Didattica, 2015-2016, Analisi Numerica


Lezioni. Ore svolte: 64.

    1 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Introduzione al corso.
    » Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
    » Teorema di approssimazione di Weierstrass.
    » Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.

    7 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
    » Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
    » Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
    » Algoritmo di Remez.
    » Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
    » Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
    » Teoremi di Jackson per f continue o regolari.

    7 marzo 2016, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
    » Chebfun.
    » Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
    » Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
    » Esercizio sull'ordine di convergenza.

    8 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
    » Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
    » Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
    » Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
    » Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
    » Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.

    14 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Dimostrazione del legame tra Costante di Lebesgue, interpolazione e miglior approssimazione.
    » Spazi euclidei. Alcuni esempi.
    » Teorema di Pitagora.
    » Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
    » Equazioni normali e basi ortogonali.

    14 marzo 2016, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
    » Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni.
    » Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati.
    » Confronti con alcune stime teoriche.

    15 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Spazi euclidei separabili.
    » Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
    » Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
    » Teorema di Bessel/Parseval.
    » Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.

    22 marzo 2016, ore 14.30-16.15.
    » Cenni alla FFT.
    » Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w.
    » Polinomi ortogonali.
    » Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
    » Formula di ricorrenza a tre termini.

    31 marzo 2016, ore 11.30-13.15.
    » Introduzione alla quadratura numerica.
    » Formule interpolatorie.
    » Grado di precisione.
    » Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
    » Formule di Newton-Cotes.
    » Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
    » Formule composte.
    » Formule dei trapezi composte. Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).

    04 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Formula di Cavalieri-Simpson composta.
    » Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
    » Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione).
    » Errori formule gaussiane.
    » Stabilita' delle formule di quadratura.

    04 aprile 2016, ore 16.30-18.15. (Laboratorio)
    » FFT e Chebfun.
    » Fenomeno di Gibbs.
    » Esercizi.

    05 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Norme di alcuni operatori di integrazione.
    » Teorema di Stielties (con dimostrazione).
    » Alcune considerazioni sul teorema si Stieltjes.
    » Teorema di Polya-Steklov. Prima parte della dimostrazione.

    11 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Teorema di Polya-Steklov (seconda parte).
    » Convergenza formule gaussiane.
    » Convergenza formule composte.
    » Sistemi lineari (considerazioni).
    » Splitting di matrice.
    » Metodi iterativi stazionari.
    » Metodo di Jacobi.

    11 aprile 2016, ore 16.30-18.15.
    » Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson).
    » Esempi.
    » Esercizi.

    12 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Gauss-Seidel.
    » SOR.
    » Metodi di Richardson.
    » Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
    » Norme di matrici e loro proprieta'.
    » Metodi consistenti.

    18 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario (con dimostrazione).
    • Caso diagonalizzabile.
    • Caso generale.


    18 aprile 2016, ore 16.30-18.15.
    » Formule gaussiane in Matlab. Esempi ed esercizi.

    19 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Velocita' di convergenza.
    » Convergenza per matrici tridiagonali.
    » Convergenza per matrici a predominanza diagonale.
    » Convergenza per matrici simmetriche.
    » Test dello step. (e sua breve analisi).
    » Test del residuo (e sua breve analisi).

    26 aprile 2016, ore 14.30-16.15.
    » Metodi del gradiente.
    » Metodo del gradiente classico.
    » Metodo del gradiente coniugato.
    » Stima dell'errore del gradiente coniugato.
    » Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).

    2 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Metodo delle potenze.
    » Convergenza del metodo delle potenze.
    » Metodo delle potenze inverse.
    » Metodo delle potenze con shift.
    » Metodo QR.
    » Convergenza QR.
    » Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.

    2 maggio 2016, ore 16.30-18.15. (Laboratorio)
    » Jacobi e SOR in Matlab.
    » Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
    » Accenno a matrici di Poisson.

    3 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Problema di Cauchy.
    » Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
    » Metodi di Eulero esplicito (con stima errore troncamento).
    » Metodo di Eulero implicito.
    » Linear Multistep methods (LMM).

    9 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Convergenza Eulero esplicito.

    9 maggio 2016, ore 16.30-18.15.
    » Confronto di metodi per il calcolo della soluzione dell'equazione lineare di Poisson.
    » Calcolo di autovalori e autovettori.
    » Implementazione del metodo delle potenze.
    » Esempi col metodo delle potenze.
    » Implementazione del metodo QR.
    » Esempio.

    10 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Descrizione Crank-Nicolson.
    » A-Stabilita'.
    » Problemi stiff.
    » Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
    » Verifica consistenza LM.

    16 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Convergenza dei LMM.
    » Barriere di Dahlquist.
    » Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
    » Stima dell'errore della soluzione numerica.

    16 maggio 2016, ore 16.30-18.15. (Laboratorio)
    » Metodi di Eulero Esplicito/Implicito in Matlab.
    » Esercizi.
    » Metodo di Crank-Nicolson in Matlab.

    17 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
    » Esempio.
    » Equazione del calore.
    » Metodo delle linee.

    23 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Modello approssimato dell'equazione del calore (metodo delle linee).
    » Alcune stime.
    » Test di stabilita' e comportamento Eulero esplicito e implicito.

    23 maggio 2016, ore 16.30-18.15. (Laboratorio)
    » Descrizione del software per equazione di Poisson.
    » Stima errore.
    » Alcuni esempi.
    » Esercizio.
    » Nota sull'uso di meshgrid, reshape e surf in Matlab.

    24 maggio 2016, ore 14.30-16.15.
    » Stabilita' asintotica di Crank-Nicolson.
    » Metodi numerici per equazione del calore. Instabilita' Eulero Esplicito.

    06 giugno 2016, ore 16.30-18.15.
    » Esercizi in Matlab.