Teoria della misura

Tiziano Vargiolu

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

via Belzoni, 7 - 35131 Padova

email: vargiolu@galileo.math.unipd.it

15 marzo 1999

Indice

1 Teoria della misura 1 1.1 Definizione di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Misure esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Misura di Lebesgue e misure di Borel sulla retta reale . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Misure prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Integrazione 12 2.1 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Integrazione di funzioni non negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Integrale di funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Complementi 24 3.1 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Integrazione di funzioni complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Convergenza in misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Integrale di Lebesgue n-dimensionale; integrali dipendenti da parametro . . 27

Capitolo 1

Teoria della misura

1.1 Definizione di misura

Definizione 1.1 Prendiamo un insieme X e una famiglia M di sottoinsiemi di X (nel seguito si indicherá questo con M ⊆ P(X)). Diciamo che M é un’algebra se:

i) ∅ ∈ M

ii) A ∈ M ⇒ A^{c} ∈ M (M é chiusa per complemento) iii) A, B ∈ M ⇒ A ∪ B ∈ M (M é chiusa per unione finita)

Osserviamo che dalla definizione di algebra segue che X ∈ M e che A, B ∈ M ⇒ A ∩ B ∈ M, cioé che M é chiusa per intersezione finita. Infatti si puó ottenere A ∩ B in questo modo:

A ∩ B = (A^{c} ∪ B^{c})^{c}

Definizione 1.2 Prendiamo un’algebra M ⊆ P(X). Una funzione d’insieme μ : M → [0, +∞] si dice finitamente additiva o misura finitamente additiva se:

i) μ(∅) = 0 ii) A, B ∈ M, A ∩ B = ∅ ⇒ μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B)

Teorema 1.3 Sia μ una misura finitamente additiva. Allora:

a) A, B ∈ M, A ⊆ B ⇒ μ(A) ≤ μ(B) (μ é monotona)

b) A, B ∈ M, A ⊆ B, μ(A) < +∞ ⇒ μ(B \ A) = μ(B) − μ(A)

c) A_{1}, …, A_{n} ∈ M ⇒ μ(∪_{i=1}^{n}A_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{n} μ(A_{i}) (μ é subadditiva) Dimostrazione. a) Poiché B = A ∪ (B \ A), si ha che μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) ≥ μ(A).

b) Se μ(A) < +∞, allora si puó sottrarre μ(A) da entrambi i membri della relazione μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) e si ottiene la tesi. c) Si ha

⋃_{i=1}^{n} A_{i} = A_{1} ∪ (A_{2} \ A_{1}) ∪ … ∪ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i})

e dunque

μ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = μ(A_{1}) + μ(A_{2} \ A_{1}) + … + μ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i})

Applicando (a) si ottiene la tesi. □

Esempio 1.4 Prendiamo un insieme X finito e A = P(X). Allora A é un’algebra. Se poi prendiamo una generica funzione f : X ∈ [0, +∞], allora questa definisce una misura finitamente additiva in questo modo:

μ(A) = ∑_{x∈A} f(x)

Esempio 1.5 (“misura” di Jordan-Riemann) Prendiamo X = ℝ e

A = {⋃_{i=1}^{n} I_{i} | I_{i} intervalli disgiunti}

Allora A é un’algebra; se poi per un generico intervallo I di estremi a < b (quindi della forma (a, b), [a, b), (a, b] o [a, b]) definiamo μ(I) = b − a, allora possiamo estendere μ ad A in questo modo:

μ(∪_{i=1}^{n}I_{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ(I_{i})

Questa funzione é nota come misura di Jordan-Riemann. Nonostante il nome, é una misura finitamente additiva, e non una misura nel senso della teoria della misura. Tuttavia la teoria della misura é nata proprio per estendere la misura di Riemann ad insiemi piú generali di quelli di A.

Definizione 1.6 Prendiamo un insieme X e una famiglia M ⊆ P(X). Diciamo che M é una σ-algebra se:

i) ∅ ∈ M

ii) A ∈ M ⇒ A^{c} ∈ M

iii) A_{n} ∈ M ∀n ≥ 1 ⇒ ∪_{n=1}^{∞}A_{n} ∈ M (M é chiusa per unione numerabile)

Osserviamo che una σ-algebra é anche un’algebra, quindi una σ-algebra é chiusa anche per complemento, per unione finita e per intersezione finita. Inoltre essa é chiusa anche per intersezione numerabile (esercizio).

Definizione 1.7 Prendiamo una σ-algebra M ⊆ P(X). Una funzione d’insieme μ : M → [0, +∞] si dice misura se:

i) μ(∅) = 0

ii) A_{n} ∈ M ∀n ≥ 1, A_{n} disgiunti ⇒ μ(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

Presentiamo ora un concetto che mette insieme gli oggetti delle ultime due definizioni. Diamo inoltre un po’ di terminologia di teoria della misura.

Definizione 1.8 Si dice spazio misurato una terna (X, M, μ), dove X é un insieme generico, M ⊆ P(X) é una σ-algebra, e μ é una misura su M. La coppia (X, M) (senza specificare la misura μ) si dice spazio misurabile. Gli insiemi A ∈ M si dicono insiemi misurabili. Se A ∈ M, μ(A) = 0, allora A si dice insieme trascurabile. Se una proprietá vale ∀x ∈ X \ A, con A trascurabile, allora si dice che la proprietá vale quasi ovunque (abbreviato q.o.). Infine, la misura μ su X si dice finita se μ(X) < +∞, e si dice σ-finita se esiste una partizione X = ∪_{n=1}^{∞}A_{n} tale che μ(A_{n}) < +∞ per ogni n.

Le misure godono naturalmente di tutte le proprietá delle misure finitamente additive; in particolare, sono monotone e (finitamente) subadditive. Si puó dimostrare tuttavia che esse godono di altre proprietá:

Teorema 1.9 Sia (X, M, μ) uno spazio misurato. Allora

a) se A, B ∈ M, A ⊆ B, allora μ(A) ≤ μ(B) (monotonia)

b) se (A_{n})_{n} ⊆ M, allora μ(∪_{i=1}^{∞}A_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(A_{i}) (subadditivitá numerabile)

c) se (A_{n})_{n} ⊆ M, A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ ⋯, allora μ(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) (continuitá dal basso)

d) se (A_{n})_{n} ⊆ M, A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯, e μ(A_{n}) < +∞ per qualche n, allora μ(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) (continuitá dall’alto)

Dimostrazione. a) Vedi teorema 1.3 b) Si ha

⋃_{n=1}^{∞} A_{n} = A_{1} ∪ (A_{2} \ A_{1}) ∪ … ∪ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}) ∪ …

e dunque

μ ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = μ(A_{1}) + μ(A_{2} \ A_{1}) + … + μ (A_{n} \ ⋃_{i=1}^{n−1} A_{i}) + …

Applicando (a) si ottiene la tesi. c) Poniamo E_{0} = ∅. Allora:

μ ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n} \ A_{n−1}) = lim_{k→∞} ∑_{n=1}^{k} μ(A_{n} \ A_{n−1}) = lim_{k→∞} μ(A_{k})

d) Poniamo B_{i} = A_{n}\A_{i} per i > n. Allora B_{n+1} ⊆ B_{n+2} ⊆ ⋯, μ(A_{n}) = μ(B_{i})+μ(A_{i}) per i > n, e ∪_{i=n+1}^{∞}B_{i} = A_{n} \ ∩_{i=1}^{∞}A_{i}. Allora per (c) si ha

μ(A_{n}) = μ (⋂_{i=1}^{∞} A_{i}) + lim_{i→∞} μ(B_{i}) = μ (⋂_{i=1}^{∞} A_{i}) + lim_{i→∞}(μ(A_{n}) − μ(A_{i}))

Siccome μ(A_{n}) < +∞, possiamo sottrarlo da entrambi i lati e otteniamo il risultato. □

Vediamo ora alcuni esempi di spazi misurati.

Esempio 1.10 Prendiamo un insieme X numerabile e M = P(X). Allora M é una σalgebra. Se poi prendiamo una generica funzione f : X → [0, +∞], allora questa definisce una misura su X in questo modo:

μ(A) = ∑_{x∈A} f(x)

Se f(x) < +∞ ∀x ∈ X, allora μ é σ-finita su X.

Esempio 1.11 (delta di Dirac) Prendiamo un insieme generico X e definiamo M = P(X). Prendiamo poi un x ∈ X fissato e definiamo

δ_{x}(A) = \{ \begin{matrix}1 & se x ∈ A \\ 0 & se x ∉ A \end{matrix} ∀A ⊆ X

La δ_{x} é una misura nota come delta di Dirac nel punto x. Essa é una misura finita su X. Il suo ruolo nell’analisi é degno di nota: infatti i “non matematici” (fisici, ingegneri, ecc.) tendono ad usarla nella teoria delle equazioni differenziali come se fosse una funzione reale su X che “vale +∞ in x e 0 altrove. L’esistenza di questa ed altre “funzioni strane” ha fatto sí che si sviluppasse la teoria delle funzioni generalizzate, meglio nota come teoria delle distribuzioni.

Esempio 1.12 (misura che conta i punti) Prendiamo un insieme generico X e definiamo M = P(X), e

μ(A) = Card (A)

La μ é nota come misura che conta i punti. Essa é finita se X é finito, e σ-finita se X é numerabile.

Esempio 1.13 Prendiamo un insieme infinito X e definiamo M = P(X), e

μ(A) = \{ \begin{matrix}+∞ & se A é infinito \\ 0 & se A é finito \end{matrix} ∀A ⊆ X

Allora μ é una misura finitamente additiva, ma non é una misura. Per vedere questo, basta verificare su un insieme numerabile A che μ(A) = 1 ≠ ∑_{x∈A} μ({x}) = 0.

Teorema 1.14 Sia F ∈ P(X) generica. Allora esiste una σ-algebra M che é la piú piccola σ-algebra contenente F. M si chiama allora σ-algebra generata da F e si indica con σ(F).

Dimostrazione. Definiamo

M = ⋀_{M′ σ-alg.,F∈M′} M′

cioé M é uguale alla piú grande classe contenuta nelle classi M′ della definizione. Siccome P(X) é una σ-algebra, la classe su cui é definita M é non vuota, quindi M é ben definita. Inoltre, si verifica facilmente che M é una σ-algebra che contiene F. Infine, M é la piú piccola σ-algebra che contiene F per definizione. □

Definizione 1.15 Se (X, E) é uno spazio topologico, indichiamo con B(X) = σ(E) la σalgebra generata dalla topologia di X. Essa viene comunemente chiamata σ-algebra dei boreliani di X, e i suoi insiemi vengono chiamati boreliani, o insiemi di Borel di X. B(X) contiene gli aperti e i chiusi di X, e anche insiemi piú complicati, come unioni infinite di chiusi o intersezioni infinite di aperti.

Esempio 1.16 (estensione della misura di Riemann) Prendiamo X = ℝ e M = B(ℝ). Vorremmo ora estendere la misura di Riemann a B(ℝ) in modo che la misura di un intervallo sia ancora data dalla differenza dei suoi estremi. Purtroppo non possiamo ancora fare questo con la teoria che abbiamo finora; vedremo peró nella prossima sezione come estendere questa teoria, fino ad arrivare a costruire una tale misura (e molte altre).

Presentiamo infine un concetto che ci sará utile in seguito.

Definizione 1.17 Una σ-algebra M si dice completa rispetto alla misura μ se contiene tutti i sottoinsiemi degli insiemi trascurabili, cioé se μ(A) = 0 implica che B ∈ M ∀B ⊆ A.

Teorema 1.18 Se (X, M, μ) é uno spazio misurato, e chiamiamo

N = {N ∈ M | μ(N) = 0}

la classe degli insiemi trascurabili, e

M̄ = {E ∪ F | E ∈ M, F ⊆ N per qualche N ∈ N }

allora M̄ é una σ-algebra completa rispetto a μ̄, che é l’unica estensione di μ a M̄. M̄ si chiama completamento di M rispetto a μ.

1.2 Misure esterne

Definizione 1.19 Prendiamo un insieme X. Una funzione d’insieme μ^{∗} : P(X) → [0, +∞] si dice misura esterna se: i) μ^{∗}(∅) = 0

ii) A ⊆ B ⇒ μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B)

iii) μ^{∗}(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n})

Questi oggetti si chiamano misure esterne a causa del modo usuale in cui vengono costruiti, che vediamo nella prossima proposizione.

Proposizione 1.20 Siano E ⊆ P(X) e ρ : E → [0, +∞] tali che ∅ ∈ E, X ∈ E e ρ(∅) = 0. Per ogni A ⊆ X poniamo

μ^{∗}(A) = inf {∑_{n=1}^{∞} ρ(E_{n}) | E_{n} ∈ E, A ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} E_{n}}

Allora μ^{∗} é una misura esterna.

Dimostrazione. Siccome X ∈ E, per ogni A ⊆ X la famiglia (E_{n}) definita da E_{n} = X ∀n é un ricoprimento di A in E, e quindi l’insieme di definizione di μ^{∗} non é vuoto e la definizione ha senso. Abbiamo poi che μ^{∗}(∅) = 0 (basta prendere E_{n} = ∅ ∀n). Inoltre se A ⊆ B, allora ogni ricoprimento di B é anche un ricoprimento di A, quindi l’insieme di definizione di μ^{∗}(A) é piú grande di quello di μ^{∗}(B), e quindi μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B). Infine, se (A_{n})_{n} ⊆ P(X), allora per ogni ε > 0 e per ogni n esiste un ricoprimento (E_{j}^{n})_{j} di A_{n} tale che A_{n} ⊆ ∪_{j=1}^{∞}E_{j}^{n} e μ^{∗}(A_{n}) + ε2^{−n} ≥ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(E_{j}^{n}). Allora ∪_{n=1}^{∞}A_{n} ⊆ ∪_{j,n=1}^{∞}E_{j}^{n} e μ^{∗}(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) + ε ≥ ∑_{j,n=1}^{∞} μ^{∗}(E_{j}^{n}), e quindi μ^{∗}(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A^{n}). Siccome ε é arbitrario, abbiamo la tesi. □

Se μ^{∗} é una misura esterna su X, un insieme A ⊆ X é chiamato μ^{∗}-misurabile o misurabile secondo Caratheodory se

μ^{∗}(E) = μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c}) ∀E ⊆ X

Teorema 1.21 (Caratheodory) Se μ^{∗} é una misura esterna su X, e chiamiamo M = {A ⊆ X | A é μ^{∗}-misurabile}, allora M é una σ-algebra, e la restrizione μ di μ^{∗} a M é una misura completa.

Non diamo la dimostrazione del teorema di Caratheodory, ma vediamo invece quali applicazioni ha. Per vederlo, dobbiamo dare un’altra definizione.

Definizione 1.22 Prendiamo un’algebra A su un insieme X. Una funzione d’insieme μ : A → [0, +∞] si dice premisura se:

i) μ^{∗}(∅) = 0

ii) se (A_{n})_{n} ⊆ A sono disgiunti e tali che ∪_{n=1}^{∞}A_{n} ∈ A, allora μ(∪_{n=1}^{∞}A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n})

Se μ é una premisura su A, allora induce una misura esterna μ^{∗} su X in virtú della proposizione (1.20), definita da

μ^{∗}(E) = inf {∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) | A_{n} ∈ A, E ⊆ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}}  (1.1)

Proposizione 1.23 Se μ é una premisura su A e μ é definita da (1.1), allora

a) μ^{∗}|_{A} = μ

b) ogni insieme in A é μ^{∗}-misurabile.

Dimostrazione. (a) Prendiamo un generico elemento E ∈ A. Allora per ogni ricoprimento (A_{n})_{n} ⊆ A, poniamo B_{n} = E ∩(A_{n} \∪_{i=1}^{n−1}A_{i}). Allora B_{n} ⊆ A_{n}, i B_{n} sono disgiunti e la loro unione é E, quindi μ(E) = ∑_{n=1}^{∞} μ(B_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}); per l’arbitrarietá del ricoprimento (A_{n})_{n}, ne segue che μ(E) ≤ μ^{∗}(E). La disuguaglianza inversa si ottiene ponendo A_{1} = E e A_{n} = ∅ per n ≥ 2: allora μ^{∗}(E) ≤ μ(E) + 0.

(b) Se A ∈ A, E ⊆ X ed ε > 0, allora esiste un ricoprimento (B_{n})_{n} ⊆ A di E tale che μ^{∗}(E) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞} μ(B_{n}). Siccome μ é additiva su A, abbiamo che

μ^{∗}(E) + ε ≥ ∑_{n=1}^{∞}(μ(B_{n} ∩ A) + μ(B_{n} ∩ A^{c})) ≥ μ^{∗}(E ∩ A) + μ^{∗}(E ∩ A^{c})

Siccome ε é arbitrario, abbiamo che A é μ^{∗}-misurabile. □

Teorema 1.24 Sia A un’algebra, μ una premisura su A e M = σ(A). Allora esiste una misura μ̄ su M tale che μ̄|_{A} = μ. Se μ é σ-finita, allora μ̄ é l’unica estensione di μ ad una misura su M.

Dimostrazione. Il teorema é una conseguenza del teorema di Caratheodory e della proposizione 1.23: infatti, μ induce una misura esterna μ^{∗} sulla σ-algebra degli insiemi μ^{∗}-misurabili, che contiene A, e quindi contiene M. Inoltre μ^{∗}|_{A} = μ.

Dimostriamo ora che l’estensione é unica. Supponiamo che ν sia un’altra misura tale che ν|_{A} = μ. Prendiamo E ∈ M tale che E ⊆ ∪_{i=1}^{∞}A_{i}, con A_{i} ∈ A; allora ν(E) ≤ ∑_{i=1}^{∞} ν(A_{i}) = ∑_{i=1}^{∞} μ(A_{i}), e da questo segue che ν(E) ≤ μ̄(E). Se chiamiamo A = ∪_{i=1}^{∞}A_{i}, allora abbiamo che

ν(A) = lim_{n→∞} ν (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = lim_{n→∞} μ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = μ̄(A)

Se μ̄(E) < +∞, allora possiamo scegliere gli A_{i} in modo che μ̄(A) < μ̄(E)+ε, cioé μ̄(A\E) < ε; allora:

μ̄(E) ≤ μ̄(A) = ν(A) = ν(E) + ν(A \ E) ≤ ν(E) + μ̄(A \ E) ≤ ν(E) + ε

Siccome ε é arbitrario, segue che μ̄(E) = ν(E). Quindi, se μ é σ-finita, abbiamo che X = ∪_{n=1}^{∞}A_{n}, con μ(A_{n}) < +∞, e possiamo supporre che gli A_{n} siano disgiunti. Allora per ogni E ∈ M:

μ̄(E) = ∑_{n=1}^{∞} μ̄(E ∩ A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} ν(E ∩ A_{n}) = ν(E)

e quindi ν = μ̄. □

1.3 Misura di Lebesgue e misure di Borel sulla retta reale

In questa sezione costruiremo misure su (ℝ, B(ℝ)). Queste misure si chiamano misure di Borel su ℝ. Da qui in poi considereremo intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra su ℝ, cioé della forma (a, b], oppure (a, +∞), oppure ∅, con a ∈ ℝ ∪ {−∞}, b ∈ ℝ; chiamiamo questi intervalli h-intervalli (h sta per half-open). Chiamiamo A l’algebra generata da tali intervalli, che é possibile esplicitare in questo modo:

A = {⋃_{i=1}^{n} I_{i} | I_{i} h-intervallo}

Ricordiamo che σ(A) = B(ℝ).

Prendiamo ora una funzione F : ℝ → ℝ crescente. Diciamo che F é continua a destra se per ogni a ∈ ℝ si ha

F (a) = lim_{x→a^{+}} F (x)

Inoltre abbiamo che i limiti F (+∞) = lim_{x→+∞} F (x) e F (−∞) = lim_{x→−∞} F (x) esistono (e possono essere finiti o infiniti). Vogliamo ora definire una misura μ a partire da F in modo che

μ((a, b]) = F (b) − F (a)

Per fare questo, basterá dimostrare che la μ definisce una premisura. Questo, in virtú di quanto dimostrato nella sezione precedente, basterá a costruire la misura. Notiamo che, se poniamo F (x) = x, allora otteniamo che μ((a, b]) = b − a. Questa misura sará quindi l’estensione della “misura” di Riemann che stavamo cercando alla fine della sezione 1.

Proposizione 1.25 Se F é crescente e c.a d., e poniamo

μ (⋃_{i=1}^{n}(a_{i}, b_{i}]) = ∑_{i=1}^{n}(F (b_{i}) − F (a_{i}))

per (a_{i}, b_{i}] intervalli disgiunti, e μ(∅) = 0; allora μ é una premisura su A.

Dimostrazione. Prima di tutto notiamo che μ é ben definita su A: infatti, se (I_{i})_{i} e (J_{j})_{j} sono famiglie finite di h-intervalli tali che ∪_{i}I_{i} = ∪_{j}J_{j}, allora abbiamo che ∪_{i}I_{i} = ∪_{ij}(I_{i} ∩ J_{j}) = ∪_{j}J_{j}, e quindi

μ (⋃_{i} I_{i}) = ∑_{ij} μ(I_{i} ∩ J_{j}) = μ (∪_{j}J_{j})

quindi μ é ben definita, ed é finitamente additiva per definizione.

Dobbiamo ora mostrare che se (I_{i})_{i∈N} é una successione di h-intervalli disgiunti tale che ∪_{i}I_{i} ∈ A, allora μ(∪_{i}I_{i}) = ∑_{i} μ(I_{i}). Per la finita additivitá di μ, possiamo supporre che ∪_{i}I_{i} = (a, b] = I; abbiamo allora che per ogni n vale:

μ(I) = μ (⋃_{i=1}^{n} I_{i}) + μ (I \ ⋃_{i=1}^{n} I_{i}) ≥ μ (⋃_{i=1}^{n} I_{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ(I_{i})

Otteniamo quindi che μ(I) ≥ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}). Per provare la disuguaglianza inversa, supponiamo all’inizio che −∞ < a < b < +∞, e fissiamo un ε > 0. Siccome F é continua a destra, esiste un δ > 0 tale che F (a + δ) − F (a) < ε, e se chiamiamo I_{i} = (a_{i}, b_{i}], allora esistono δ_{i} tali che F (b_{i} + δ_{i}) − F (b_{i}) < ε2^{−i}. Gli intervalli aperti (a_{i}, b_{i} + δ_{i}) coprono l’insieme [a + δ, b], che é compatto, quindi esiste un ricoprimento finito. Scartando ogni (a_{i}, b_{i} + δ_{i}) contenuto in uno piú grande, ed eventualmente riordinando gli indici i, possiamo supporre che gli intervalli (a_{1}, b_{1} + δ_{1}), …, (a_{N}, b_{N} + δ_{N}) coprono [a + δ, b], a_{1} < … < a_{N} e b_{i} + δ_{i} ∈ (a_{i+1}, b_{i+1} + δ_{i+1}) per i = 1, …, N − 1. Allora:

μ(I) ≤ F(b) − F (a + δ) + ε ≤ F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{1}) + ε ≤
= F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{N}) + ∑_{i=1}^{N−1}(F (a_{i+1}) − F (a_{i})) + ε ≤

≤ F (b_{N} + δ_{N}) − F (a_{N}) + ∑_{i=1}^{N−1}(F (b_{i} + δ_{i}) − F (a_{i})) + ε ≤

≤ ∑_{i=1}^{n} μ((a_{i}, b_{i} + δ_{i}]) + ε ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε

Dato che ε é arbitrario, nel caso −∞ < a < b < +∞ abbiamo finito. Se a = −∞, ripetiamo l’argomento e otteniamo F (b) − F (−M) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε per ogni M < ∞, e se b = ∞, otteniamo F (M) − F (a) ≤ ∑_{i=1}^{∞} μ(I_{i}) + 2ε. Allora il risultato segue facendo tendere ε → 0 e M → ∞. □

Teorema 1.26 Se F é crescente e c.a d., allora esiste un’unica misura μ_{F} su B(ℝ) tale che μ_{F} ((a, b]) = F (b) − F (a) per ogni a, b ∈ ℝ. Se G é un’altra funzione crescente e c.a d., allora μ_{F} = μ_{G} se e solo se G − F é costante. Viceversa, se μ é una misura su B(ℝ) finita su ogni boreliano limitato e definiamo

F (x) = \{ \begin{matrix}μ((0, x]) & se x > 0 \\ 0 & se x = 0 \\ −μ((x, 0]) & se x < 0 \end{matrix}

allora F é c.a d. e crescente, e μ = μ_{F}.

Dimostrazione. Grazie alla proposizione precedente, F definisce una premisura μ_{F} su A, che é σ-finita (basta scrivere ℝ = ∪_{n=1}^{∞}(n, n + 1]). Per il teorema di Caratheodory e le sue conseguenze, si puó estendere μ_{F} ad una unica misura (che chiamiamo ancora μ_{F}) su σ(A) = B(ℝ) tale che μ_{F} ((a, b]) = F (b) − F (a) per ogni a, b ∈ ℝ. Se G é crescente e c.a d., anch’essa induce una misura μ_{G}; abbiamo che per ogni a, b ∈ ℝ:

μ_{F} ((a, b]) − μ_{G}((a, b]) = F (b) − F (a) − G(b) + G(a)

e quindi μ_{F} = μ_{G} su A se e solo se F − G é costante; da questo segue la prima parte della tesi. Infine, se μ é una misura su B(ℝ) finita su ogni boreliano limitato, allora la F definita nel teorema é crescente (perché μ é monotona) e c.a d. (perché μ é continua dall’alto e dal basso), e μ = μ_{F} su ogni intervallo (a, b]: ad esempio, se 0 ≤ a < b, si ha che μ((a, b]) = μ((0, b]) − μ((0, a]) = F (b) − F (a) = μ_{F} ((a, b]) (allo stesso modo si fanno i casi a < 0 ≤ b e a < b < 0). □

Facciamo ora alcune note. Intanto, la teoria costruita finora si sarebbe potuta ottenere anche considerando intervalli del tipo [a, b) e funzioni F continue a sinistra. Inoltre, se μ é una misura finita su ℝ, e poniamo F (x) = μ((−∞, x]), allora μ = μ_{F}. La F si chiama allora funzione di distribuzione cumulativa di μ. Queste misure vengono comunemente chiamate misura di Lebesgue-Stieltjes.

Esempio 1.27 (misura di Lebesgue) Se F (x) = x, allora otteniamo che μ((a, b]) = b − a. Questa misura coincide con l’usuale misura di Riemann su A (ma ricordiamo che ha come dominio B(ℝ)) e si chiama misura di Lebesgue. Notiamo inoltre che μ([a, b]) = b−a: infatti [a, b] = ∩_{n=1}^{∞}(a − 1/n, b], e in particolare (a − 1/n, b] ↘ [a, b], quindi μ([a, b]) = lim_{n→∞} μ((a − 1/n, b]) = b − a + 1/n = b − a. In modo simile si dimostra che μ([a, b)) = μ((a, b)) = b − a.

Nel seguito indicheremo la misura di Lebesgue con m_{1} o semplicemente con m. Diamo ora un altro risultato (che non dimostreremo) sulla misura di Lebesgue.

Teorema 1.28 Se E ∈ B(ℝ), e r, s ∈ ℝ, poniamo E +s = {x+s | x ∈ E} e rE = {rx | x ∈ E}; allora E + s, rE ∈ B(ℝ) e m(E + s) = m(E), m(rE) = |r|m(E).

1.4 Misure prodotto

Supponiamo ora di avere degli spazi misurati (X_{α}, M_{α}, μ_{α}), dove α ∈ A é un parametro, e di volere costruire una struttura di spazio misurato sullo spazio prodotto X = Π_{α∈A}X_{α}. Nel seguito chiamiamo π_{α} : X → X_{α} la proiezione sulla α-esima coordinata.

Definizione 1.29 Si chiama σ-algebra prodotto la σ-algebra

M = ⨂_{α∈A} M_{α} = σ{π_{α}^{−1}(E_{α}) | E_{α} ∈ M_{α}, α ∈ A}

cioé la σ-algebra generata dalle proiezioni sulle coordinate (vedi def. 2.5). Se gli spazi (X_{α}, M_{α}) sono tutti uguali a un (X, M), la σ-algebra prodotto si puó anche indicare con M^{⊗A}. Se A = {1, …, n}, allora la σ-algebra prodotto si puó anche indicare con M_{1} ⊗…⊗ M_{n} o con M^{⊗n}.

Proposizione 1.30 Se A é finito o numerabile, allora ⊗_{α∈A}M_{α} é generata da {Π_{α∈A}E_{α} | E_{α} ∈ M_{α}}

Dimostrazione. Abbiamo che π_{α}^{−1}(E_{α}) = Π_{β∈A}E_{β}, con E_{β} = X_{β} per β ≠ α, quindi ⊗_{α∈A}M_{α} é contenuta in σ{Π_{α∈A}E_{α} | E_{α} ∈ M_{α}}. D’altra parte, Π_{α∈A}E_{α} = ∩_{α∈A}π_{α}^{−1}(E_{α}). Siccome questa é un’intersezione numerabile, allora Π_{α∈A}E_{α} ∈ ⊗_{α∈A}M_{α}. □

Corollario 1.31 B(ℝ^{n}) = B(ℝ)^{⊗n}.

Vogliamo ora costruire una misura sullo spazio (Π_{α}X_{α}, ⊗_{α∈A}M_{α}), con A insieme finito. Per semplicitá di notazioni, ci limiteremo al caso A = {1, 2}.

Chiamiamo rettangolo un insieme A_{1} × A_{2}, con A_{i} ∈ M_{i}. Allora la classe A delle unioni finite disgiunte di rettangoli é un’algebra, e M_{1} ⊗ M_{2} é generata da A.

Definizione 1.32 Se μ_{i} sono misure σ-finite sugli spazi X_{i}, chiamiamo misura prodotto di μ_{1} e μ_{2} l’unica misura tale che

μ_{1} ⊗ μ_{2}(A_{1} × A_{2}) = μ_{1}(A_{1})μ_{2}(A_{2})  (1.2)

per ogni rettangolo A_{1} × A_{2}.

Proposizione 1.33 La misura prodotto é ben definita. In altre parole, se μ_{i} sono misure σ-finite sugli spazi X_{i}, allora esiste un’unica misura tale che (1.2) sia verificata.

Dimostrazione. Possiamo definire μ_{1} ⊗ μ_{2} su A in questo modo:

μ_{1} ⊗ μ_{2} (⋃_{i=1}^{n} A_{1}^{i} × A_{2}^{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ_{1}(A_{1}^{i})μ_{2}(A_{2}^{i})

allora μ_{1} ⊗ μ_{2} é ben definita ed é una premisura su A. Allora, come conseguenza del teorema di Caratheodory, μ_{1} ⊗ μ_{2} genera una misura esterna su X_{1} × X_{2} la cui restrizione a M_{1} ⊗ M_{2} é una misura. In piú, questa estensione é unica. □

Esempio 1.34 (misura di Lebesgue n-dimensionale) Prendiamo A = {1, …, n} e (X_{i}, M_{i}, μ_{i}) = (ℝ, B(ℝ), m_{1}), i = 1, …, n (dove chiamiamo m_{1} la misura di Lebesgue). La misura prodotto m_{n} = m_{1} ⊗ … ⊗ m_{1} (indicata anche con m^{⊗n} si chiama misura di Lebesgue n-dimensionale, o misura di Lebesgue su ℝ^{n}, e assegna ad ogni rettangolo n-dimensionale il suo volume, nel senso che

m_{n} (∏_{i=1}^{n}[a_{i}, b_{i}]) = ∏_{i=1}^{n}(b_{i} − a_{i})

Integrazione

Nella teoria dell’integrazione di Riemann su ℝ, ∫_{a}^{b} f(x) dx é definito come limite delle somme di Riemann, che sono gli integrali di funzioni costanti sui sottointervalli di [a, b]. Nella teoria dell’integrazione di Lebesgue, vedremo che ∫_{X} f(x) dμ(x) sará costruito come limite di integrali di funzioni costanti su insiemi misurabili di X. Siccome abbiamo visto che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue possono avere una forma piú complessa degli insiemi misurabili secondo Riemann, possiamo estendere l’integrale ad una classe piú generale di funzioni. Inoltre costruiremo l’integrale concentrando la nostra attenzione su funzioni a valori reali; notiamo peró che la teoria puó essere formulata comprendendo anche funzioni a valori complessi o in ℝ^{n}.

2.1 Funzioni misurabili

Definizione 2.1 Se (X, M) e (Y, N) sono spazi misurabili, una funzione f : X → Y si dice (M, N)-misurabile, o piú semplicemente misurabile se M ed N sono chiari dal contesto, se f^{−1}(E) ∈ M per ogni E ∈ N. Ad esempio, se (Y, N) = (ℝ, B(ℝ)), si dice semplicemente che f é M-misurabile, o misurabile. Se poi anche (X, M) = (ℝ, B(ℝ)), allora f si dice boreliana.

É ovvio che la composizione di funzioni misurabili é misurabile; cioé, se f : X → Y é (M, N)-misurabile e g : Y → Z é (N , O)-misurabile, allora g ∘ f : X → Z é (M, O)- misurabile. Notiamo poi che se f : X → Y e (Y, N) é uno spazio misurabile, allora si puó rendere f misurabile costruendo la σ-algebra M = f^{−1}(N) su X, dove f^{−1} : P(Y) → P(X) é la mappa inversa di f, definita da f^{−1}(F) = {x ∈ X | f(x) ∈ F }. Infatti f^{−1} commuta con unioni, intersezioni e complementi, quindi M é una σ-algebra.

Proposizione 2.2 Se N = σ(E), allora f é (M, N)-misurabile se e solo se f^{−1}(E) ∈ M per ogni E ∈ E.

Dimostrazione. L’implicazione “solo se” é banale. Per l’inverso, osserviamo che la classe {E ∈ Y | f^{−1}(E) ∈ M} é una σ-algebra che contiene E, quindi contiene anche N. □

Corollario 2.3 Se X e Y sono spazi topologici, allora ogni funzione continua f : X → Y é anche (B(X), B(Y))-misurabile.

Dimostrazione. f é continua se e solo se f^{−1}(U) é aperto in X per ogni aperto U ⊆ Y; siccome B(Y) é generata dagli aperti di Y, la tesi segue dalla proposizione 2.2. □

Proposizione 2.4 f : X → ℝ é M-misurabile se e solo se una delle 4 condizioni equivalenti qui sotto é verificata:

1. f^{−1}((a, ∞)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

2. f^{−1}([a, ∞)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

3. f^{−1}((−∞, a)) ∈ M ∀a ∈ ℝ

4. f^{−1}((−∞, a]) ∈ M ∀a ∈ ℝ

Dimostrazione. Segue dalla proposizione 2.2 e dal fatto che gli insiemi (a, ∞) (cosí come quelli degli altri 3 tipi) generano B(ℝ). □

Definizione 2.5 Se X é un insieme, (Y_{α}, N_{α}) sono spazi misurabili e f_{α} : X → Y_{α} sono funzioni, per α ∈ A, allora si dice σ-algebra generata dalle (f_{α})_{α} la σ-algebra M = σ(f_{α}^{−1}(E_{α}) | E_{α} ∈ M_{α}, α ∈ A). Essa si indica anche con σ(f_{α}), ed é la piú piccola σ-algebra tale che le (f_{α})_{α} siano tutte misurabili.

Esempio 2.6 Se X = ∏_{α} Y_{α}, allora la σ-algebra prodotto su X é generata dalle proiezioni π_{α} : X → Y_{α}.

Proposizione 2.7 Siano (X, M), (Y_{α}, N_{α}) (α ∈ A) spazi misurabili, e poniamo Y = ∏_{α} Y_{α}, N = ⊗_{α}N_{α}, e π_{α} : Y → Y_{α}; allora f : X → Y é (M, N)-misurabile se e solo se π_{α} ∘ f é (M, N_{α})-misurabile per ogni α ∈ A.

Dimostrazione. Se f é misurabile, allora anche le π_{α} ∘ f lo sono, perché composizioni di funzioni misurabili. Viceversa, se le π_{α} ∘ f sono misurabili, questo significa che f^{−1}(π_{α}^{−1}(E_{α})) ∈ M; siccome N é generata da π_{α}^{−1}(E_{α}), la tesi segue dalla proposizione 2.2. □

Corollario 2.8 Se f, g : X → ℝ sono misurabili, allora anche f + g e fg lo sono.

Dimostrazione. Definiamo F : X → ℝ × ℝ, φ, ψ : ℝ × ℝ → ℝ come F = (f, g), φ(x, y) = x + y e ψ(x, y) = xy. Allora, siccome B(ℝ^{2}) = B(ℝ)^{⊗2}, F é misurabile; inoltre φ e ψ sono continue, quindi sono misurabili. Siccome infine f + g = φ ∘ F e fg = ψ ∘ F sono composizioni di funzioni misurabili, allora sono misurabili. □

La proposizione 2.7 ha quindi la conseguenza che le funzioni misurabili su ℝ formano un’algebra. Vediamo ora come le funzioni misurabili conservino anche la strutture di limite su ℝ. Per fare questo ci servirá considerare funzioni sulla retta reale estesa. Prendiamo lo spazio ℝ̄ = [−∞, ∞]. Questo ha una sua topologia (ad esempio considerando ℝ̄ come spazio metrico, dotato della metrica ρ(x, y) = |arctg y − arctg x|), e quindi si puó definire la σ-algebra B(ℝ̄) (si puó verificare che B(ℝ̄) é generata dagli insiemi (a, ∞] o dagli insiemi [−∞, a)). Diciamo che f : X → ℝ̄ é misurabile se é (M, B(ℝ̄))-misurabile. Allora le conseguenze della proposizione 2.7 (e in particolare il corollario ??) rimangono valide anche per funzioni a valori in ℝ̄, a condizione di fare attenzione alle espressioni indeterminate come ∞ − ∞ (l’espressione 0 · ∞ di solito in teoria della misura si pone uguale a 0 per convenzione).

Proposizione 2.9 Se (f_{n})_{n} é una successione di funzioni misurabili a valori in ℝ̄ su (X, M), allora le funzioni

g_{1}(x) = sup_{n} f_{n}(x), g_{2}(x) = inf_{n} f_{n}(x), g_{3}(x) = lim sup_{n→∞} f_{n}(x), g_{4}(x) = lim inf_{n→∞} f_{n}(x)

sono misurabili. Se poi f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) esiste per ogni x ∈ X, allora é misurabile.

Dimostrazione. Abbiamo g_{1}^{−1}((a, ∞]) = ∪_{n=1}^{∞}f_{n}^{−1}((a, ∞]), e g_{2}^{−1}([−∞, a)) = ∩_{n=1}^{∞}f_{n}^{−1}([−∞, a)). Siccome l’unione e l’intersezione sopra sono numerabili, allora g_{1} e g_{2} sono misurabili. Allo stesso modo abbiamo che g_{3} e g_{4} sono misurabili perché g_{3} = inf_{n} sup_{j≥n} f_{j} e g_{4} = sup_{n} inf_{j≥n} f_{j}. Infine, se f esiste, allora si ha che f = g_{3} = g_{4}, e quindi f é misurabile. □

Corollario 2.10 Se f, g : X → ℝ̄ sono misurabili, allora anche max(f, g) e min(f, g) lo sono.

A questo punto possiamo presentare una utile decomposizione di funzioni: se f : X → ℝ, definiamo parte positiva e parte negativa di f le funzioni

f^{+}(x) = max(f(x), 0), f^{−}(x) = − min(f(x), 0)

Allora f = f^{+} − f^{−}; inoltre, se f é misurabile, allora anche f^{+} ed f^{−} lo sono. Grazie a questa decomposizione, possiamo nel seguito limitarci a lavorare con funzioni reali a valori positivi.

Presentiamo ora degli esempi molto importanti di funzioni misurabili. Se (X, M) é uno spazio misurabile, e E ∈ M, definiamo funzione caratteristica di E (o anche funzione indicatrice) la funzione

χ_{E}(x) = 1_{E}(x) = I_{E}(x) = \{ \begin{matrix}1 & se x ∈ E \\ 0 & se x ∉ E \end{matrix}

Chiamiamo poi funzione semplice una combinazione lineare finita (a coefficienti reali) di funzioni caratteristiche. Allora una funzione semplice é della forma φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x).

Tuttavia φ puó essere rappresentata in vari modi, e in particolare possiamo avere che a_{i} = a_{j} per i ≠ j. Se peró abbiamo Imm (φ) = {a_{1}, …, a_{n}} e poniamo E_{i} = φ^{−1}({a_{i}}), allora possiamo rappresentare φ come φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x), con a_{i} ≠ a_{j} per i ≠ j. Questa si chiama rappresentazione standard di φ.

É chiaro che se φ e ψ sono funzioni semplici, allora anche φ+ψ e φψ lo sono. Vediamo ora come le funzioni semplici possono approssimare le funzioni misurabili.

Teorema 2.11 Se (X, M) é uno spazio misurabile, e f : X → [0, ∞] é misurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici (φ_{n})_{n} tali che 0 ≤ φ_{1} ≤ … ≤ φ_{n} ≤ … ≤ f, φ_{n} → f puntualmente, e φ_{n} → f uniformemente su ogni insieme su cui f é limitata.

Dimostrazione. Prendiamo n ∈ N e definiamo per ogni k tra 0 e 2^{2n} − 1,

E_{n}^{k} = f^{−1}((k2^{−n}, (k + 1)2^{−n}]), F_{n} = f^{−1}((2^{n}, ∞])

Definiamo poi

φ_{n}(x) = ∑_{k=0}^{2^{2n}−1} k2^{−n}1_{E_{n}^{k}}(x) + 2^{n}1_{F_{n}}(x)

Allora si ha facilmente che φ_{n} ≤ φ_{n+1} per ogni n, e che 0 ≤ f − φ_{n} ≤ 2^{−n} sugli insiemi in cui f ≤ 2^{n}. Il risultato segue facilmente. □

Se (X, M, μ) é uno spazio misurabile, a volte potrebbe farci comodo studiare le funzioni misurabili trascurando gli insiemi di misura nulla. Vediamo nei due risultati che seguono (senza dimostrazione) che se M é completa rispetto a μ, allora la cosa si puó fare facilmente.

Proposizione 2.12 Se M é completa rispetto a μ, allora:

a) se f é misurabile e f = g q.o., allora anche g é misurabile

b) se le (f_{n})_{n} sono misurabili e f_{n} → f q.o., allora f é misurabile.

Avevamo visto che se le (f_{n})_{n} sono misurabili e convergono a f ovunque, allora anche f é misurabile. La proposizione che abbiamo appena visto permette di dire che il risultato vale anche se invece di una convergenza certa si ha una convergenza quasi certa. Nella prossima proposizione vediamo che, anche se μ non é completa, non ci si deve preoccupare troppo.

Proposizione 2.13 Se (X, M, μ) é uno spazio misurabile, e (X, M̄, μ̄) é il suo completamento, e se f é M̄-misurabile, allora esiste una funzione M-misurabile g tale che g = f μ̄-quasi ovunque.

2.2 Integrazione di funzioni non negative

In questa sezione fissiamo uno spazio misurato (X, M, μ) e chiamiamo L^{+} = L^{+}(X, M, μ) lo spazio delle funzioni misurabili da X a [0, ∞].

Definizione 2.14 Se φ é una funzione semplice in L^{+} con rappresentazione standard ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, definiamo l’integrale di φ su X rispetto a μ come

∫_{X} φ dμ = ∫_{X} φ(x) μ(dx) = ∫_{X} φ(x) dμ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i})

con la solita convenzione che 0 · ∞ = 0. Notiamo che ∫_{X} φ dμ puó essere uguale a +∞. Se A ∈ M, definiamo l’integrale di φ su A come ∫_{A} φ dμ = ∫_{X} 1_{A}φ dμ.

Esempio 2.15 Se (X, M, μ) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n}), m_{n}), dove m_{n} é la misura di Lebesgue su ℝ^{n}, allora l’integrale di φ si indica semplicemente come

∫_{ℝ^{n}} φ(x) dx = ∫_{ℝ^{n}} φ(x) dm_{n}(x)

Notiamo che l’integrale di Lebesgue coincide con quello di Riemann sulle funzioni semplici ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, con E_{i} unioni finite di rettangoli.

Proposizione 2.16 Se φ e ψ sono funzioni semplici in L^{+}, allora:

a) se c ≥ 0, allora ∫_{X} cφ dμ = c ∫_{X} φ dμ

b) ∫_{X}(φ + ψ) dμ = ∫_{X} φ dμ + ∫_{X} ψ dμ

c) se φ ≤ ψ, allora ∫_{X} φ dμ ≤ ∫_{X} ψ dμ (monotonia)

d) la funzione A → ∫_{A} φ dμ é una misura su M

Dimostrazione. a) basta applicare la definizione di integrale

b) prendiamo le rappresentazioni standard φ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}} e φ = ∑_{j=1}^{m} a_{j}1_{F_{j}}. Siccome E_{i} = ∪_{j=1}^{m}E_{i} ∩ F_{j} e F_{j} = ∪_{i=1}^{n}E_{i} ∩ F_{j}, e le unioni sono disgiunte, l’additivitá finita di μ implica

∫_{X}(φ + ψ) dμ = ∫_{X} ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{j})1_{E_{i}∩F_{j}} dμ = ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{j})μ(E_{i} ∩ F_{j}) =

= ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i} ∩ F_{j}) + ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} b_{j}μ(E_{i} ∩ F_{j}) =

= ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i}) + ∑_{j=1}^{m} b_{j}μ(F_{j}) = ∫_{X} φ dμ + ∫_{X} ψ dμ

c) se φ ≤ ψ, allora a_{i} ≤ b_{j} ogni volta che E_{i} ∩ F_{j} ≠ ∅, quindi

∫_{X} φ dμ = ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(E_{i} ∩ F_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} b_{j}μ(E_{i} ∩ F_{j}) = ∫_{X} ψ dμ

d) l’unica cosa da provare é l’additivitá numerabile: se (A_{j})_{j} sono disgiunti e chiamiamo A = ∪_{j=1}^{∞}A_{j}, allora

∫_{A} φ dμ = ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(A ∩ E_{i}) = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{i=1}^{n} a_{i}μ(A_{j} ∩ E_{i}) = ∑_{j=1}^{∞} ∫_{A_{j}} φ dμ

□

I punti (a) e (b) della proposizione ci dicono che l’integrale é una funzione lineare da L^{+} in ℝ. Estendiamo ora l’integrale a tutte le funzioni in L^{+}.

Definizione 2.17 Se f é una funzione in L^{+}, definiamo l’integrale di f su X rispetto a μ come

∫_{X} f dμ = sup {∫_{X} φ dμ | φ semplice, 0 ≤ φ ≤ f}

Per la proposizione 2.16(c), le due definizioni di ∫_{X} f dμ coincidono quando f é semplice. Inoltre, la proposizione 2.16 resta valida nei punti (a) e (c) (che si dimostrano usando la definizione di integrale) anche se le φ e ψ non sono semplici, ma in L^{+}. Vediamo ora i teoremi fondamentali della teoria dell’integrazione secondo Lebesgue.

Teorema 2.18 (di Beppo Levi, o della convergenza monotona) Se (f_{n})_{n} é una successione di funzioni in L^{+} tale che f_{n} ≤ f_{n+1} per ogni n, e f = lim_{n→∞} f_{n}(= sup_{n} f_{n}), allora ∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. La successione reale (∫_{X} f_{n} dμ)_{n} é monotona, quindi ha limite (anche uguale a +∞). Inoltre, ∫_{X} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f dμ per ogni n, quindi lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f dμ. Per la disuguaglianza inversa, fissiamo α ∈ (0, 1), prendiamo una funzione semplice φ tale che 0 ≤ φ ≤ f, e poniamo E_{n} = {x | f_{n}(x) ≥ αφ(x)}. Allora (E_{n})_{n} é una successione crescente di insiemi misurabili la cui unione é X, e abbiamo ∫_{X} f_{n} dμ ≥ ∫_{E_{n}} f_{n} dμ ≥ α ∫_{E_{n}} φ dμ. Per la proposizione 2.16 e la continuitá dal basso delle misure, abbiamo che lim_{n→∞} ∫_{E_{n}} φ dμ = ∫_{X} φ dμ, quindi ∫_{X} f_{n} dμ ≥ α ∫_{X} φ dμ. Siccome questo é vero per ogni α < 1, allora é vero anche per α = 1. Prendendo poi l’estremo superiore sulle φ semplici minori di f, si ottiene che ∫_{X} f_{n} dμ ≥ α ∫_{X} f dμ. □

Possiamo ora dimostrare l’additivitá dell’integrale.

Teorema 2.19 Se (f_{n})_{n} é una successione finita o infinita in L^{+} e f = ∑_{n} f_{n}, allora ∫_{X} f dμ = ∑_{n} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. Consideriamo all’inizio due funzioni f_{1} e f_{2}. Per il teorema 3.7 possiamo trovare due successioni crescenti (φ_{n})_{n} e (ψ_{n})_{n} di funzioni positive semplici che tendono a f_{1} e f_{2}. Allora (φ_{n} + ψ_{n})_{n} é una successione crescente che tende a f_{1} + f_{2}, e per il teorema di Beppo Levi:

∫_{X}(f_{1} + f_{2}) dμ = lim_{n→∞} ∫_{X}(φ_{n} + ψ_{n}) dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} φ_{n} dμ + lim_{n→∞} ∫_{X} ψ_{n} dμ =
= ∫_{X} f_{1} dμ + ∫_{X} f_{2} dμ

Per induzione si ha che ∫_{X}(∑_{n=1}^{N} f_{n}) dμ = ∑_{n=1}^{N} ∫_{X} f_{n} dμ, e quindi facendo tendere N → ∞ e applicando ancora Beppo Levi, si ottiene la tesi. □

Vediamo ora un risultato, che dará anche una leggera generalizzazione del teorema di Beppo Levi.

Proposizione 2.20 Se f ∈ L^{+}, allora ∫_{X} f dμ = 0 se e solo se f = 0 q.o. Inoltre, se ∫_{X} f dμ < +∞, allora l’insieme E = {x | f(x) = +∞} é trascurabile.

Dimostrazione. Se f é semplice, questo é ovvio: se f = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}, con a_{i} ≥ 0, allora si ha che ∫_{X} f dμ = 0 se e solo se per ogni i si ha che a_{i} = 0 oppure che μ(E_{i}) = 0. In generale, se f = 0 q.o. e φ é una funzione semplice tale che 0 ≤ φ ≤ f, allora φ = 0 q.o., quindi ∫_{X} f dμ = sup_{n} ∫_{X} φ dμ = 0. Viceversa, abbiamo che {x | f(x) > 0} = ∪_{n=1}^{∞}E_{n}, dove E_{n} = {x | f(x) > 1/n}, quindi se fosse falso che f = 0 q.o., dovremmo avere che μ(E_{n}) > 0 per qualche n. Ma siccome f > 1_{E_{n}}/n, allora ∫_{X} f dμ > μ(E_{n})/n > 0, e abbiamo una contraddizione. Per la seconda parte, basta notare che f > +∞1_{E}, quindi ∫_{X} f dμ > ∫_{X} ∞1_{E} dμ = ∞μ(E). Ma siccome ∫_{X} f dμ < +∞, allora bisogna avere per forza che μ(E) = 0. □

Corollario 2.21 Se (f_{n})_{n} é una successione in L^{+}, f ∈ L^{+} e f_{n} ↗ f q.o., allora ∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ.

Dimostrazione. Se E ∈ M é tale che μ(E^{c}) = 0, allora f = f1_{E} q.o. e f_{n} = f_{n}1_{E} q.o.; se poi f_{n} ↗ f su un tale E, allora si ha che ∫_{X} f dμ = ∫_{X} f1_{E}dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}1_{E}dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ. □

Nota 2.22 Se M é completa rispetto a μ, l’ipotesi f ∈ L^{+} si ottiene automaticamente dal fatto che (f_{n})_{n} ⊆ L^{+} e dalla proposizione ??.

L’ipotesi che la successione delle f_{n} sia crescente é essenziale per il teorema di Beppo Levi. Infatti, se ad esempio prendiamo (X, M, μ) = (ℝ, B(ℝ), m_{1}) (dove m_{1} é la misura di Lebesgue), abbiamo che 1_{(n,n+1)} → 0 puntualmente, ma ∫_{ℝ} 1_{(n,n+1)}(x) dx = 1 per ogni n, quindi il teorema di Beppo Levi in questo caso non é verificato. Abbiamo peró questo risultato.

Lemma 2.23 (di Fatou) Se (f_{n})_{n} é una successione in L^{+}, allora

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n} dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

Dimostrazione. Per ogni k abbiamo che inf_{n≥k} f_{n} ≤ f_{j} per ogni j ≥ k, quindi ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ ∫_{X} f_{j} dμ; da qui ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ inf_{j≥k} ∫_{X} f_{j} dμ. Se ora si fa tendere k → ∞ e si applica il teorema della convergenza monotona, si ha:

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n} dμ = ∫_{X} lim_{k→∞} inf_{n≥k} f_{n} dμ = lim_{k→∞} ∫_{X} inf_{n≥k} f_{n} dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

□

2.3 Integrale di funzioni reali

Estendiamo ora l’integrale a funzioni misurabili reali.

Definizione 2.24 Sia f una funzione misurabile reale. Se f^{+} e f^{−} sono rispettivamente la parte positiva e la parte negativa di f, e almeno uno tra ∫_{X} f^{+} dμ e ∫_{X} f^{−} dμ é finito, definiamo integrale di f il numero

∫_{X} f dμ = ∫_{X} f^{+} dμ − ∫_{X} f^{−} dμ

che puó quindi essere anche uguale a +∞ o a −∞. Se peró l’integrale di f é un numero finito, allora diciamo che f é integrabile.

Notiamo che f^{+}, f^{−} ≤ |f| ≤ f^{+} + f^{−}; da questo si deduce che f é integrabile se e solo se ∫_{X} |f| dμ < +∞.

Proposizione 2.25 L’insieme delle funzioni reali integrabili é uno spazio vettoriale reale, e l’integrale é un funzionale reale su di esso. Infine, se f é integrabile, allora | ∫_{X} f dμ| ≤ ∫_{X} |f| dμ.

Dimostrazione. La prima parte della tesi segue dal fatto che si ha |af +bg| ≤ |a||f|+|b||g|. Per la seconda parte, si puó dimostrare che a ∫_{X} f dμ = ∫_{X} af dμ usando la proposizione (2.16)(a). Inoltre, se f e g sono integrabili, e chiamiamo h = f + g, allora h^{+} − h^{−} = f^{+} − f^{−} + g^{+} − g^{−}, quindi h^{+} + f^{−} + g^{−} = h^{−} + f^{+} + g^{+}. Per il teorema (2.19), si ha

∫_{X} h^{+} dμ + ∫_{X} f^{−} dμ + ∫_{X} g^{−} dμ = ∫_{X} h^{−} dμ + ∫_{X} f^{+} dμ + ∫_{X} g^{+} dμ

e da questo segue che ∫_{X} h dμ = ∫_{X} f dμ + ∫_{X} g dμ. Infine abbiamo che

|∫_{X} f dμ| = |∫_{X} f^{+} dμ − ∫_{X} f^{−} dμ| ≤ ∫_{X} f^{+} dμ + ∫_{X} f^{−} dμ = ∫_{X} |f| dμ
□

Proposizione 2.26 Se f e g sono integrabili, allora sono equivalenti:

i) ∫_{E} f dμ = ∫_{E} g dμ per ogni E ∈ M

ii) ∫_{X} |f − g| dμ = 0

iii) f = g q.o.

Dimostrazione. L’equivalenza (ii) ⟺ (iii) segue dal fatto che |f − g| é una funzione positiva e dalla proposizione 2.20. Inoltre, se ∫_{X} |f − g| dμ = 0, allora per ogni E ∈ M si ha che

|∫_{E} f dμ − ∫_{E} g dμ| ≤ ∫_{X} 1_{E}|f − g| dμ ≤ ∫_{X} |f − g| dμ = 0

e quindi (ii) ⇒ (i). D’altra parte, se é falso che f = g q.o., e chiamiamo h = f − g, allora h^{+} o h^{−} deve essere diversa da zero in un insieme non trascurabile. Se ad esempio E = {x | h^{+}(x) > 0} é non trascurabile, allora ∫_{E} f dμ − ∫_{E} g dμ = ∫_{E} h^{+} dμ > 0, poiché h^{−} = 0 su E, e abbiamo una contraddizione. Questo prova che (i) ⇒ (iii). □

Questa proposizione mostra che l’integrale non cambia se cambiamo la funzione su insiemi di misura nulla. Questo significa che possiamo integrare delle funzioni f definite solo su insiemi E il cui complementare é trascurabile, semplicemente definendo f = 0 (o qualsiasi altra cosa) su E^{c}. Possiamo quindi trattare, per quanto riguarda l’integrazione, le funzioni a valori in ℝ̄ che siano finite q.o. semplicemente come funzioni reali.

Definizione 2.27 Definiamo L^{1} = L^{1}(X, M, μ) l’insieme delle classi di equivalenza delle funzioni integrabili su X rispetto a μ, dove f ≡ g se e solo se f = g μ-q.o.

Come lo spazio delle funzioni integrabili, questo spazio é uno spazio vettoriale reale, ed é anche uno spazio normato rispetto alla norma ∥f − g∥_{L^{1}} = ∫_{X} |f − g| dμ. Pur essendo L^{1} uno spazio definito come classe di equivalenza di funzioni, useremo lo stesso la notazione f ∈ L^{1} per indicare che f é una funzione integrabile definita q.o. Questo leggero abuso di notazione é universalmente accettato e non causa quasi mai ambiguitá.

Presentiamo ora l’ultimo dei tre piú importanti teoremi di convergenza dell’integrazione secondo Lebesgue.

Teorema 2.28 (della convergenza dominata di Lebesgue) Se (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} tale che f_{n} → f q.o. ed esiste g ∈ L^{1} tale che |f_{n}| ≤ g per ogni n, allora f ∈ L^{1} e lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X} f dμ.

Dimostrazione. Per le proposizioni 2.12 e 2.13, f é misurabile (eventualmente dopo una ridefinizione su un insieme di misura nulla); inoltre |f| ≤ g q.o., quindi f ∈ L^{1}. Inoltre q.o. abbiamo che g + f_{n} ≥ 0 e g − f_{n} ≥ 0, quindi per il lemma di Fatou:

∫_{X} g dμ + ∫_{X} f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X}(g + f_{n}) dμ = ∫_{X} g dμ + lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ
∫_{X} g dμ − ∫_{X} f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X}(g − f_{n}) dμ = ∫_{X} g dμ − lim sup_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ

quindi lim inf_{n} ∫_{X} f_{n} dμ ≥ ∫_{X} f dμ ≥ lim sup_{n} ∫_{X} f_{n} dμ, e segue la tesi. □

Una applicazione di questo teorema é il seguente risultato, che é una estensione del teorema 2.19.

Teorema 2.29 Se (f_{n})_{n} é una successione in L^{1} tale che ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, allora ∑_{n=1}^{∞} f_{n} converge q.o. a una funzione in L^{1}, e ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ.

Dimostrazione. Per il teorema 2.19, ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} |f_{n}|) dμ = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, quindi ∑_{n=1}^{∞} |f_{n}| ∈ L^{1}. In particolare, per la proposizione 2.20, ∑_{n=1}^{∞} |f_{n}(x)| é finita per q.o. x, e quindi per ognuno di questi x la serie ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) converge. Inoltre, | ∑_{n=1}^{N} f_{n}| ≤ ∑_{n=1}^{N} |f_{n}| per ogni N, quindi possiamo applicare il teorema della convergenza dominata e ottenere ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ. □

Corollario 2.30 Lo spazio L^{1} é uno spazio di Banach.

Dimostrazione. Rimane solo da provare che se una successione (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} é di Cauchy rispetto alla norma ∥ · ∥_{L^{1}} allora converge ad una f ∈ L^{1}. Definiamo

n_{k} = min{n | ∥f_{m} − f_{m′}∥_{L^{1}} < 2^{−k} ∀m, m′ ≥ n}

e poniamo g_{1} = f_{n_{1}} e g_{k} = f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}} per k > 1. Allora ∑_{i=1}^{k} g_{i} = f_{n_{k+1}}, e

∑_{k=1}^{∞} ∫_{X} |g_{k}| dμ ≤ ∥f_{n_{1}}∥_{L^{1}} + ∑_{k=2}^{∞} 2^{−k} = ∥f_{n_{1}}∥_{L^{1}} + 1 < +∞

e quindi per il teorema 3.10 esiste una f ∈ L^{1} tale che

f = ∑_{k=1}^{∞} g_{k} = lim_{k→∞} f_{n_{k}}

Siccome (f_{n})_{n} é di Cauchy, si ha che f_{n} → f in L^{1}; infatti ∀ε∃n tale che ∥f_{m} − f_{m′}∥_{L^{1}} < ε per ogni m, m′ ≥ n. Allora basta porre m′ = 2^{−k}, e fare tendere k → ∞, e si ha che ∀ε∃n tale che ∥f_{m} − f∥_{L^{1}} < ε per ogni m ≥ n, e quindi abbiamo la tesi. □

2.4 Integrale di Lebesgue

Un caso molto particolare della teoria vista sopra é il caso (X, M, μ) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n}), m_{n}), dove m_{n} é la misura di Lebesgue n-dimensionale. Infatti questo é il caso che storicamente é stato il primo ad essere sviluppato nella teoria dell’integrazione, allo scopo iniziale di estendere la teoria dell’integrazione di Riemann. Dall’integrazione con la misura di Lebesgue poi é nata la teoria dell’integrazione astratta come generalizzazione. Per questa ragione, si usa anche una notazione particolare.

Definizione 2.31 L’integrale ∫_{ℝ^{n}} f dm_{n} si indica semplicemente come integrale di Lebesgue di f. Allo stesso modo, se ∫_{ℝ^{n}} |f| dm_{n} < +∞, allora f si dice integrabile secondo Lebesgue.

Confrontiamo ora l’integrale di Riemann e l’integrale rispetto alla misura di Lebesgue. A questo scopo, ricordiamo la costruzione dell’integrale di Riemann; per semplicitá, ci limiteremo al caso n = 1; tuttavia valgono risultati analoghi anche in una generica dimensione n.

Sia [a, b] un intervallo, con a, b numeri reali. Chiamiamo partizione di [a, b] una successione finita P = (t_{i})_{i=0,...,n} tale che a = t_{0} < … < t_{n} = b, e chiamiamo ampiezza della partizione P il numero |P | = sup_{i} |t_{i} − t_{i−1}|. Diciamo inoltre che P = (t_{i})_{i=0,...,n} é un raffinamento di Q = (s_{j})_{j=0,...,k} se {s_{j} | j = 0, …, k} ⊂ {t_{i} | i = 0, …, n}. Sia f una funzione reale limitata arbitraria, e per ogni partizione P poniamo

S_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} M_{i}(t_{i} − t_{i−1}), s_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} ℓ_{i}(t_{i} − t_{i−1})

dove M_{i} = sup_{x∈(t_{i−1},t_{i}]} f(x), ℓ_{i} = inf_{x∈(t_{i−1},t_{i}]} f(x). Definiamo poi:

I^{+}(f) = inf_{P} S_{P} (f), I^{−}(f) = sup_{P} s_{P} (f)

Quando I^{+}(f) = I^{−}(f), chiamiamo integrale di Riemann il loro valore comune, e lo indichiamo con ∫_{a}^{b} f(x) dx; diciamo inoltre che f é integrabile secondo Riemann.

Diamo ora questo risultato, di cui proviamo solo la prima parte.

Teorema 2.32 Se f é una funzione limitata in [a, b], allora:

i) se f é integrabile secondo Riemann, allora é misurabile (e quindi integrabile rispetto alla misura di Lebesgue m_{1} dato che é limitata) e ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{[a,b]} f dm_{1};

ii) f é integrabile secondo Riemann se e solo se m_{1}({x ∈ [a, b] | f é discontinua in x}) = 0

Dimostrazione. Supponiamo che f sia integrabile secondo Riemann. Per ogni partizione P poniamo:

G_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} M_{i}1_{(t_{i−1},t_{i}]}, g_{P} (f) = ∑_{i=0}^{n} ℓ_{i}1_{(t_{i−1},t_{i}]}

allora S_{P} (f) = ∫_{[a,b]} G_{P} (f) dm_{1} e s_{P} (f) = ∫_{[a,b]} g_{P} (f) dm_{1}. Inoltre esiste una sequenza (P_{k})_{k} di partizioni, la cui ampiezza tende a 0, che sono ognuna un raffinamento della precedente (e quindi tali che le g_{P_{k}} crescono e le G_{P_{k}} decrescono con k) e tali che S_{P_{k}}(f) e s_{P_{k}}(f) convergono a ∫_{a}^{b} f(x) dx. Poniamo G = lim_{k→∞} G_{P_{k}} e g = lim_{k→∞} g_{P_{k}}. Allora g ≤ f ≤ G, e per il teorema della convergenza dominata ∫_{[a,b]} g dm_{1} = ∫_{[a,b]} G dm_{1} = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Allora ∫_{[a,b]}(G − g) dm_{1} = 0, quindi G = g q.o., cioé G = g = f q.o. Siccome G é misurabile (poiché limite di funzioni misurabili), e m_{1} é completa, allora anche f é misurabile; inoltre si ha che ∫_{[a,b]} f dm_{1} = ∫_{[a,b]} G dm_{1} = ∫_{a}^{b} f(x) dx. □

Da questo teorema si ricava che l’integrale di Lebesgue estende l’integrale di Riemann proprio. Infatti tutte le funzioni integrabili secondo Riemann in un intervallo sono anche integrabili secondo Lebesgue, e i due integrali coincidono. Questo in particolare permette di usare tutte le tecniche di calcolo degli integrali di Riemann (teorema fondamentale del calcolo, integrazione per sostituzione e per parti) per calcolare gli integrali di Lebesgue. Inoltre questo risultato vale anche per una generica dimensione n. Per questo motivo per indicare l’integrale rispetto alla misura di Lebesgue si usano comunemente le notazioni ∫_{a}^{b} f(x) dx (su un intervallo [a, b]) o ∫_{E} f(x) dx (su un boreliano E ⊆ ℝ^{n}). Tuttavia, se tentiamo di generalizzare le ipotesi di questo teorema per trattare l’integrale di Riemann improprio, potremmo trovare che l’integrale improprio di Riemann di f é definito, ma f non é integrabile secondo Lebesgue (esempio: f = ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}1_{(n,n+1)}/n).

Vediamo ora un risultato (senza dimostrazione) che permette di calcolare operativamente anche gli integrali in dimensione n.

Teorema 2.33 (Fubini - Tonelli) Supponiamo che (X, M, μ) e (Y, N , ν) siano spazi misurati. Allora:

Fubini: se f ∈ L^{1}(X × Y, M ⊗ N , μ ⊗ ν), allora f(x, ·) ∈ L^{1}(Y, N , ν) per q.o. x ∈ X, f(·, y) ∈ L^{1}(X, M, μ) per q.o. y ∈ Y, le funzioni (definite q.o.) ∫_{Y} f(x, ·) dν e

∫_{X} f(·, y) dμ sono rispettivamente in L^{1}(X, M, μ) e in L^{1}(Y, N , ν) e vale
∫_{X×Y} f(x, y) d(μ ⊗ ν)(x, y) = ∫_{X} (∫_{Y} f(x, y) dν(y)) dμ(x) =  (2.1)
= ∫_{Y} (∫_{X} f(x, y) dμ(x)) dν(y)

Tonelli: se f ∈ L^{+}(X × Y, M ⊗ N , μ ⊗ ν), allora le funzioni ∫_{Y} f(x, ·) dν e ∫_{X} f(·, y) dμ sono rispettivamente in L^{+}(X, M, μ) e in L^{+}(Y, N , ν) e vale la (2.1).

Corollario 2.34 Il teorema di Fubini-Tonelli vale anche nel caso (X, M, μ) = (ℝ^{m}, B(ℝ^{m}), m_{m}) e (Y, N , ν) = (ℝ^{n}, B(ℝ^{n}), m_{n}).

Dal corollario si ricava anche che é possibile calcolare l’integrale di una funzione su ℝ^{n} iterando gli integrali su ogni componente. Inoltre il teorema 2.32 e il corollario 2.34 permettono di usare tutte le tecniche di calcolo degli integrali di Riemann (teorema fondamentale del calcolo, integrazione per sostituzione e per parti, cambiamenti di coordinate, ecc.) per calcolare gli integrali di Lebesgue.

Complementi

In questo capitolo vogliamo riprendere alcuni argomenti che per mancanza di tempo non sono stati trattati nei primi due capitoli.

3.1 Completezza

In questa sezione vogliamo richiamare l’attenzione sul concetto di completezza e sui fenomeni che puó originare. In particolare, vogliamo richiamare l’attenzione sul teorema 1.26, che riformuliamo qui sotto:

Teorema 3.1 Se F é crescente e c.a d., allora esiste un’unica misura μ_{F} su B(ℝ) tale che μ_{F} ((a, b]) = F (b) − F (a) per ogni a, b ∈ ℝ. Se G é un’altra funzione crescente e c.a d., allora μ_{F} = μ_{G} se e solo se G − F é costante. Viceversa, se μ é una misura su B(ℝ) finita su ogni boreliano limitato e definiamo

F (x) = \{ \begin{matrix}μ((0, x]) & se x > 0 \\ 0 & se x = 0 \\ −μ((x, 0]) & se x < 0 \end{matrix}

allora F é c.a d. e crescente, e μ = μ_{F}. Infine, μ_{F} si puó estendere a una misura completa μ̄_{F} che é definita in una σ-algebra in generale piú grande di B(ℝ).

Per vedere che il dominio di μ̄_{F} é in generale piú grande di B(ℝ), basta considerare la funzione F = 1_{{x≥0}}. Allora μ_{F} = δ_{0} é la delta di Dirac nel punto 0 e il completamento é definito su tutta la σ-algebra P(ℝ). Infatti abbiamo che δ_{0}(ℝ \ {0}) = 0, quindi é possibile estendere δ_{0} ad ogni sottoinsieme di ℝ \ {0} assegnandogli misura nulla.

L’esempio sopra puó sembrare una patologia, ma vedremo ora che questo fenomeno riguarda tutte le misure usate comunemente, e in particolare la misura di Lebesgue m (che ricordiamo é definita a partire da F (x) = x). Infatti anche la misura di Lebesgue puó essere estesa ad una σ-algebra (che chiameremo Ł) piú grande di B(ℝ). Il prossimo esempio é un insieme trascurabile secondo Lebesgue che peró ha la cardinalitá del continuo.

Esempio 3.2 (insieme di Cantor) Definiamo C_{0} = [0, 1], e C_{n+1} = C_{n} \ ∪_{i=0}^{3^{n−1}−1}(\frac{3k+1}{3^{n}}, \frac{3k+2}{3^{n}}); definiamo insieme di Cantor l’insieme C = ∩_{n}C_{n}. L’insieme C puó essere definito anche in questo modo: per un generico x ∈ [0, 1] consideriamo la sua espansione decimale x = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}/3^{n} in base 3, con a_{n} = 0, 1 o 2, e facciamo la convenzione che i numeri della forma p3^{−k} abbiano la rappresentazione a_{n} = 2 per n > k; allora C é l’insieme degli x ∈ [0, 1] che non hanno la cifra 1 nella loro rappresentazione decimale. C ha le seguenti proprietá notevoli:

• a) C é compatto

• b) se x, y ∈ C e x < y, allora esiste z ∉ C tale che x < z < y (C é totalmente sconnesso)

• c) C non ha punti isolati

• d) m(C) = 0

• e) C é in corrispondenza biunivoca con l’intervallo [0, 1]; in particolare C ha la cardinalitá del continuo

Proveremo solo le ultime due proprietá. Per provare (d), basta notare che m(C_{n}) = (2/3)^{n}, e quindi m(C) = lim_{n→∞} m(C_{n}) = 0. Per provare (e), notiamo che se x ∈ C, allora x = ∑ n = 1^{∞}a_{n}/3^{n}, con a_{n} = 0 o 2; definiamo allora b_{n} = a_{n}/2 (che corrisponde a sostituire un 2 con un 1 nella rappresentazione decimale) e definiamo f(x) = ∑ n = 1^{∞}a_{n}/2^{n}. Allora f(x) é l’espansione in base 2 di un numero. Siccome ogni elemento di [0, 1] puó essere ottenuto in questo modo, f é bigettiva da C a [0, 1].

Abbiamo appena visto che l’insieme di Cantor C ha misura di Lebesgue nulla e ha la cardinalitá del continuo. Ció significa che la classe delle sue parti P(C) ha la stessa cardinalitá di P(ℝ). Si puó dimostrare che B(ℝ) ha la cardinalitá del continuo, cioé ha cardinalitá minore di P(C). Questo significa che la maggior parte degli insiemi in P(C) non é boreliana. Siccome m(C) = 0, la misura di Lebesgue puó essere estesa a tutti gli insiemi in P(C), quindi abbiamo ottenuto che L é strettamente maggiore di B(ℝ). Per questo motivo, si usa fare questa distinzione quando si parla di funzioni misurabili.

Definizione 3.3 Se f : ℝ → ℝ, diciamo che f é boreliana se é (B(ℝ), B(ℝ))- misurabile, e diciamo piú genericamente che f é misurabile (secondo Lebesgue) se é (Ł, B(ℝ))-misurabile.

Abbiamo quindi che una funzione boreliana é anche misurabile secondo Lebesgue, ma non viceversa. Inoltre se f e g sono due funzioni misurabili, non é detto che f ∘ g lo sia. Se peró f é boreliana, allora f ∘ g ha la stessa misurabilitá di g.

Riprendiamo in esame la funzione f definita nell’esempio. Notiamo che f é monotona crescente da C in [0, 1]; in particolare, f(x) < f(y) per ogni x < y che non siano estremi di un intervallo che non appartiene a C (quelli che sono stati tolti per ottenerlo); in questo caso, f(x) = f(y) = p2^{−k} per qualche p, k. Possiamo quindi estendere f ad una funzione da [0, 1] in sé definendo il suo valore in ogni intervallo mancante da C come il valore ai suoi estremi. Questa funzione (che continuiamo a chiamare f) é ancora crescente, e siccome la sua immagine é tutto [0, 1], non puó avere discontinuitá di salto; questo, insieme alla monotonia, implica la sua continuitá. La funzione f é comunemente conosciuta come funzione di Cantor, o scala di Cantor.

3.2 Integrazione di funzioni complesse

All’inizio del capitolo 2 abbiamo notato che la teoria dell’integrazione di Lebesgue poteva essere costruita anche nel caso di funzioni a valori complessi. Qui enunciamo i teoremi corrispondenti a questo caso; le dimostrazioni non verranno svolte, essendo per la maggior parte generalizzazioni di quelle del capitolo 2; per maggiori dettagli, il lettore interessato puó vedere [2].

Per tutta la sezione faremo la convenzione che una funzione f : X → ℂ sia misurabile quando é (M, B(ℂ))-misurabile.

Dalla proposizione 2.7 si ricavano i due seguenti corollari:

Corollario 3.4 Una funzione complessa f é misurabile se e solo se ℜf e ℑf lo sono.

Corollario 3.5 Se f, g : X → ℂ sono misurabili, allora anche f + g e fg lo sono.

Dalla proposizione ?? (il limite di funzioni misurabili é una funzione misurabile) segue questo risultato:

Corollario 3.6 Se (f_{n})_{n} é una successione di funzioni complesse misurabili e f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) esiste per ogni x, allora f é misurabile.

Analogamente alla decomposizione f = f^{+} − f^{−} delle funzioni reali, anche nel caso delle funzioni complesse c’é una utile decomposizione, chiamata decomposizione polare. Se z é un numero complesso, indichiamo con |z| la sua norma in ℂ e definiamo

sgn z = \{ \begin{matrix}z/|z| & se z ≠ 0 \\ 0 & se z = 0 \end{matrix}

Allora possiamo scrivere f = (sgn f)|f| per una generica funzione complessa f. Siccome sgn e il modulo sono boreliane, abbiamo che f é misurabile se e solo se sgn f e |f| lo sono.

Come nel caso reale, chiamiamo funzione semplice una combinazione lineare finita a coefficienti complessi di funzioni caratteristiche, che sará della forma φ(x) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}1_{E_{i}}(x), con a_{i} ∈ ℂ; se a_{i} ≠ a_{j} per i ≠ j, allora diciamo che φ é scritta in rappresentazione standard. Anche nel caso di funzioni a valori complessi, una funzione misurabile puó essere opportunamente approssimata con funzioni semplici in questo modo:

Teorema 3.7 Se (X, M) é uno spazio misurabile, e f : X → ℂ é misurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici (φ_{n})_{n} tali che 0 ≤ |φ_{1}| ≤ … ≤ |φ_{n}| ≤ … ≤ |f|, φ_{n} → f puntualmente, e φ_{n} → f uniformemente su ogni insieme su cui f é limitata.

Se f é una funzione complessa misurabile, diciamo che f é integrabile se la funzione reale |f| lo é. Siccome |f| ≤ |ℜf| + |ℑf| ≤ 2|f|, otteniamo che f é integrabile se e solo se ℜf e ℑf lo sono; definiamo poi l’integrale di f in questo modo:

∫_{X} f dμ = ∫_{X} ℜf dμ + i ∫_{X} ℑf dμ

Da questo segue facilmente che lo spazio delle funzioni integrabili complesse é uno spazio vettoriale e l’integrale é un funzionale lineare su di esso; inoltre abbiamo che | ∫ f dμ| ≤ ∫ |f| dμ per ogni f integrabile. Anche in questo caso possiamo mettere su questo spazio la relazione di equivalenza f ≡ g se e solo se ∫ |f − g| dμ = 0. Lo spazio ottenuto in questo modo viene indicato con L^{1}(X, M, μ; ℂ) (rispetto al caso reale, si specifica anche lo spazio di arrivo). Valgono le seguenti generalizzazioni di risultati del capitolo 2:

Proposizione 3.8 Se f e g sono integrabili, allora sono equivalenti:

i) ∫_{E} f dμ = ∫_{E} g dμ per ogni E ∈ M

ii) ∫_{X} |f − g| dμ = 0

iii) f = g q.o.

Teorema 3.9 (della convergenza dominata di Lebesgue) Se (f_{n})_{n} ⊂ L^{1} tale che f_{n} → f q.o. ed esiste g ∈ L^{1} tale che |f_{n}| ≤ g per ogni n, allora f ∈ L^{1} e lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X} f dμ.

Teorema 3.10 Se (f_{n})_{n} é una successione in L^{1} tale che ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} |f_{n}| dμ < +∞, allora ∑_{n=1}^{∞} f_{n} converge q.o. a una funzione in L^{1}, e ∑_{n=1}^{∞} ∫_{X} f_{n} dμ = ∫_{X}(∑_{n=1}^{∞} f_{n}) dμ.

3.3 Convergenza in misura

3.4 Integrale di Lebesgue n-dimensionale; integrali dipendenti da parametro

Bibliografia

[1] H. Brezis, Analisi funzionale: teoria e applicazioni, Liguori, 1986

[2] G. Folland, Real analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, 1984