \begin{matrix}1 & se l’i-esimo occhiale è difettoso \\ 0 & altrimenti \end{matrix}

Allora le (X_{i})_{i} sono i.i.d. con legge Be(p_{i}) sotto ciascuna delle ℙ(·|A_{i}), dove p_{1} = 1/100, p_{2} = 1/200 e p_{3} = 1/300. Consideriamo poi S_{100} := ∑_{i=1}^{100} X_{i} ∼ B(100, p_{i}) sotto ℙ(·|A_{i}).

1. Applicando la formula della probabilità totale, abbiamo:

ℙ{S_{100} > 0} = 1 − ℙ{S_{100} = 0} = 1 − ∑_{j=1}^{3} ℙ({S_{100} = 0}|A_{j})ℙ(A_{j}) =

= 1 − ∑_{j=1}^{3} \binom{100}{0}(1 − p_{j})^{100}ℙ(A_{j}) =

= 1 − ((1 − \frac{1}{100})^{100} · \frac{1}{2} + (1 − \frac{1}{200})^{100} · \frac{1}{4} + (1 − \frac{1}{300})^{100} · \frac{1}{4}) =
= 1 − 0.513492 = 0.486508

2. Applicando la formula di Bayes, bisogna calcolare

ℙ(A_{1}|\{S_{100} = 2\}) = \frac{ℙ(\{S_{100} = 2\}|A_{1})ℙ(A_{1})}{∑_{j=1}^{3} ℙ(\{S_{100} = 2\}|A_{j})ℙ(A_{j})} = \frac{\binom{100}{2}p_{1}^{2}(1 − p_{1})^{98} \frac{1}{2}}{∑_{j=1}^{3} \binom{100}{2}p_{j}^{2}(1 − p_{j})^{98}ℙ(A_{j})} =

= \frac{\binom{100}{2} (\frac{1}{100})^{2} (1 − \frac{1}{100})^{98} · \frac{1}{2}}{\binom{100}{2} ((\frac{1}{100})^{2} (1 − \frac{1}{100})^{98} · \frac{1}{2} + (\frac{1}{200})^{2} (1 − \frac{1}{200})^{98} · \frac{1}{4} + (\frac{1}{300})^{2} (1 − \frac{1}{300})^{98} · \frac{1}{4})} =

= \frac{0.092432}{0.121275} = 0.762172

dove per il denominatore abbiamo applicato la formula della probabilità totale.

Esercizio 2.

1. Calcolando media e varianza campionarie dei due gruppi otteniamo per il primo X̄ = 414.8 e s_{X}^{2} = 960.70 e per il secondo Ȳ = 165.2 e s_{Y}^{2} = 23839.70, quindi sX̄ = \sqrt{s_{X}^{2}/5} = 13.86 e sȲ = \sqrt{s_{Y}^{2} /5} = 69.05. Abbiamo poi per entrambi i campioni t_{1−α/2}(ν) = t_{0.975}(4) = 2.776. Allora il primo intervallo di confidenza ha estremi X̄ ±t_{1−α/2}(ν)sX̄ = 414.8±2.776·13.86, e risulta uguale a [376; 453]; il secondo invece ha estremi Ȳ ± t_{1−α/2}(ν)sȲ = 165.2 ± 2.776 · 69.05, e risulta uguale a [−26; 357]

2. Facciamo un test t sulla differenza delle medie con ipotesi H_{0} : μ_{X} = μ_{Y} e alternativa H_{1} : μ_{X} > μ_{Y}. Supponendo che la varianza delle popolazioni iniziali sia la stessa, possiamo usare un test di Student. Abbiamo

t = \frac{X̄ − Ȳ}{s_{X̄−Ȳ}} = \frac{414.8 − 165.2}{\sqrt{\frac{960.70}{5} + \frac{23839.70}{5}}} = 3.54

I gradi di libertà sono ν = 5 + 5 − 2 = 8. La regione critica è della forma [t_{1−α}(ν), +∞). Siccome t_{0.995}(8) = 3.355 < t < t_{0.9975}(8) = 3.833, possiamo riportare 0.0025 < P < 0.005. Questo significa che possiamo rifiutare H_{0} e accettare H_{1}: il dosaggio maggiore sembra più efficace.

Esercizio 3.

1. Vogliamo fare un test di ipotesi H_{0} : p_{1} = p_{2} = p_{3} contro l’alternativa H_{1} : ∃i, j tali che p_{i} ≠ p_{j}. Raccogliamo i dati osservati ed attesi nella seguente tabella:

sud  nord  totale
1 42 (34) 53 (61)  95
2 102 (101) 178 (179) 280
3 36 (45) 89 (80) 125
180  320  500

Per costruire la tabella attesa, abbiamo usato

p̂ = \frac{42 + 102 + 36}{95 + 280 + 125} = 0.36

Siccome tutti i numeri della tabella attesa sono maggiori di 5, si puó usare il metodo del χ^{2}:

χ^{2} = \frac{(42 − 34)^{2}}{34} + \frac{(53 − 61)^{2}}{61} + \frac{(102 − 101)^{2}}{101} + \frac{(178 − 179)^{2}}{179} +

+\frac{(36 − 45)^{2}}{45} + \frac{(89 − 80)^{2}}{80} = 5.61

Il valore critico è χ_{0.95}^{2}(2) = 5.991; siccome χ^{2} < χ_{0.95}^{2}(2), accettiamo H_{0}: non sembra che l’appartenenza regionale sia legata all’appartenenza alle diverse classi di reddito. Inoltre possiamo dire che P > 0.05 (6 punti).

2. Poichè abbiamo già accettato H_{0}, i tassi si possono ritenere tutti uguali fra di loro senza fare ulteriori tests (2 punti).

Esercizio 4. Partiamo calcolando le quantità:

X̄ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i} = 93 (0.5 punti),  Ȳ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Y_{i} = 57.13 (0.5 punti),

s_{X}^{2} = \frac{1}{n − 1} (∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2} − nX̄^{2}) = 4.66 (0.5 punti),

s_{Y}^{2} = \frac{1}{n − 1} (∑_{i=1}^{n} Y_{i}^{2} − nȲ^{2}) = 16.05 (0.5 punti),

s_{XY} = \frac{1}{n − 1} (∑_{i=1}^{n} X_{i}Y_{i} − nX̄Ȳ ) = 6.39 (0.5 punti)

1. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione:

b_{1} = \frac{s_{XY}}{s_{X}^{2}} = 1.37
b_{0} = Ȳ − b_{1}X̄ = −70.28

La retta di regressione è quindi y = 1.37x − 70.28.

2. Bisogna eseguire un test di ipotesi H_{0} : β_{1} = 0 e alternativa H_{1} : β_{1} ≠ 0. Bisogna allora calcolare:

s_{Y |X} = \sqrt{\frac{n − 1}{n − 2}(s_{T}^{2} − b_{1}^{2}s_{X}^{2})} = 2.96
s_{b_{1}} = \frac{s_{T |X}}{\sqrt{(n − 1) · s_{X}^{2}}} = 0.56

Abbiamo allora

t = \frac{b_{1} − 0}{s_{b_{1}}} = 2.44

Bisogna confrontare |t| con una legge di Student a ν = 7 − 2 = 5 gradi di libertà. Abbiamo che t_{0.95}(5) = 2.015 < |t| = 2.44 < t_{0.975}(5) = 2.570, quindi 0.05 < P < 0.1. Con una P così alta siamo portati ad accettare H_{0}, il che significa che non sembra esserci una relazione lineare della media dei prezzi dei libri recensiti rispetto all’anno.

3. La media che ci attendiamo per i prezzi del 1997 (quindi con x = 97) è y = b_{1}x + b_{0} = 62.61. L’errore standard della stima della y è

s := s_{Y |X} \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x − X̄)^{2}}{(n − 1)s_{x}^{2}}} = 3.87

e t_{0.975}(5) = 2.570, quindi l’intervallo di confidenza cercato ha estremi y ± t_{1−α/2}(ν)s = 62.61 ± 2.570 · 3.87, ed è quindi [52.66; 72.56] Esame di Statistica del 12 febbraio 2007 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli

Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu)

Hanno superato la prova:

Agnolon Valentina  21 + 3^{−}
Anselmi Giulia  24 + 3^{+}
Bisin Marco  18 + 3^{−}
Bordin Fulvio  20.5 + 3^{−}
Cantarelli Irene Xochilt  20.5 + 3^{+}
Casano Alessandra Maria 21.5 + 3^{−}
Civettini Michele  15 + 3^{+}
De Prà Valentina  17
Ferro Chiara  20
Filograna Roberta  25.5 + 3^{+}
Foletto Mattia  18.5
Fortin Andrea  15.5 + 3^{+}
Gardiman Elisa  16.5 + 3^{−}
Gottardo Lisa  23.5 + 3^{−}
Loschi Luca  16 + 3^{+}
Lunardon Alice  22.5 + 3^{+}
Massarotto Luca  16.5 + 3^{−}
Nigris Sebastiano  19 + 3^{−}
Orlandi Veronica  22 + 3^{+}
Pianca Nicola  19
Pinto Marcella  26 + 3^{+}
Rigato Annafrancesca  25
Romoli Ottavia  24 + 3^{−}
Salvagnin Umberto  20
Stasi Fabio  22.5 + 3^{−}
Szekely Serena  24.5 + 3^{+}
Tebaldi Marta  20 + 3^{−}
Zilio Federica  18 + 3^{−}

Visione compiti corretti, registrazione voto e/o orali: giovedì 15 febbraio ore 14.30 aula Aula 1BC/50 torre Archimede. Verrà data precedenza alla registrazione voti a chi accetta il voto dello scritto e ha il bonus di + 3.