Regole in versione preliminare, relativamente al compitino.
E' fondamentale che il candidato legga bene il regolamento prima di partecipare all'esame.
Prima dell'esame
registrarsi sul sito uniweb, per poter partecipare al compitino:
ATTENZIONE, chi non e' iscritto NON potra' partecipare alla prova, controllate le date su uniweb;
durante l'esame bisognera' permettere al docente di vedere il foglio in cui si scrive e contemporaneamente leggere le domande su schermo; si suggerisce di provare la situazione migliore, che talvolta puo' essere ottenuta ad esempio distanziando leggermente il computer dal foglio in cui si scrive;
la consegna del proprio elaborato consiste essenzialmente nel
mandare una PDF di risoluzione adeguata dello stesso al docente, il cui indirizzo e' alvise@math.unipd.it,
nell'oggetto della mail il proprio nome, cognome e numero di matricola;
vista la delicatezza di questo punto, qualche giorno prima di fare l'esame si suggerisce di fare pratica con questa procedura (senza mandare una mail al docente!), accertandosi di essere in grado di portarla a termine;
osservare che potrebbero esserci limiti di invio per posta oltre un certo numero di MB dell'allegato;
accertarsi che la propria apparecchiatura nonche' la propria connessione sia adeguata (osservare ad esempio che non sara' ammesso l'uso di cuffiette e quindi risultera' necessario che il dispositivo abbia un altoparlante funzionante);
accertarsi di avere un documento di identita' valido;
si suggerisce di stampare il seguente foglio su cui scrivere l'esame.
In cosa consiste l'esame
la prova scritta consistera' in due domande di teoria a risposta
aperta sintetica;
IMPORTANTE: all'inizio del foglio DEVONO comparire Nome Cognome Matricola
Svolgimento della prova
(a) la prova si svolgera' via zoom ed e' della durata di 60 minuti circa.
all'inizio della prova si verra' identificati tramite documento di identita' o con altra procedura indicata dall'ateneo;
Consegna dell'elaborato
a fine prova verra' chiesto di mostrare a schermo il foglio del compito (tutti gli studenti, contemporaneamente) per consentirci di fare uno
screenshot, solo gli elaborati presenti nel momento dello screenshot verranno corretti (non saranno ammesse deroghe);
subito dopo lo studente dovra'
mandare via email un PDF del compito avente risoluzione adeguata al docente, il cui indirizzo e' alvise@math.unipd.it,
scrivere nell'oggetto della mail il proprio nome, cognome e numero di matricola;
ci sara' un intervallo, breve ossia qualche minuto, stabilito per la trasmissione;
in caso di errore, non saranno ammesse in nessun caso deroghe o invii successivi;
il compito che verra' corretto sara' quello inviato dal candidato (dopo averlo
confrontato con quello visibile nello screenshot);
Comportamento durante la prova
si raccomanda di scrivere con una buona grafia (cio' che non risulta leggibile non viene corretto);
il compito deve essere scritto in penna blu o nera, con possibili note in penna rossa; la matita pu essere usata solo per i grafici e deve comunque essere visibile nel file inviato al docente;
durante la prova la telecamera e il microfono di zoom dovranno
essere sempre accesi: nel caso in cui ci sia un'involontaria interruzione
momentanea, lo studente deve rimanere seduto di fronte al monitor:
se il sistema da solo si riconnette immediatamente la prova puo'
continuare, altrimenti viene interrotta;
se alla riconnessione lo studente non e' nella posizione precedente alla
disconnessione la prova viene comunque annullata;
in caso di interruzione della prova verra' deciso come procedere
in base alla situazione organizzativa (ad esempio possibile orale
su tutto il programma nei giorni successivi);
durante la prova il foglio su cui si scrive dovra' essere sempre visibile
(un unico foglio con entrambe le facciate completamente bianche all'inizio oppure in alternativa una stampa del seguente PDF,
nessun altro foglio dovra' essere presente sul tavolo/superficie di lavoro),
non si potra' guardare in giro o alzarsi (bisognera' limitarsi a guardare
il foglio del compito e scriverci), non si potra' parlare con nessuno ne'
fare domande (neanche ai docenti), non si potranno usare cuffie,
non si potra' guardare lo schermo del computer ne' toccare tastiera, mouse
o schermo se non quando interagite con noi all'inizio, a meta' e alla fine,
anche lo smartphone dovra' essere sempre visibile (appoggiato con lo schermo
girato verso il basso) e usato solo alla fine per la trasmissione
dell'elaborato;
NON si potranno avere altri fogli oltre a quello del compito,
NON si potranno consultare libri, dispense e appunti ne' cartacei
ne' digitali, NON si potranno avere a portata di mano dispositivi digitali
di alcun tipo (se non computer e smartphone con le regole dette);
in qualsiasi momento e' facolta' del docente chiedere a un candidato di far vedere
il foglio del compito (in verticale, comunque il foglio deve
essere sempre visibile durante la scrittura) e/o il tavolo/superficie
di lavoro e/o lo schermo dello smartphone;
IMPORTANTE: per chi venisse sorpreso a copiare o a farsi aiutare dall'esterno in
qualsiasi modo scatteranno anche le sanzioni previste in questi casi
dall'ateneo e dalla legge.
SI prevede di fare il primo compitino in data 4 maggio 2021 (come da accordi presi a lezione). Verranno fornite successivamente le regole del compito.
le attivit didattiche curricolari dell'universit (lezioni teoriche e pratiche, esami di profitto e di laurea, tirocini curriculari) potranno essere erogate solamente a distanza, ad eccezione dei corsi per i medici in formazione specialistica, i corsi di formazione specifica in medicina generale, le attivit dei tirocinanti delle professioni sanitarie, che potranno essere erogati anche in presenza nel rispetto dei protocolli di sicurezza previsti dagli allegati 18 e 22 del Dpcm 2 marzo 2021.
i tirocini extra curriculari proseguono in presenza, online o in formula mista, sulla base delle indicazioni dell'ente ospitante, salvo diversa disposizione delle Regioni dove si svolge il tirocinio.
le attivit esperienziali non surrogabili da remoto potranno svolgersi in presenza nei tempi e nei modi che le singole strutture didattiche decideranno, nel rispetto dei protocolli di sicurezza previsti dagli allegati 18 e 22 del Dpcm 2 marzo 2021. Sono inclusi i tirocini clinico professionalizzanti di Veterinaria.
le biblioteche resteranno aperte solo per consultazione di libri su prenotazione. Gli studenti possono prenotare attraverso l'app Affluences. Per maggiori informazioni: http://bibliotecadigitale.cab.unipd.it/solidarietadigitale/diario-di-bordo
le attivit di ricerca e le attivit sanitarie ed assistenziali proseguiranno regolarmente per professori, ricercatori assegnisti, borsisti, dottorandi, tecnici di laboratorio e tecnici sanitari. Ai laboratori potranno accedere anche gli studenti in tesi.
le sedi dell'Ateneo rimangono aperte per consentire il regolare svolgimento delle attivit di ricerca e le attivit tecniche ed amministrative.
l'accesso degli studenti alle aule studio gestite dall'Ateneo pu avvenire esclusivamente nel rispetto dei protocolli di sicurezza gi adottati (vedi nota). Sono fatte salve condizioni pi restrittive adottate, ove necessario, dalle singole strutture didattiche in relazioni alle condizioni logistiche interne.
i servizi di sportello agli studenti vengono erogati, se possibile, in modalit on-line. Sono comunque garantiti in presenza su appuntamento i servizi non erogabili on-line o per i quali sia necessaria la presenza dello studente.
le strutture universitarie limitano la presenza del personale nei luoghi di lavoro per assicurare esclusivamente le attivit ritenute indifferibili e che richiedono necessariamente tale presenza, anche in ragione della gestione dell'emergenza. Il personale non in presenza presta la propria attivit lavorativa in modalit agile. Per la definizione di attivit tecniche ed amministrative indifferibili che non possono essere eseguite tramite il ricorso a lavoro agile si rimanda alla Circolare Rep. n. 20/2020 - Prot. n. 433200 del 03 novembre 2020).
Il CCS di Matematica ha stabilito quanto segue:
Salvo variazioni in itinere della legislazione nazionale e di Ateneo sulla salvaguardia della salute, il primo anno della LT (esclusi gli incontri di Tutorato) e la LM (con l'eccezione di due soli insegnamenti) saranno erogati in modalita' duale (in presenza + connessione web) rispettivamente nelle aule P200, 1C150 e 1AD100, mentre il secondo ed il terzo anno della LT saranno erogati in modalita' telematica.
Di conseguenza, fino a nuove disposizioni, il corso di Analisi Numerica si svolgera' telematicamente.
La prima lezione in calendario sara' il giorno del
primo marzo 2021, alle ore 14.30.
Si prevede di fare esclusivamente la lezione di teoria e non la susseguente lezione di laboratorio.
Lo Zoom ID della lezione e'
931 567 0682
;
Qualora ci siano problemi, si scriva al docente:
In virtu' della natura telematica del corso si chiede agli studenti di avere l'ambiente di programmazione Matlab installato nel proprio computer, per poter effettuare le lezioni di laboratorio.
Di seguito citiamo alcuni video utili all'installazione di Matlab:
» Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28];
» Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39];
Inoltre alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)), necessarie per svolgere parte del corso.
Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell:
unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip')
movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath
Qualora si riscontrino problemi puo' essere utile il seguente video:
» Chebfun (Installazione) [1.39]
↓
Il docente aiutera' gli studenti con problemi nell'installare tale software.
Per quanto riguarda la presentazione del corso, si consideri il seguente [PDF].
Calendario Settimanale (ore svolte: 34 teoria + 16 laboratorio, update: 3 maggio 2021)
Lezione 1 di teoria:
» Introduzione al corso.
» Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
» Teorema di approssimazione di Weierstrass.
» Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
» Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
» Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
» Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
» Algoritmo di Remez.
» Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
» Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
» Errori di miglior approssimazione.
» Teoremi di Jackson per f continue o regolari.
» Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
» Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
» Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
» Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
» Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
» Chebfun.
» Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
» Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Esercizio sull'ordine di convergenza.
» Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
» Spazi euclidei. Alcuni esempi.
» Teorema di Pitagora (con dimostrazione).
» Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
» Equazioni normali e basi ortogonali.
» Spazi euclidei separabili.
» Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
» Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
» Teorema di Bessel/Parseval.
» Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 2. Parte 1 (Spazi Euclidei ↦ Spazi separabili e basi ortonormali) [33:59]
↓ » Teoria: Argomento 2. Parte 2 (Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti ↦ Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi) [41:37]
↓
» Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni.
» Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati.
» Confronti con alcune stime teoriche.
» Cenni alla FFT.
» Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier.
» Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi.
» Lo spazio "L^2_w". Miglior approssimazione in "L^2_w".
» Funzioni peso classiche.
» Polinomi e "L^2_w" con w funzione peso.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 2. Parte 3 (Cenni alla FFT ↦ Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi) [33:13]
✗↓ » Teoria: Argomento 3. Parte 1 (Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w ↦ Funzioni peso classiche) [12:21]
✔↓
» Polinomi ortogonali.
» Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
» Formula di ricorrenza a tre termini.
» Introduzione alla quadratura numerica.
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
» Teorema caratterizzazione formule interpolatorie.
» Formule di Newton-Cotes.
» Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
» Formule composte.
» Formule dei trapezi composte.
» Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
» Formula di Cavalieri-Simpson composta.
» Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
» Formule gaussiane.
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione, parte esistenza).
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43]
✗↓ » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56]
✗↓
» Errori formule Newton-Cotes.
» Errori formule gaussiane.
» Stabilita' delle formule di quadratura.
» Norme di alcuni operatori di integrazione.
» Teorema di Stieltjes (asserto).
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56]
✗↓ » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45]
✗↓
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45]
✗↓ » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22]
✗↓
» Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
» Metodi iterativi. Introduzione.
» Sistemi lineari (considerazioni).
» Splitting di matrice.
» Metodi iterativi stazionari.
» Metodo di Jacobi.
» Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3.
» Gauss-Seidel.
» Gauss-Seidel: un esempio su una matrice 3 x 3.
» SOR.
» Metodi di Richardson.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
» Teoria: Argomento 5. Parte 1 (Metodi iterativi. Introduzione ↦ Metodo di Jacobi) [22:47]
✗↓ » Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50]
✗↓
» Metodi di Richardson.
» Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
» Norme di matrici e loro proprieta'.
» Alcuni lemmi sulle norme di matrici e raggio spettrale.
» Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione).
» Velocita' di convergenza.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50]
✗↓ » Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive) [45:05]
✗↓
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali.
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale.
» Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR).
» Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive.
» Test dello step. (e sua breve analisi).
» Test del residuo (e sua breve analisi).
» Metodi del gradiente.
» Metodo del gradiente classico.
» Stima dell'errore del gradiente classico.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di
convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione) ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive [45:05] ↓ » Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ↓
» Metodo del gradiente coniugato.
» Spazi di Krylov e gradiente coniugato.
» Stima dell'errore del gradiente coniugato.
» Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
» Metodo delle potenze.
» Convergenza del metodo delle potenze.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ↓ » Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15]
✗↓
» Convergenza del metodo delle potenze (dimostrazione).
» Metodo delle potenze inverse.
» Metodo delle potenze inverse con shift.
» Metodo QR.
» Convergenza QR.
» Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
Altri video (A.A. 2019-2020):
» Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15]
✗↓ » Teoria: Argomento 6. Parte 2 (Metodo QR ↦ Implementazione di QR con matrici di Hessenberg) [20:29]
✗↓
» Problema di Cauchy.
» Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
» Metodi di Eulero esplicito (con stima errore).
» Metodo di Eulero implicito.
» Linear Multistep methods (LMM).
» Metodi per integrazione.
» Metodi di tipo Adams-Bashforth.
» Metodi di tipo Adams-Moulton.
Compitino: 4 maggio 2021
Il 4 maggio 2021 ci sara' il primo compitino (parte del programma fino a integrazione numerica inclusa). Per le regole si veda la sezione di comunicazione, all'inizio di questa pagina web.
Simboli: ✔ significa lezioni svolte, mentre ✗ significa lezioni da svolgere.
Lezione 1 di teoria ✔
» Introduzione al corso.
» Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
» Teorema di approssimazione di Weierstrass.
» Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
» Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
Lezione 2 di teoria ✔
» Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
» Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
» Algoritmo di Remez.
» Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
» Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
» Errori di miglior approssimazione.
» Teoremi di Jackson per f continue o regolari.
» Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
Lezione 3 di teoria ✔
» Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
» Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
» Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
» Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue. (asserto)
Lezione 1 di Laboratorio ✔
» Chebfun.
» Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
» Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Esercizio sull'ordine di convergenza.
Lezione 4 di teoria ✔
» Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue. (dimostrazione)
» Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
» Spazi euclidei. Alcuni esempi.
» Teorema di Pitagora (con dimostrazione).
» Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
Lezione 5 di teoria ✔
» Equazioni normali e basi ortogonali.
» Spazi euclidei separabili.
» Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
» Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
» Teorema di Bessel/Parseval.
» Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
Lezione 2 di Laboratorio ✔
» Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni.
» Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati.
» Confronti con alcune stime teoriche.
Lezione 6 di teoria ✔
» Cenni alla FFT.
» Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier.
» Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi.
» Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w.
» Funzioni peso classiche.
» Polinomi e L^2_w con w funzione peso.
Lezione 7 di teoria ✔
» Polinomi ortogonali.
» Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
» Formula di ricorrenza a tre termini.
» Introduzione alla quadratura numerica.
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
Lezione 3 di Laboratorio ✔
» FFT e Chebfun.
» Fenomeno di Gibbs.
» Esercizi.
Lezione 8 di teoria ✔
» Teorema caratterizzazione formule interpolatorie.
» Formule di Newton-Cotes.
» Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
» Formule composte.
» Formule dei trapezi composte.
» Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
» Formula di Cavalieri-Simpson composta.
» Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
» Formule gaussiane.
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione, parte esistenza).
Lezione 9 di teoria ✔
» Errori formule Newton-Cotes.
» Errori formule gaussiane.
» Stabilita' delle formule di quadratura.
» Norme di alcuni operatori di integrazione.
» Teorema di Stieltjes (asserto).
Lezione 4 di Laboratorio ✔
» Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson).
» Esempi.
» Esercizio 1.
Lezione 10 di teoria ✔
» Teorema di Stieltjes (con dimostrazione).
» Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes.
» Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione).
Lezione 11 di teoria ✔
» Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
» Metodi iterativi. Introduzione.
» Sistemi lineari (considerazioni).
» Splitting di matrice.
» Metodi iterativi stazionari.
» Metodo di Jacobi.
» Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3.
» Gauss-Seidel.
» Gauss-Seidel: un esempio su una matrice 3 x 3.
» SOR.
» Metodi di Richardson.
Lezione 5 di Laboratorio ✔
» Formule gaussiane.
» Esempi.
» Esercizi.
Lezione 12 di teoria ✔
» Metodi di Richardson.
» Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
» Norme di matrici e loro proprieta'.
» Alcuni lemmi sulle norme di matrici e raggio spettrale.
» Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione).
» Velocita' di convergenza.
Lezione 13 di teoria ✗
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali.
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale.
» Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR).
» Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive.
» Test dello step. (e sua breve analisi).
» Test del residuo (e sua breve analisi).
» Metodi del gradiente.
» Metodo del gradiente classico.
» Stima dell'errore del gradiente classico.
Lezione 6 di Laboratorio ✔
» Jacobi e SOR in Matlab.
» Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
» Esercizi (minij).
Lezione 14 di teoria ✔
» Metodo del gradiente coniugato.
» Spazi di Krylov e gradiente coniugato.
» Stima dell'errore del gradiente coniugato.
» Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
» Metodo delle potenze (asserto).
Lezione 15 di teoria ✔
» Convergenza del metodo delle potenze (dimostrazione).
» Metodo delle potenze inverse.
» Metodo delle potenze inverse con shift.
» Metodo QR.
» Convergenza QR.
» Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
Lezione 7 di Laboratorio ✔
» Matrici di Poisson.
» Gradiente coniugato in Matlab.
» Esercizi.
Lezione 16 di teoria ✔
» Problema di Cauchy.
» Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
» Metodi di Eulero esplicito (con stima errore).
» Metodo di Eulero implicito.
» Linear Multistep methods (LMM).
» Metodi per integrazione.
» Metodi di tipo Adams-Bashforth.
» Metodi di tipo Adams-Moulton.
Lezioni da svolgere
Lezione 16 di teoria ✗
» Convergenza LMM.
» Convergenza Eulero esplicito (con dimostrazione).
» Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione).
Lezione 17 di teoria ✗
» A-Stabilita': problema test.
» Problema test.
» Problemi stiff.
» Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
» Barriere di Dahlquist.
» Metodi Runge-Kutta.
Lezione 8 di Laboratorio ✗
» Metodo delle potenze in Matlab
» Metodo QR in Matlab.
» Esempi ed Esercizi.
Lezione 18 di teoria ✗
» Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
» Stima dell'errore della soluzione numerica (norma 2 e infinito).
» Autovalori e condizionamento della matrice di Poisson (caso univariato).
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Esempio.
Lezione 9 di Laboratorio ✗
» ODE in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson.
» Esercizi
Lezione 19 di teoria ✗
» Equazione del calore.
» Metodo delle linee.
» Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori).
Lezione 20 di teoria ✗
» Equazione del calore e test di stabilita'.
» Comportamento Eulero esplicito ed implicito.
» Comportamento Crank-Nicolson.
» Nota sul condizionamento di certe matrici.
Lezione 10 di Laboratorio ✗
» Esercizio sui metodi di Runge Kutta 2.
Lezione 11 di Laboratorio ✗
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Esempi.
Lezione 12 di Laboratorio ✗
» Equazione del calore in Matlab.
» Eulero esplicito, implicito e theta metodi.
Informazioni sul corso
Qualora il corso sia svolto in maniera standard:
teoria: » lunedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), 1C150, dalle 14.30 alle 16.00.
» martedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), 1C150, dalle 14.30 alle 16.00.
laboratorio: » lunedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), Laboratorio Informatico (secondo piano), dalle 16.30 alle 18.
Qualora il corso sia svolto in maniera telematica, il docente fornira' le lezioni per mezzo di video che sono reperibili in questa pagina web (vedasi sezione: Calendario lezioni, materiale didattico, meeting Zoom).
Programma previsto
Argomenti.
Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici: densita' ed errore di miglior approssimazione; Teorema di Weierstrass.
Laboratorio: Costanti di Lebesgue in Matlab.
Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici. Errore di miglior approssimazione. Teoremi di Jackson. Polinomi di Chebyshev. Stabilita' e costanti di Lebesgue.
Migliore approssimazione in spazi euclidei. Teorema di Bessel.
Cenno alle serie di Fourier in R e C. Polinomi ortogonali. Spazio L^2_w.
Funzioni peso. Ricorsione a tre termini. Proprieta' degli zeri di polinomi ortogonali.
Laboratorio: Calcolo dell'espansione di funzioni continue e periodiche con polinomi trigonometrici complessi.
» Teoria: Argomento 2. Parte 1 (Spazi Euclidei ↦ Spazi Separabili/BasiOrtogonali) [33:59];
» Teoria: Argomento 2. Parte 2 (Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti ↦ Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi) [41:37];
» Teoria: Argomento 2. Parte 3 (Cenni alla FFT ↦ Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi) [33:13]
Chebfun ed esperimenti in teoria dell'approssimazione
Lezioni:
» Chebfun (Installazione) [1.39];
» Laboratorio: Parte 1 (Introduzione a Chebfun ↦ Esercizi per casa) [39:25];
» Laboratorio: Parte 2 (Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni ↦ Confronti con alcune stime teoriche) [17:51];
» Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (FFT e Chebfun. ↦) [32:07]
V. Totik,
Orthogonal polynomials, Surveys in Approximation Theory, 1 (2005), 70-125. [Per esperti]
S.Khrushchev,
Orthogonal Polynomials and Continued Fractions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 122. [Per esperti, sul legame tra polinomi ortogonali e frazioni continue. Per formule gaussiane si veda p.300]
Chebfun.
» Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)).
Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell:
unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip')
movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath
» Teoria: Argomento 4. Parte 1 (Introduzione alla quadratura numerica ↦ Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione) [14:06] » Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43] » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56] » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45] » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22]
Algebra lineare numerica: metodi SOR e di Richardson. Teorema di convergenza (caso diagonalizzabile).
Teorema di convergenza (caso diagonalizzabile). Teorema di Hensel (caso generale). Alcuni teoremi di convergenza di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Test di Arresto.
Laboratorio: Esercizi sui metodi iterativi stazionari.
Metodi di discesa: Gradiente classico e Gradiente coniugato.
Localizzazione di autovalori: alcuni teoremi di Gershgorin.
Metodo delle potenze (dirette e inverse). Convergenza del metodo delle potenze. Metodo QR.
Laboratorio: Esercizi sul calcolo degli autovalori/autovettori di matrici.
Ultima versione: Slides: Sabato 18 aprile 2020, PDF: Sabato 18 aprile 2020.
Multimedia.
Algebra lineare numerica
» Teoria: Argomento 5. Parte 1 (Metodi iterativi. Introduzione ↦ Metodo di Jacobi) [22:47] » Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50] » Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione) ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive [45:05] ↓ » Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ↓
Autovalori » Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15]
↓ » Teoria: Argomento 6. Parte 2 (Metodo QR ↦ Implementazione di QR con matrici di Hessenberg) [20:29]
↓
G. Golub, A. van der Vorst, Eigenvalue computation in the 20th century, Journal of Computational and Applied Mathematics
Volume 123, Issues 1-2, 1 November 2000, Pages 35-65.
Argomenti.
Metodo di Eulero esplicito ed implicito. Consistenza.
